التعامد الزائدي

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 27 صور
الموسوعة الحرة
يتم الحفاظ على التعامد الإقليدي عن طريق الدوران في الرسم التخطيطي الأيسر؛ ويتم الحفاظ على التعامد الزائدي بالنسبة للقطع الزائد (B) عن طريق الدوران الزائدي في الرسم التخطيطي الأيمن.

في الهندسة ، عند وجود قطعين زائدين مترافقين ، يكون قطراهما متعامدين زائديًا . وقد وصف أبولونيوس البرغي هذه العلاقة بين القطرين ، وتم تحديثها باستخدام الهندسة التحليلية . وتظهر الخطوط المتعامدة زائديًا في النسبية الخاصة كاتجاهات زمنية ومكانية تُظهر نسبية التزامن .

إن الحفاظ على محاور الزمان والمكان متعامدة بشكل زائدي، كما هو الحال في فضاء مينكوفسكي ، يعطي نتيجة ثابتة عند إجراء قياسات سرعة الضوء .

الهندسة

يكون الخطان متعامدين زائديين عندما يكونان انعكاسين لبعضهما البعض حول خط التقارب لقطع زائد معين . ويُستخدم نوعان محددان من القطع الزائد بشكل متكرر في المستوى:

  1. xy = 1 مع y = 0 كخط تقارب. عند انعكاس الخط y = mx حول محور السينات، يصبح y = − mx . في هذه الحالة، تكون الخطوط متعامدة زائدية إذا كانت ميولها معكوسات جمعية .
  2. x² - y² = 1 ، حيث y = x هو خط التقارب. بالنسبة للمستقيم y = mx حيث −1 < m < 1، عندما x = 1/ m ، فإن y = 1. النقطة (1/ m , 1) على المستقيم تنعكس حول y = x إلى (1, 1/ m ). بالتالي، فإن ميل المستقيم المنعكس يساوي 1/m، وميول الخطوط المتعامدة الزائدية هي مقلوب بعضها البعض.

تنطبق علاقة التعامد الزائدي في الواقع على فئات الخطوط المتوازية في المستوى، حيث يمكن لأي خط معين أن يمثل هذه الفئة. وبالتالي، بالنسبة لقطع زائد معين وخط تقارب A ، يكون زوج من الخطوط ( a , b ) متعامدًا زائديًا إذا وُجد زوج ( c , d ) بحيثأ‖ج، ب‖د{\displaystyle a\rVert c,\ b\rVert d}و c هو انعكاس d عبر A.

على غرار تعامد نصف قطر الدائرة مع المماس ، فإن نصف قطر القطع الزائد يكون متعامدًا بشكل زائد مع المماس للقطع الزائد. [ 1 ] [ 2 ]

يُستخدم الشكل الثنائي الخطي لوصف التعامد في الهندسة التحليلية، حيث يكون العنصران متعامدين عندما يتلاشى شكلهما الثنائي الخطي. في مستوى الأعداد المركبةz1=u+أناv،z2=x+أناy{\displaystyle z_{1}=u+iv,\quad z_{2}=x+iy}، الصيغة الثنائية الخطية هيxu+yv{\displaystyle xu+yv}، بينما في مستوى الأعداد الزائديةw1=u+جv،w2=x+جy،{\displaystyle w_{1}=u+jv,\quad w_{2}=x+jy,}الشكل الثنائي الخطي هوxu-yv.{\displaystyle xu-yv.}

يُقال إن المتجهين z 1 و z 2 في مستوى الأعداد المركبة، و w 1 و w 2 في مستوى الأعداد الزائدية ، متعامدان إقليديًا أو متعامدان زائديًا على التوالي إذا كانت نواتج ضربهما الداخلي [الصيغ الثنائية الخطية] تساوي صفرًا. [ 3 ]

يمكن حساب الصيغة الثنائية الخطية على أنها الجزء الحقيقي من حاصل الضرب المركب لعدد مع مرافق العدد الآخر.

z1z2*+z1*z2=0{\displaystyle z_{1}z_{2}^{*}+z_{1}^{*}z_{2}=0}يستلزم ذلك التعامد في المستوى المركب، بينما
w1w2*+w1*w2=0{\displaystyle w_{1}w_{2}^{*}+w_{1}^{*}w_{2}=0}وهذا يعني أن w 's متعامدة زائدية.

نشأ مفهوم التعامد الزائدي في الهندسة التحليلية عند دراسة الأقطار المترافقة للقطع الناقص والقطع الزائد. [ 4 ] إذا كان g و g ′ يمثلان ميلي القطرين المترافقين، فإنزز′=-ب2أ2{\displaystyle gg'=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}}في حالة القطع الناقص وزز′=ب2أ2{\displaystyle gg'={\frac {b^{2}}{a^{2}}}}في حالة القطع الزائد. عندما يكون a = b يكون القطع الناقص دائرة ويكون القطران المترافقان متعامدين، بينما يكون القطع الزائد مستطيلاً ويكون القطران المترافقان متعامدين بشكل زائدي.

في مصطلحات الهندسة الإسقاطية ، تُعرف عملية أخذ الخط المتعامد الزائدي بالانقلاب . لنفترض أن ميل الخط الرأسي يُرمز له بـ ∞، بحيث يكون لجميع الخطوط ميل في الخط الحقيقي الممتد إسقاطيًا . عندئذٍ، أيًا كان القطع الزائد المستخدم (أ) أو (ب)، تُعد العملية مثالًا على الانقلاب الزائدي حيث يكون خط التقارب ثابتًا. تقع الخطوط المتعامدة زائديًا في قطاعات مختلفة من المستوى، تحددها خطوط تقارب القطع الزائد، وبالتالي فإن علاقة التعامد الزائدي هي علاقة غير متجانسة على مجموعات الخطوط في المستوى.

سرعة الضوء الثابت

المحوران الأزرق والأسود متعامدان بشكل زائد، لذا فإن سرعة الضوء (الأصفر) تُحسب بنفس القيمة.

الفرضية الثانية للنسبية الخاصة هي أن سرعة الضوء لا تعتمد على الإطار المرجعي العطالي الذي تُجرى فيه القياسات. وقد ارتبطت هذه الفرضية بنتائج سلبية في تجربة مايكلسون-مورلي . فما دام محورا المكان والزمان متعامدين بشكل زائدي، فإن قياس سرعة الضوء سيعطي النتيجة نفسها. ويُحل التناقض الظاهري لثبات سرعة الضوء بالنسبة للمراقبين المتحركين في النسبية الخاصة من خلال هذه الخاصية لفضاء مينكوفسكي .

التزامن

منذ أن وضع هيرمان مينكوفسكي أسس دراسة الزمكان عام 1908، استُخدم مفهوم النقاط في مستوى الزمكان التي تكون متعامدة زائدية مع خط زمني (مماسية لخط العالم ) لتحديد تزامن الأحداث بالنسبة للخط الزمني، أو نسبية التزامن . في تطوير مينكوفسكي، استُخدم القطع الزائد من النوع (ب) المذكور أعلاه. [ 5 ] يكون المتجهان ( x1 , y1 , z1 , t1 ) و( x2 , y2 , z2 , t2 ) طبيعيين ( أي متعامدين زائديًا ) عندما

ج2 ت1 ت2-x1 x2-y1 y2-z1 z2=0.{\displaystyle c^{2}\ t_{1}\ t_{2}-x_{1}\ x_{2}-y_{1}\ y_{2}-z_{1}\ z_{2}=0.}

عندما تكون قيمة c تساوي 1، وتكون قيمتا y و z تساويان صفرًا، فإن x1 ≠ 0 و t2 ≠ 0 ، عندئذٍج ت1x1=x2ج ت2{\displaystyle {\frac {c\ t_{1}}{x_{1}}}={\frac {x_{2}}{c\ t_{2}}}}.

بفرض وجود قطع زائد ذي خط تقارب A ، فإن انعكاسه حول A ينتج عنه القطع الزائد المرافق . أي قطر للقطع الزائد الأصلي ينعكس إلى قطر مرافق . تُعتبر الاتجاهات التي تشير إليها الأقطار المرافقة محاور المكان والزمان في النسبية. وكما كتب إي. تي. ويتاكر عام 1910، "لا يتغير القطع الزائد عند اعتبار أي زوج من الأقطار المرافقة محاور جديدة، وتُؤخذ وحدة طول جديدة تتناسب مع طول أي من هذين القطرين." [ 6 ] وانطلاقًا من هذا المبدأ النسبي ، كتب تحويل لورنتز في صيغته الحديثة باستخدام السرعة .

قام إدوين بيدويل ويلسون وجيلبرت ن. لويس بتطوير المفهوم ضمن الهندسة التركيبية في عام 1912. ويشيرون إلى أنه "في مستوانا، لا يوجد زوج من الخطوط المتعامدة [الزائدية المتعامدة] أفضل من أي زوج آخر ليكون بمثابة محاور إحداثيات" [ 1 ].

العلاقة بتحويلات لورنتز

يوفر التعامد الزائدي تفسيراً هندسياً مباشراً لتحويلات لورنتز . بينما يحافظ الدوران الإقليدي في المستوى على المحاور المتعامدة ويحافظ على معادلة الدائرة (x2+y2=ر2{\displaystyle x^{2}+y^{2}=r^{2}})، يعمل تحويل لورنتز كدوران زائدي (أو تعزيز)، مما يحافظ على فاصل الزمكان الثابت :

ج2ت2-x2=s2{\displaystyle c^{2}t^{2}-x^{2}=s^{2}}

تمثيل المصفوفة

في الجبر الخطي ، إذا مثّلنا موضعًا في الزمكان ثنائي الأبعاد كمتجهX=[جتx]{\displaystyle \mathbf {X} ={\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}}}يُعطى تحويل لورنتز لإطار يتحرك بسرعة v على طول المحور x بواسطة المصفوفةΛ{\displaystyle \Lambda }:

[جت′x′]=[γ-βγ-βγγ][جتx]{\displaystyle {\begin{bmatrix}ct'\\x'\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\beta \gamma \\-\beta \gamma &\gamma \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}ct\\x\end{bmatrix}}}

أينβ=vج{\displaystyle \beta ={\frac {v}{c}}}هي السرعة المعيارية وγ=11-β2{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}هو عامل لورنتز .

الحفاظ على التعامد

لنفترض أساسًا من متجهات الوحدة: متجه يشبه الزمنu=[10]{\displaystyle \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}}ومتجه فضائيv=[01]{\displaystyle \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}}هذه متعامدة بشكل زائد لأن حاصل ضربها الداخلي مينكوفسكي يساوي صفرًا:

u⋅v=(1)(0)-(0)(1)=0{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =(1)(0)-(0)(1)=0}

تطبيق تحويل لورنتزΛ{\displaystyle \Lambda }يؤدي تطبيق المتجهين على المحورين إلى الحصول على المحاور المحولة:

u′=Λu=[γ-βγ]،v′=Λv=[-βγγ]{\displaystyle \mathbf {u'} =\Lambda \mathbf {u} ={\begin{bmatrix}\gamma \\-\beta \gamma \end{bmatrix}},\quad \mathbf {v'} =\Lambda \mathbf {v} ={\begin{bmatrix}-\beta \gamma \\\gamma \end{بمصفوفة}}}

المنتج الداخلي لمينكوفسكي بين المحورين الجديدينu′{\displaystyle \mathbf {u'} }وv′{\displaystyle \mathbf {v'} }يبقى الصفر:

u′⋅v′=(γ)(-βγ)-(-βγ)(γ)=0{\displaystyle \mathbf {u'} \cdot \mathbf {v'} =(\gamma )(-\beta \gamma )-(-\beta \gamma )(\gamma )=0}

وهذا يوضح أن تحويل لورنتز يحافظ على التعامد الزائدي لمحاور الإحداثيات، وهو ضرورة هندسية لضمان ثبات سرعة الضوء لجميع المراقبين العطاليين.

مراجع

  1. 1 2 إدوين ب. ويلسون وجيلبرت ن. لويس (1912) "متعدد الزمكان في النسبية. الهندسة غير الإقليدية للميكانيكا والكهرومغناطيسية" وقائع الأكاديمية الأمريكية للفنون والعلوم 48: 387-507، وخاصة 415 doi : 10.2307/20022840
  2. ↑ بيورن فيلساجر (2004)، من خلال المرآة - لمحة عن هندسة التوأم لإقليدس، هندسة مينكوفسكي مؤرشفة في 2011-07-16 في آلة Wayback ، ICME-10 كوبنهاغن؛ الصفحات 6 و7.
  3. ↑ Sobczyk, G.(1995) Hyperbolic Number Plane , also published in College Mathematics Journal 26:268–80.
  4. ↑ باري سبين (1957) القطوع المخروطية التحليلية ، القطع الناقص §33، صفحة 38 والقطع الزائد §41، صفحة 49، من هاثي تراست
  5. ^ مينكوفسكي ، هيرمان (1909)، “Raum und Zeit” ، Physikalische Zeitschrift ، 10 : 75– 88 
  6. ↑ إي تي ويتاكر (1910) تاريخ نظريات الأثير والكهرباء دبلن: لونجمانز، جرين وشركاه (انظر الصفحة 441)
  • جي دي بيركوف (1923) النسبية والفيزياء الحديثة ، الصفحات 62،3، مطبعة جامعة هارفارد .
  • فرانشيسكو كاتوني، دينو بوكاليتي، وروبرتو كاناتا (2008) رياضيات فضاء مينكوفسكي ، بيركهوزر فيرلاغ ، بازل. انظر الصفحة 38، التعامد الزائف.
  • روبرت غولدبلات (1987) التعامد وهندسة الزمكان ، الفصل 1: رحلة على متن قطار أينشتاين، سلسلة نصوص الجامعة، دار نشر سبرينغر-فيرلاغ، رقم ISBN 0-387-96519-XMR 0888161 
  • جيه إيه ويلر؛ سي. ميسنر؛ كيه إس ثورن (1973). الجاذبية . دبليو إتش فريمان وشركاه. ص 58. ISBN  0-7167-0344-0.