مثال لا يُختزل

في الرياضيات ، يُقال إن المثالي الحقيقي لحلقة تبديلية غير قابل للاختزال إذا لم يكن من الممكن كتابته على أنه تقاطع مثاليين أكبر منه بكثير. ^{[ 1 ]}

• كل مثالي أولي غير قابل للاختزال. ^{[ 2 ]} ليكن${\displaystyle J}$و${\displaystyle K}$لتكن مثاليات حلقة تبديلية${\displaystyle R}$، بحيث لا يحتوي أحدهما على الآخر. عندئذٍ يوجد${\displaystyle a\in J\setminus K}$و${\displaystyle b\in K\setminus J}$حيث لا يوجد أي منهما${\displaystyle J\cap K}$لكن الناتج كذلك. وهذا يثبت أن المثالي القابل للاختزال ليس أوليًا. ومن الأمثلة الملموسة على ذلك المثاليات${\displaystyle 2\mathbb {Z} }$و${\displaystyle 3\mathbb {Z} }$وارد في${\displaystyle \mathbb {Z} }$التقاطع هو${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$، و${\displaystyle 6\mathbb {Z} }$ليس مثالاً مثالياً.
• كل مثالي غير قابل للاختزال في حلقة نوثرية هو مثالي أولي ، ^{[ 1 ]} وبالتالي فإن التفكيك غير القابل للاختزال بالنسبة للحلقات النوثرية هو تفكيك أولي . ^{[ 3 ]}
• كل مثال أولي في مجال مثالي رئيسي هو مثال غير قابل للاختزال.
• كل مثال لا يمكن اختزاله هو مثال أولي . ^{[ 4 ]}
• كل مثال غير قابل للاختزال وجذري في نفس الوقت هو مثال أولي.${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$يُعد مثالاً على مثال غير قابل للاختزال في${\displaystyle {\ce {\mathbb {Z} }}}$هذا ليس جذرياً ولا يمثل مثالاً مثالياً. ^{[ 5 ]}

يكون عنصر المجال التكاملي أوليًا إذا وفقط إذا كان المثالي المُوَلَّد به مثاليًا أوليًا غير صفري. لا ينطبق هذا على المثاليات غير القابلة للاختزال؛ فقد يُوَلَّد مثالي غير قابل للاختزال بواسطة عنصر ليس عنصرًا غير قابل للاختزال ، كما هو الحال في${\displaystyle \mathbb {Z} }$للحصول على الوضع الأمثل${\displaystyle 4\mathbb {Z} }$لأنه ليس تقاطعاً بين مثالين أعظم بشكل صارم.

في الهندسة الجبرية ، إذا كان المثالي${\displaystyle I}$من خاتم${\displaystyle R}$غير قابل للاختزال، إذن${\displaystyle V(I)}$هي مجموعة فرعية غير قابلة للاختزال في طوبولوجيا زاريسكي على الطيف${\displaystyle \operatorname {Spec} R}$أما العكس فلا ينطبق؛ على سبيل المثال، المثالي${\displaystyle (x^{2},xy,y^{2})}$في${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$يُعرّف التنوع غير القابل للاختزال بأنه يتكون من الأصل فقط، ولكنه ليس مثالاً غير قابل للاختزال كما${\displaystyle (x^{2},xy,y^{2})=(x^{2},y)\cap (x,y^{2})}$.

• وحدة غير قابلة للاختزال
• مساحة لا يمكن اختزالها
• حلقة لاسكيريان