الإسقاط المتساوي القياس

الإسقاط المتساوي القياس هو أسلوب لتمثيل الأجسام ثلاثية الأبعاد بصريًا في بعدين في الرسومات الفنية والهندسية . وهو إسقاط محوري تظهر فيه محاور الإحداثيات الثلاثة مُختصرة بنفس القدر، وتكون الزاوية بين أي محورين منها 120 درجة.

رسم متساوي القياس لمكعب

كانت هناك حاجة إلى تدوير الكاميرا لتحقيق هذا المنظور.

يأتي مصطلح "متساوي القياس" من الكلمة اليونانية التي تعني "مقياس متساوي"، مما يعكس أن المقياس على طول كل محور من محاور الإسقاط هو نفسه (على عكس بعض الأشكال الأخرى للإسقاط الرسومي ).

يمكن الحصول على منظور متساوي القياس لجسم ما باختيار اتجاه الرؤية بحيث تكون الزوايا بين إسقاطات المحاور س ، ص ، ع متساوية ، أي 120 درجة. على سبيل المثال، مع مكعب، يتم ذلك بالنظر مباشرةً إلى أحد أوجهه. ثم يُدار المكعب بزاوية ±45 درجة حول المحور الرأسي، متبوعًا بدوران بزاوية 35.264 درجة تقريبًا (وهي تحديدًا arcsin √3 أو arctan √2 ، المرتبطة بالزاوية السحرية ) حول المحور الأفقي. لاحظ أنه مع المكعب (انظر الصورة) ، يكون محيط الرسم ثنائي الأبعاد الناتج سداسيًا منتظمًا تمامًا: جميع الخطوط السوداء متساوية الطول، وجميع أوجه المكعب متساوية المساحة. يمكن وضع ورقة رسم بياني متساوي القياس أسفل ورقة رسم عادية للمساعدة في تحقيق هذا التأثير دون الحاجة إلى حسابات.

وبالمثل، يمكن الحصول على منظور متساوي القياس في مشهد ثلاثي الأبعاد. بدءًا من محاذاة الكاميرا بالتوازي مع الأرض ومحاذاتها لمحاور الإحداثيات، يتم تدويرها أولاً أفقيًا (حول المحور الرأسي) بمقدار ±45 درجة، ثم بمقدار 35.264 درجة حول المحور الأفقي.

يمكن تصور الإسقاط المتساوي القياس بطريقة أخرى، وهي النظر إلى منظر داخل غرفة مكعبة بدءًا من الزاوية العلوية باتجاه الزاوية السفلية المقابلة. يمتد المحور السيني قطريًا إلى الأسفل واليمين، ويمتد المحور الصادي قطريًا إلى الأسفل واليسار، بينما يمتد المحور العيني عموديًا إلى الأعلى. ويُظهر الارتفاع في الصورة العمق أيضًا. وتكون الخطوط المرسومة على طول المحاور متعامدة بزاوية 120 درجة.

في جميع هذه الحالات، كما هو الحال مع جميع الإسقاطات المحورية والمتعامدة ، ستحتاج هذه الكاميرا إلى عدسة مركزية في فضاء الجسم ، حتى لا تتغير الأطوال المسقطة مع المسافة من الكاميرا.

يُستخدم مصطلح "متساوي القياس" خطأً في كثير من الأحيان للإشارة إلى الإسقاطات المحورية بشكل عام. ومع ذلك، توجد في الواقع ثلاثة أنواع من الإسقاطات المحورية: متساوية القياس ، وثنائية القياس ، ومائلة .

من بين الزاويتين اللازمتين للإسقاط المتساوي القياس، قد تبدو قيمة الزاوية الثانية غير بديهية وتستحق مزيدًا من التوضيح. لنتخيل أولًا مكعبًا طول ضلعه 2، ومركزه عند نقطة الأصل، أي أن جميع أوجهه تتقاطع مع المحاور على بُعد 1 من نقطة الأصل. يمكننا حساب طول الخط الواصل بين مركزه ومنتصف أي ضلع باستخدام نظرية فيثاغورس ، وهو √2 . بتدوير المكعب بزاوية 45° حول المحور السيني ، تصبح النقطة (1، 1، 1) هي (1، 0، √2 ) كما هو موضح في الرسم. يهدف الدوران الثاني إلى نقل النقطة نفسها إلى المحور العيني الموجب ، ولذا يتطلب دورانًا بقيمة تساوي معكوس ظل الزاوية 1 / √2 ، أي ما يقارب 35.264°.

توجد ثمانية اتجاهات مختلفة للحصول على رؤية متساوية القياس، وذلك بحسب الثُمن الذي ينظر إليه المشاهد. يمكن كتابة التحويل المتساوي القياس من نقطة a ( _{x , y , z)} في الفضاء ثلاثي الأبعاد إلى نقطة b _{(x , y)} في الفضاء ثنائي الأبعاد عند النظر إلى الثُمن الأول رياضيًا باستخدام مصفوفات الدوران كما يلي: $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {c} _{x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _{z}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&{\cos \alpha }&{-\sin \alpha }\\0&{\sin \alpha }&{\cos \alpha }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\cos \beta }&0&{-\sin \beta }\\0&1&0\\{\sin \beta }&0&{\cos \beta }\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _ {س}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _ {z}\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{\sqrt {6}}}{\begin{bmatrix}{\sqrt {3}}&0&-{\sqrt {3}}\\-1&2&-1\\{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}&{\sqrt {2}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {a} _{x}\\\mathbf {a} _{y}\\\mathbf {a} _{z}\\\end{bmatrix}}}$$

حيث α = arcsin(tan 30°) ≈ 35.264° و β = 45°. وكما هو موضح أعلاه، فإن هذا دوران حول المحور الرأسي (هنا y ) بمقدار β ، يليه دوران حول المحور الأفقي (هنا x ) بمقدار α . ثم يتبع ذلك إسقاط متعامد على المستوى xy . $${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {b} _{x}\\\mathbf {b} _{y}\\0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {c} _ {x}\\\mathbf {c} _{y}\\\mathbf {c} _ {z}\\\end{bmatrix}}}$$

أما الاحتمالات السبعة الأخرى فتُحصل عليها إما عن طريق التدوير إلى الجانبين المتقابلين أو عدم التدوير، ثم عكس اتجاه الرؤية أو عدم عكسه. ^{[ 1 ]}

نموذج محرك الطحن البصري (1822)، مرسوم بزاوية 30 درجة متساوية القياس ^{[ 2 ]}

مثال على الفن المتوازي في طبعة مصورة من رواية الممالك الثلاث ، الصين، حوالي القرن الخامس عشر

وضع البروفيسور ويليام فاريش (1759-1837) المفهومَ الرسميَّ للقياس المتساوي ، والذي كان موجودًا في شكل تجريبي تقريبي لعدة قرون. ^{[ 3 ] [ 4 ]} ومنذ منتصف القرن التاسع عشر، أصبح القياس المتساوي "أداة لا غنى عنها للمهندسين، وسرعان ما أُدرجت القياسات المحورية والقياس المتساوي في مناهج دورات التدريب المعماري في أوروبا والولايات المتحدة". ^{[ 5 ]} ومع ذلك، ووفقًا لجان كريك (2000) ^{[ 6 ]} ، "نشأ القياس المحوري في الصين. وكانت وظيفته في الفن الصيني مشابهة للمنظور الخطي في الفن الأوروبي. وقد اكتسب القياس المحوري، والقواعد التصويرية المرتبطة به، أهمية جديدة مع ظهور الحوسبة المرئية". ^{[ 6 ]}

مثال على قيود الإسقاط المتساوي القياس. لا يمكن تحديد فرق الارتفاع بين الكرتين الحمراء والزرقاء محليًا.

تصور سلالم بنروز درجًا يبدو أنه يصعد (عكس اتجاه عقارب الساعة) أو ينزل (مع اتجاه عقارب الساعة) ولكنه يشكل حلقة متصلة.

كما هو الحال مع جميع أنواع الإسقاط المتوازي ، لا تبدو الأجسام المرسومة بالإسقاط المتساوي القياس أكبر أو أصغر كلما اقتربت من المشاهد أو ابتعدت عنه. ورغم أن هذا مفيد في الرسومات المعمارية التي تتطلب أخذ القياسات مباشرةً، إلا أن النتيجة هي تشويه مرئي، إذ على عكس الإسقاط المنظوري ، لا تتوافق هذه الطريقة مع الرؤية البشرية أو التصوير الفوتوغرافي. كما يمكن أن تؤدي بسهولة إلى حالات يصعب فيها تقدير العمق والارتفاع، كما هو موضح في الرسم التوضيحي على اليمين أو أعلاه. وقد ينتج عن ذلك أشكال متناقضة أو مستحيلة ، مثل درج بنروز .

الرسومات متساوية القياس في ألعاب الفيديو هي رسومات تُستخدم في ألعاب الفيديو وفن البكسل ، وتعتمد على الإسقاط المتوازي ، مع تغيير زاوية الرؤية لإظهار جوانب من البيئة لا يمكن رؤيتها من منظور علوي أو جانبي ، مما يُنتج تأثيرًا ثلاثي الأبعاد . على الرغم من الاسم، فإن الرسومات متساوية القياس ليست بالضرورة متساوية القياس تمامًا ، أي أن محاور x و y و z ليست بالضرورة بزاوية 120 درجة بينها. بدلًا من ذلك، تُستخدم زوايا متنوعة، ويُعد الإسقاط ثنائي الأبعاد ونسبة البكسل 2: 1 الأكثر شيوعًا. تُستخدم أيضًا مصطلحات مثل " منظور ¾" و" عرض ¾" و" ثنائي الأبعاد ونصف " و"شبه ثلاثي الأبعاد " ، مع العلم أن هذه المصطلحات قد تحمل معاني مختلفة قليلًا في سياقات أخرى.

بعد أن كانت تقنية الإسقاط المتساوي القياس شائعة، أصبحت أقل شيوعًا مع ظهور أنظمة رسومات ثلاثية الأبعاد أكثر قوة ، ومع تركيز ألعاب الفيديو بشكل أكبر على الحركة والشخصيات الفردية. ^{[ 7 ]} ومع ذلك، شهدت ألعاب الفيديو التي تستخدم الإسقاط المتساوي القياس - وخاصة ألعاب تقمص الأدوار الحاسوبية - انتعاشًا في السنوات الأخيرة ضمن مشهد ألعاب الفيديو المستقلة . ^{[ 7 ] [ 8 ]}

• الإسقاط الرسومي

• الإسقاط المتساوي القياس مؤرشف بتاريخ 30 مارس 2021 على موقع Wayback Machine