مجال GCD

في الرياضيات ، يُعرف مجال القاسم المشترك الأكبر (GCD ) بأنه مجال تكاملي R يتميز بخاصية وجود قاسم مشترك أكبر (GCD) بين أي عنصرين فيه؛ أي أن هناك مثاليًا رئيسيًا أدنى يحتوي على المثالي الناتج عن هذين العنصرين. وبصورة مكافئة، فإن أي عنصرين في R لهما مضاعف مشترك أصغر (LCM). ^{[ 1 ]}

يعمم مجال GCD مجال التحليل الفريد (UFD) إلى بيئة غير نوثرية بالمعنى التالي: يكون المجال التكاملي UFD إذا وفقط إذا كان مجال GCD يحقق شرط السلسلة الصاعدة على المثاليات الرئيسية (وخاصة إذا كان نوثريًا).

تظهر نطاقات القاسم المشترك الأكبر في سلسلة تضمين الفئات التالية :

الحلقات ⊃ الحلقات ⊃ الحلقات التبادلية ⊃ المجالات التكاملية ⊃ المجالات المغلقة تكامليًا ⊃ مجالات القاسم المشترك الأكبر ⊃ مجالات التحليل الفريد ⊃ مجالات المثالي الرئيسي ⊃ المجالات الإقليدية ⊃ الحقول ⊃ الحقول المغلقة جبريًا

كل عنصر غير قابل للاختزال في مجال القاسم المشترك الأكبر هو عدد أولي . مجال القاسم المشترك الأكبر مغلق تكامليًا ، وكل عنصر غير صفري فيه هو عدد أولي . بعبارة أخرى، كل مجال قاسم مشترك أكبر هو مجال شراير .

لكل زوج من العناصر x و y في مجال القاسم المشترك الأكبر R ، يمكن اختيار قاسم مشترك أكبر d لـ x و y ومضاعف مشترك أصغر m لـ x و y بحيث يكون dm = xy ، أو بعبارة أخرى، إذا كان x و y عنصرين غير صفريين وكان d أي قاسم مشترك أكبر d لـ x و y ، فإن xy / d هو المضاعف المشترك الأصغر لـ x و y ، والعكس صحيح. يترتب على ذلك أن عمليتي القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر تجعلان ناتج القسمة R /~ شبكة توزيعية ، حيث تشير "~" إلى علاقة التكافؤ بين كون العناصر مترافقة . إن التكافؤ بين وجود القواسم المشتركة الأكبر ووجود المضاعف المشترك الأصغر ليس نتيجة طبيعية للنتيجة المماثلة على الشبكات الكاملة ، حيث أن ناتج القسمة R /~ ليس بالضرورة أن يكون شبكة كاملة لمجال القاسم المشترك الأكبر R.

إذا كانت R مجالًا للقاسم المشترك الأكبر، فإن حلقة كثيرات الحدود R [ X ₁ ,..., X _n ] هي أيضًا مجال للقاسم المشترك الأكبر. ^{[ 2 ]}

تكون R مجالًا ذا قاسم مشترك عام إذا وفقط إذا كانت التقاطعات المحدودة لمُثُلها الرئيسية رئيسية. على وجه الخصوص،${\displaystyle (a)\cap (b)=(c)}$، أين${\displaystyle c}$هو المضاعف المشترك الأصغر لـ${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$.

بالنسبة لكثير الحدود في X على مجال القاسم المشترك الأكبر، يمكن تعريف محتواه بأنه القاسم المشترك الأكبر لجميع معاملاته. عندئذٍ، يكون محتوى حاصل ضرب كثيرات الحدود هو حاصل ضرب محتوياتها، كما هو موضح في مبرهنة غاوس ، وهي مبرهنة صالحة على مجالات القاسم المشترك الأكبر.

• مجال التحليل الفريد هو مجال القاسم المشترك الأكبر. ومن بين مجالات القاسم المشترك الأكبر، فإن مجالات التحليل الفريدة هي تلك التي هي أيضًا مجالات ذرية (مما يعني أنه يوجد على الأقل تحليل واحد إلى عناصر غير قابلة للاختزال لأي عدد غير صفري وغير وحدوي).
• مجال بيزو ( أي مجال تكاملي يكون فيه كل مثالي مولد نهائيًا رئيسيًا) هو مجال قاسم مشترك أكبر. على عكس مجالات المثالي الرئيسي (حيث يكون كل مثالي رئيسيًا)، لا يشترط أن يكون مجال بيزو مجال تحليل فريد؛ على سبيل المثال، حلقة الدوال الكاملة هي مجال بيزو غير ذري، وهناك العديد من الأمثلة الأخرى. يكون المجال التكاملي مجال قاسم مشترك أكبر لبروفر إذا وفقط إذا كان مجال بيزو. ^{[ 3 ]}
• إذا كانت R مجالًا غير ذري للقاسم المشترك الأكبر، فإن R [ X ] هو مثال على مجال قاسم مشترك أكبر ليس مجال تحليل فريد (لأنه غير ذري) ولا مجال بيزو (لأن X وعنصر غير قابل للعكس وغير صفري a من R يولدان مثاليًا لا يحتوي على 1، ولكن 1 مع ذلك هو قاسم مشترك أكبر لـ X و a )؛ وبشكل عام، أي حلقة R [ X ₁ ,..., X _n ] لها هذه الخصائص.
• حلقة أحادية تبديلية${\displaystyle R[X;S]}$يكون مجال القاسم المشترك الأكبر إذا وفقط إذا${\displaystyle R}$هو نطاق GCD و${\displaystyle S}$هي شبه مجموعة GCD- قابلة للإلغاء وخالية من الالتواء . شبه مجموعة GCD- هي شبه مجموعة تتميز بخاصية إضافية، وهي أنه لأي${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$في المجموعة النصفية${\displaystyle S}$يوجد${\displaystyle c}$بحيث${\displaystyle (a+S)\cap (b+S)=c+S}$وخاصة إذا${\displaystyle G}$إذا كانت مجموعة أبيلية ، فإن${\displaystyle R[X;G]}$يكون مجال القاسم المشترك الأكبر إذا وفقط إذا${\displaystyle R}$هو نطاق GCD و${\displaystyle G}$خالٍ من الالتواء. ^{[ 4 ]}
• الخاتم${\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {-d}}]}$ليست مجالًا للقاسم المشترك الأكبر لجميع الأعداد الصحيحة الخالية من المربعات${\displaystyle d\geq 3}$[ ^{5 ]​}

تنتقل العديد من خصائص نطاق القاسم المشترك الأكبر (GCD) إلى نطاقات القاسم المشترك الأكبر المعممة ^{[ 6 ]} ، حيث تُعمم المُثُل الرئيسية إلى مُثُل قابلة للعكس ، ويكون تقاطع مُثُلين قابلين للعكس قابلاً للعكس، بحيث تُشكل مجموعة المُثُل القابلة للعكس شبكة. في حلقات القاسم المشترك الأكبر، تكون المُثُل قابلة للعكس إذا وفقط إذا كانت رئيسية، مما يعني أنه يُمكن أيضًا التعامل مع عمليتي القاسم المشترك الأكبر والمضاعف المشترك الأصغر كعمليات على المُثُل القابلة للعكس.

تشمل أمثلة مجالات G-GCD مجالات GCD، وحلقات كثيرات الحدود فوق مجالات GCD، ومجالات Prüfer ، ومجالات π (المجالات التي يكون فيها كل مثالي رئيسي هو ناتج مثاليات أولية)، مما يعمم خاصية GCD لمجالات Bézout ومجالات التحليل الفريد .