المجال المثالي الرئيسي

في الرياضيات ، يُعرف مجال المثالي الرئيسي ( PID ) بأنه مجال تكاملي (أي حلقة تبديلية غير صفرية لا تحتوي على قواسم صفرية غير صفرية ) يكون فيه كل مثالي رئيسيًا (أي يتكون من مضاعفات عنصر واحد). ويشير بعض المؤلفين، مثل بورباكي، إلى مجالات المثالي الرئيسي باسم الحلقات الرئيسية .

المجالات المثالية الرئيسية هي كائنات رياضية تتصرف مثل الأعداد الصحيحة فيما يتعلق بالقسمة : لكل عنصر في مجال مثالي رئيسي تحليل فريد إلى عوامل أولية (وبالتالي ينطبق نظير لنظرية الحساب الأساسية )؛ ​​ولكل عنصرين في مجال مثالي رئيسي قاسم مشترك أكبر (مع أنه قد لا يكون من الممكن إيجاده باستخدام خوارزمية إقليدس ). إذا كان x و y عنصرين في مجال مثالي رئيسي بدون قواسم مشتركة، فيمكن كتابة كل عنصر من عناصر المجال المثالي الرئيسي على الصورة ax + by ، وهكذا.

المجالات المثالية الرئيسية هي مجالات نوثرية ، ومغلقة تكاملياً ، ومجالات تحليل فريدة ، ومجالات ديديكيند . جميع المجالات الإقليدية وجميع الحقول هي مجالات مثالية رئيسية.

يشترط بعض المؤلفين أيضًا أن يكون لمجالات المثالي الرئيسي بُعد كرول واحد، أو ما يعادله، أن تمتلك مثاليات غير صفرية ومناسبة، وذلك لاستبعاد الحقول على وجه التحديد ، ^{[ 1 ]} بينما تعتبر معظم المصادر الأخرى الحقول حالات خاصة تافهة من مجالات المثالي الرئيسي.

تظهر المجالات المثالية الرئيسية في سلسلة تضمين الفئات التالية :

الحلقات ⊃ الحلقات ⊃ الحلقات التبادلية ⊃ المجالات التكاملية ⊃ المجالات المغلقة تكامليًا ⊃ مجالات القاسم المشترك الأكبر ⊃ مجالات التحليل الفريد ⊃ مجالات المثالي الرئيسي ⊃ المجالات الإقليدية ⊃ الحقول ⊃ الحقول المغلقة جبريًا

ومن الأمثلة على ذلك:

• ${\displaystyle K}$أي مجال تكون فيه المثل العليا الوحيدة هي${\displaystyle (0)}$و${\displaystyle K}$،
• ${\displaystyle \mathbb {Z} }$: حلقة الأعداد الصحيحة ، ^{[ 2 ]}
• ${\displaystyle K[x]}$حلقات من كثيرات الحدود في متغير واحد بمعاملات في حقل. ( العكس صحيح أيضًا، أي إذا${\displaystyle A[x]}$إذا كان PID${\displaystyle A}$(هو حقل.) علاوة على ذلك، فإن حلقة متسلسلات القوى الرسمية في متغير واحد على حقل ما هي PID لأن كل مثالي يكون على الشكل${\displaystyle (x^{k})}$،
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$: حلقة الأعداد الصحيحة الغاوسية ، ^{[ 3 ]}
• ${\displaystyle \mathbb {Z} [\omega ]}$(أين${\displaystyle \omega }$(هو الجذر التكعيبي الأولي للعدد 1): أعداد أيزنشتاين الصحيحة ،
• أي حلقة تقييم منفصلة ، ​​على سبيل المثال حلقة الأعداد الصحيحة p -adic${\displaystyle \mathbb {Z} _{p}}$.

النتيجة الرئيسية هي نظرية البنية: إذا كان R مجالًا مثاليًا رئيسيًا، و M وحدة نمطية مولدة نهائيًا على R ، فإن${\displaystyle M}$هي مجموع مباشر لوحدات دورية، أي وحدات ذات مولد واحد. الوحدات الدورية متماثلة مع${\displaystyle R/xR}$بالنسبة للبعض${\displaystyle x\in R}$^{[ 5 ]} (لاحظ أن${\displaystyle x}$قد يساوي${\displaystyle 0}$وفي هذه الحالة${\displaystyle R/xR}$يكون${\displaystyle R}$).

إذا كانت M وحدةً حرةً على مجال مثالي رئيسي R ، فإن كل وحدة فرعية من M تكون حرةً أيضًا. ^{[ 6 ]} لا ينطبق هذا على الوحدات على الحلقات العشوائية، كما في المثال${\displaystyle (2,X)\subseteq \mathbb {Z} [X]}$ من الوحدات النمطية التي تزيد عن${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$العروض.

في مجال مثالي رئيسي، يكون لأي عنصرين a و b قاسم مشترك أكبر ، والذي يمكن الحصول عليه كمولد للمثالي ( a , b ) .

جميع المجالات الإقليدية هي مجالات مثالية رئيسية، ولكن العكس ليس صحيحًا. مثال على مجال مثالي رئيسي ليس مجالًا إقليديًا هو الحلقة${\displaystyle \mathbb {Z} {\bigl [}{\tfrac {1}{2}}{\bigl (}1+{\sqrt {-19}}~\!{\bigr )}{\bigr ]}}$[ ^{7 ] [ 8 ]} وقد أثبت ذلك ثيودور موتزكين، وكانت هذه أول حالة معروفة. ^{[ 9 ]} في هذا المجال، لا ^توجد قيم لـ q و r ، حيث 0 ≤ | r | < 4 ، وبالتالي${\displaystyle {\bigl (}1+{\sqrt {-19~\!}}{\bigr )}=(4)q+r}$، بالرغم من${\displaystyle 1+{\sqrt {-19}}}$و${\displaystyle 4}$يكون القاسم المشترك الأكبر له هو 2 .

كل مجال مثالي رئيسي هو مجال تحليل فريد (UFD). ^{[ 10 ] [ 11 ] [ 12 ] [ 13 ]} لا يصح العكس، لأنه لأي مجال تحليل فريد K ، فإن حلقة كثيرات الحدود K [ X , Y ] في متغيرين هي مجال تحليل فريد ولكنها ليست مجالًا مثاليًا رئيسيًا. (لإثبات ذلك، انظر إلى المثالي المُوَلَّد بواسطة${\displaystyle \left\langle X,Y\right\rangle .}$إنها ليست الحلقة الكاملة لأنها لا تحتوي على كثيرات حدود من الدرجة 0، ولكن لا يمكن توليدها بواسطة أي عنصر واحد.

1. كل مجال مثالي رئيسي هو مجال نوثري .
2. في جميع الحلقات الأحادية، تكون المُثُل القصوى أولية . في مجالات المُثُل الرئيسية، يكون العكس صحيحًا تقريبًا: كل مُثُل أولية غير صفرية تكون قصوى.
3. جميع المجالات المثالية الرئيسية مغلقة بشكل متكامل .

تُعطي العبارات الثلاث السابقة تعريف مجال ديديكيند ، وبالتالي فإن كل مجال مثالي رئيسي هو مجال ديديكيند.

إذا كانت A مجالًا تكامليًا، فإن ما يلي متكافئ.

1. A هو PID.
2. كل مثال أولي لـ A هو مثال رئيسي. ^{[ 14 ]}
3. A هو نطاق ديديكيند وهو نطاق UFD.
4. كل مثالي مولد بشكل نهائي لـ A هو مثالي رئيسي (أي أن A هو مجال بيزو ) و A يحقق شرط السلسلة الصاعدة على المثالي الرئيسي .
5. A يعترف بقاعدة Dedekind-Hasse . ^{[ 15 ]}

أي معيار إقليدي هو معيار ديديكيند-هاس؛ وبالتالي، تُظهر المعادلة (5) أن المجال الإقليدي هو مجال متعدد الأوجه. (4) تُقارن بـ:

• يُعتبر المجال التكاملي مجالًا غير موحد إذا وفقط إذا كان مجالًا يحتوي على قاسم مشترك أكبر (أي مجال يكون فيه لكل عنصرين قاسم مشترك أكبر) يحقق شرط السلسلة التصاعدية على المُثُل الرئيسية.

المجال التكاملي هو مجال بيزو إذا وفقط إذا كان لأي عنصرين فيه قاسم مشترك أكبر (ق.م.أ) يكون تركيبًا خطيًا لهما. وبالتالي، فإن مجال بيزو هو مجال ق.م.أ، وتقدم المعادلة (4) برهانًا آخر على أن المجال التكاملي هو مجال تكاملي غير موحد.

• هوية بيزو

• ميشيل هازوينكل ، نادية جوباريني، في في كيريتشينكو. الجبر والخواتم والوحدات . كلوير للنشر الأكاديمي ، 2004. ISBN 1-4020-2690-0
• جون ب. فرالي، فيكتور ج. كاتز . الدورة الأولى في الجبر المجرد . شركة أديسون ويسلي للنشر. 5 الطبعة، 1967. ردمك 0-201-53467-3
• ناثان جاكوبسون . الجبر الأساسي 1. دوفر، 2009. ISBN 978-0-486-47189-1
• باولو ريبنبوم. النظرية الكلاسيكية للأعداد الجبرية . سبرينغر، 2001. ISBN 0-387-95070-2

• الحلقة الرئيسية على موقع MathWorld