جبر لي

بُعد جبر لي على حقل يعني بُعده كفضاء متجهي . في الفيزياء، أساس الفضاء المتجهي لجبر لي لمجموعة لي${\displaystyle G}$يمكن تسميتها مجموعة من المولدات لـ${\displaystyle G}$(إنها "مولدات متناهية الصغر" لـ${\displaystyle G}$(إن صح التعبير). في الرياضيات، المجموعة${\displaystyle S}$مولدات لجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يعني مجموعة فرعية من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بحيث أن أي جبر جزئي من نوع لي (كما هو مُعرَّف أدناه) يحتوي${\displaystyle S}$يجب أن يكون كل شيء${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$أو بعبارة أخرى،${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يتم توليدها (كمساحة متجهة) بواسطة جميع الأقواس المتكررة لعناصر من${\displaystyle S}$.

يُطلق على جبر لي اسم الجبر التبديلي إذا كان قوس لي الخاص به يساوي صفرًا تمامًا. أي فضاء متجهي${\displaystyle V}$يصبح العنصر المزود بقوس لي يساوي صفرًا جبر لي. كل جبر لي أحادي البعد هو جبر تبديلي، وذلك بفضل خاصية التبديل لقوس لي.

• في الجبر الترابطي${\displaystyle A}$فوق حقل${\displaystyle F}$مع كتابة عملية الضرب على النحو التالي${\displaystyle xy}$يمكن تعريف قوس لي بواسطة المبدل${\displaystyle [x,y]=xy-yx}$باستخدام هذا القوس،${\displaystyle A}$هي جبر لي. (تنتج متطابقة جاكوبي من خاصية التجميع للضرب على${\displaystyle A}$.) ^{[ 4 ]}
• حلقة التشكل الداخلي لـ${\displaystyle F}$فضاء المتجهات${\displaystyle V}$يُشار إلى ذلك باستخدام قوس لي أعلاه${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$.
• لمجال${\displaystyle F}$وعدد صحيح موجب${\displaystyle n}$، مساحة${\displaystyle n\times n}$المصفوفات فوق${\displaystyle F}$، المشار إليه${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$أو${\displaystyle {\mathfrak {gl}}_{n}(F)}$، هي جبر لي مع قوس معطاة بواسطة مبدل المصفوفات:${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$[ ^{5 ]} هذه حالة خاصة من المثال السابق؛ وهي مثال رئيسي على جبر لي. ويُطلق عليها اسم جبر لي الخطي العام ^.

متى${\displaystyle F}$هي الأرقام الحقيقية،${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$هي جبر لي للمجموعة الخطية العامة${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$، مجموعة العناصر القابلة للعكس${\displaystyle n\times n}$ المصفوفات الحقيقية (أو ما يعادلها، المصفوفات ذات المحدد غير الصفري )، حيث تكون عملية المجموعة هي ضرب المصفوفات. وبالمثل،${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$هي جبر لي لمجموعة لي المعقدة${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$قوس الكذب على${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$يصف هذا المصطلح فشل خاصية التبديل في ضرب المصفوفات، أو ما يعادلها في تركيب التحويلات الخطية. لأي حقل${\displaystyle F}$،${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$يمكن اعتبارها جبر لي للمجموعة الجبرية${\displaystyle \mathrm {GL} (n)}$زيادة${\displaystyle F}$.

لا يشترط أن يكون قوس لي تجميعيًا ، مما يعني أن${\displaystyle [[x,y],z]}$ليس بالضرورة أن يكون مساوياً لـ${\displaystyle [x,[y,z]]}$ومع ذلك، فإن الكثير من المصطلحات المستخدمة في الحلقات والجبر الترابطي (وكذلك في المجموعات) لها نظائر في جبر لي. جبر لي الجزئي هو فضاء جزئي خطي${\displaystyle {\mathfrak {h}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$وهو مغلق تحت قوس لاي. مثالي${\displaystyle {\mathfrak {i}}\subseteq {\mathfrak {g}}}$هو فضاء فرعي خطي يحقق الشرط الأقوى ^{[ ب ] [ 6 ]}

${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {i}}]\subseteq {\mathfrak {i}}.}$

في العلاقة بين مجموعات لي وجبر لي، تتوافق المجموعات الفرعية مع جبر لي الفرعي، وتتوافق المجموعات الفرعية العادية مع المثاليات.

إن تماثل جبر لي هو تطبيق خطي متوافق مع أقواس لي المقابلة ^{[ 7 ]} :

${\displaystyle \varphi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}},\quad \varphi ([x,y])=[\varphi (x),\varphi (y)]\ {\text{for all}}\ x,y\in {\mathfrak {g}}.}$

التشاكل بين جبر لي هو تشاكل تقابلي.

كما هو الحال مع الزمر الجزئية العادية في الزمر، فإن المُثُل في جبر لي هي تحديدًا نوى التشاكلات. بالنظر إلى جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ومثالي${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$فيه، جبر لي للقسمة${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$يتم تعريفها، بتشاكل شامل${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$من جبر لي. تنطبق نظرية التشاكل الأولى على جبر لي: لأي تشاكل${\displaystyle \varphi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {h}}}$من جبر لي، صورة${\displaystyle \varphi }$هي جبر فرعي من نوع لي${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$وهو متماثل مع${\displaystyle {\mathfrak {g}}/\ker(\varphi )}$.

بالنسبة لجبر لي الخاص بمجموعة لي، فإن قوس لي هو نوع من المبدلات المتناهية الصغر. ونتيجة لذلك، بالنسبة لأي جبر لي، عنصران${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$يقال إنهم يتنقلون إذا اختفى قوسهم:${\displaystyle [x,y]=0}$[ ^{8 ]​}

الجبر الفرعي المركزي لمجموعة جزئية${\displaystyle S\subset {\mathfrak {g}}}$هي مجموعة العناصر التي تتنقل مع${\displaystyle S}$: إنه،${\displaystyle {\mathfrak {z}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]=0\ {\text{ for all }}s\in S\}}$. مركزية${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هو المركز نفسه${\displaystyle {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}})}$وبالمثل، بالنسبة للفضاء الجزئي S ، فإن الجبر الجزئي المعياري لـ${\displaystyle S}$يكون${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)=\{x\in {\mathfrak {g}}:[x,s]\in S\ {\text{ for all}}\ s\in S\}}$[ ^{9 ] [ 10 ]} إذا^​${\displaystyle S}$هي جبر فرعي من نوع لي،${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$هي أكبر جبر فرعي بحيث${\displaystyle S}$هو مثال لـ${\displaystyle {\mathfrak {n}}_{\mathfrak {g}}(S)}$.

لجبرين لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$و${\displaystyle {\mathfrak {g'}}}$، جبر لي الناتج هو الفضاء المتجهي${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}}$يتكون من جميع الأزواج المرتبة${\displaystyle (x,x'),\,x\in {\mathfrak {g}},\ x'\in {\mathfrak {g'}}}$، مع قوس لي ^{[ 11 ]}

${\displaystyle [(x,x'),(y,y')]=([x,y],[x',y']).}$

هذا المنتج يندرج ضمن فئة جبر لي. لاحظ أن نسخ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$و${\displaystyle {\mathfrak {g}}'}$في${\displaystyle {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g'}}}$يتنقلون مع بعضهم البعض:${\displaystyle [(x,0),(0,x')]=0.}$

يترك${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$كن جبر لي و${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$مثال لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إذا كانت الخريطة الأساسية${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$يقسم (أي يقبل قسمًا)${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\to {\mathfrak {g}}}$(كـ تشاكل لجبر لي)، إذن${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ويُقال إنه نتاج شبه مباشر لـ${\displaystyle {\mathfrak {i}}}$و${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}}$، مكتوب${\displaystyle {\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}/{\mathfrak {i}}\ltimes {\mathfrak {i}}}$انظر أيضًا المجموع شبه المباشر لجبر لي .

بالنسبة للجبر A على حقل F ، فإن اشتقاق A على F هو تطبيق خطي${\displaystyle D\colon A\to A}$الذي يفي بقاعدة لايبنتز

${\displaystyle D(xy)=D(x)y+xD(y)}$

للجميع${\displaystyle x,y\in A}$(يكون التعريف منطقيًا بالنسبة لجبر قد لا يكون ترابطيًا .) بالنظر إلى اشتقاقين${\displaystyle D_{1}}$و${\displaystyle D_{2}}$، جهاز التبديل الخاص بهم${\displaystyle [D_{1},D_{2}]:=D_{1}D_{2}-D_{2}D_{1}}$وهي مشتقة أخرى. هذه العملية تجعل المساحة${\displaystyle {\text{Der}}_{F}(A)}$من جميع مشتقات A على F إلى جبر لي. ^{[ 12 ]}

بصورة غير رسمية، فإن فضاء الاشتقاقات لـ A هو جبر لي لمجموعة التشاكلات الذاتية لـ A. (هذا صحيح حرفيًا عندما تكون مجموعة التشاكلات الذاتية مجموعة لي، على سبيل المثال عندما تكون F هي مجموعة الأعداد الحقيقية ويكون لـ A بُعد محدود كفضاء متجهي). لهذا السبب، تُعد فضاءات الاشتقاقات طريقة طبيعية لبناء جبر لي: فهي "التشاكلات الذاتية المتناهية الصغر" لـ A. في الواقع، بكتابة الشرط الذي

${\displaystyle (1+\varepsilon D)(xy)\equiv (1+\varepsilon D)(x)\cdot (1+\varepsilon D)(y){\pmod {\varepsilon ^{2}}}}$

(حيث يشير 1 إلى تطبيق الهوية على A ) يعطي تعريفًا دقيقًا لـ D باعتباره اشتقاقًا.

مثال: جبر لي للحقول المتجهة. ليكن A الحلقة${\displaystyle C^{\infty }(X)}$للدوال الملساء على مشعب أملس X. ثم اشتقاق A على${\displaystyle \mathbb {R} }$يكافئ حقلًا متجهيًا على X. (يعطي الحقل المتجهي v اشتقاقًا لفضاء الدوال الملساء عن طريق تفاضل الدوال في اتجاه v ). وهذا يجعل الفضاء${\displaystyle \operatorname {Vect} (X)}$تحويل حقول المتجهات إلى جبر لي (انظر قوس لي لحقول المتجهات ). ^{[ 13 ]} بعبارة أخرى،${\displaystyle {\text{Vect}}(X)}$هي جبر لي لمجموعة التشاكلات التفاضلية لـ X. لذا، فإن قوس لي للحقول المتجهة يصف عدم تبادلية مجموعة التشاكلات التفاضلية. يحدد تأثير مجموعة لي G على مشعب X تشاكلاً بين جبر لي.${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to {\text{Vect}}(X)}$(يوضح المثال أدناه.)

يمكن اعتبار جبر لي جبرًا غير ترابطي، وبالتالي فإن كل جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يحدد الحقل F جبر لي الخاص به للمشتقات،${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$أي مشتق من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي خريطة خطية${\displaystyle D\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}}$بحيث

${\displaystyle D([x,y])=[D(x),y]+[x,D(y)]}$.

الاشتقاق الداخلي المرتبط بأي${\displaystyle x\in {\mathfrak {g}}}$هي عملية التحويل المرافق${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}}$محدد بواسطة${\displaystyle \mathrm {ad} _{x}(y):=[x,y]}$(هذا اشتقاق كنتيجة لهوية جاكوبي.) وهذا يعطي تشاكلاً لجبر لي،${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$الصورة${\displaystyle {\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$يُعدّ مثالاً يُحتذى به في${\displaystyle {\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})}$، ويُعرَّف جبر لي للاشتقاقات الخارجية بأنه جبر لي للقسمة.${\displaystyle {\text{Out}}_{F}({\mathfrak {g}})={\text{Der}}_{F}({\mathfrak {g}})/{\text{Inn}}_{F}({\mathfrak {g}})}$(هذا يُشابه تمامًا زمرة التشاكل الذاتي الخارجي لزمرة). بالنسبة لجبر لي شبه البسيط (المُعرَّف أدناه) على حقل ذي خاصية صفرية، فإن كل اشتقاق داخلي. ^{[ 14 ]} يرتبط هذا بنظرية أن زمرة التشاكل الذاتي الخارجي لزمرة لي شبه البسيطة منتهية. ^{[ 15 ]}

في المقابل، يمتلك جبر لي الأبلي العديد من الاشتقاقات الخارجية. أي، بالنسبة للفضاء المتجهي${\displaystyle V}$مع قوس لي الصفري، جبر لي${\displaystyle {\text{Out}}_{F}(V)}$يمكن التعرف عليها من خلال${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$.

مجموعة المصفوفات هي مجموعة لي تتكون من مصفوفات قابلة للعكس.${\displaystyle G\subset \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$حيث أن عملية المجموعة G هي ضرب المصفوفات. جبر لي المقابل${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$هي فضاء المصفوفات التي تمثل متجهات مماسية للمصفوفة G داخل الفضاء الخطي${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$وهذا يتكون من مشتقات المنحنيات الملساء في G عند مصفوفة الوحدة${\displaystyle I}$:

${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\{X=c'(0)\in M_{n}(\mathbb {R} ):{\text{ smooth }}c:\mathbb {R} \to G,\ c(0)=I\}.}$

قوس الكذب${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يتم تحديدها بواسطة مبدل المصفوفات،${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$. بالنظر إلى جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}\subset {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$يمكن استعادة زمرة لي كزمرة جزئية مولدة بواسطة الدالة الأسية للمصفوفة لعناصر${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$^{[ 16 ]} ( وبالتحديد، هذا يعطي المكون المحايد لـ G ، إذا لم تكن G متصلة.) هنا التطبيق الأسي${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {R} )\to M_{n}(\mathbb {R} )}$يتم تعريفها بواسطة${\displaystyle \exp(X)=I+X+{\tfrac {1}{2!}}X^{2}+{\tfrac {1}{3!}}X^{3}+\cdots }$، والتي تتقارب لكل مصفوفة${\displaystyle X}$.

تنطبق نفس التعليقات على مجموعات لي الفرعية المعقدة من${\displaystyle \operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )}$والدالة الأسية للمصفوفة المعقدة،${\displaystyle \exp :M_{n}(\mathbb {C} )\to M_{n}(\mathbb {C} )}$(محددة بنفس الصيغة).

فيما يلي بعض زمر لي المصفوفية وجبر لي الخاص بها. ^{[ 17 ]}

• بالنسبة لعدد صحيح موجب n ، فإن المجموعة الخطية الخاصة${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$تتكون من جميع المصفوفات الحقيقية من الرتبة n  × n  ذات المحدد 1. هذه هي مجموعة التطبيقات الخطية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$لذاتها التي تحافظ على الحجم والاتجاه . وبشكل أكثر تجريدًا،${\displaystyle \mathrm {SL} (n,\mathbb {R} )}$هي مجموعة التبديلات الفرعية للمجموعة الخطية العامة${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {R} )}$. جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {R} )}$تتألف من جميع المصفوفات الحقيقية من الرتبة n  × n  ذات الأثر 0. وبالمثل، يمكن تعريف زمرة لي المركبة المماثلة.${\displaystyle {\rm {SL}}(n,\mathbb {C} )}$وجبر لي الخاص به${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$.
• المجموعة المتعامدة${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$يلعب دورًا أساسيًا في الهندسة: إنه مجموعة التحويلات الخطية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$إلى نفسها التي تحافظ على طول المتجهات. على سبيل المثال، تنتمي الدورانات والانعكاسات إلى${\displaystyle \mathrm {O} (n)}$بصورة مكافئة، هذه هي مجموعة المصفوفات المتعامدة من الرتبة n × n ، مما يعني أن${\displaystyle A^{\mathrm {T} }=A^{-1}}$، أين${\displaystyle A^{\mathrm {T} }}$يرمز إلى منقولة المصفوفة. تتكون المجموعة المتعامدة من عنصرين متصلين؛ ويسمى العنصر المحايد بالمجموعة المتعامدة الخاصة.${\displaystyle \mathrm {SO} (n)}$، والتي تتكون من المصفوفات المتعامدة ذات المحدد 1. كلا المجموعتين لهما نفس جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$، الفضاء الجزئي للمصفوفات المتناظرة المائلة في${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {R} )}$(${\displaystyle X^{\rm {T}}=-X}$انظر أيضًا إلى الدورانات المتناهية الصغر مع المصفوفات المتناظرة المائلة .

المجموعة المتعامدة المعقدة${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )}$، مكون هويتها${\displaystyle \mathrm {SO} (n,\mathbb {C} )}$وجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n,\mathbb {C} )}$تُعطى هذه القيم بنفس الصيغ المطبقة على المصفوفات المركبة من الرتبة n × n . وبصورة مكافئة،${\displaystyle \mathrm {O} (n,\mathbb {C} )}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$الذي يحافظ على الشكل الثنائي الخطي المتناظر القياسي على${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$.

• المجموعة الموحدة${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$الذي يحافظ على طول المتجهات في${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$(بالنسبة إلى الضرب الداخلي الهرميتي القياسي ). وبشكل مكافئ، هذه هي مجموعة المصفوفات الوحدوية من الرتبة n  × n (التي تحقق ${\displaystyle A^{*}=A^{-1}}$، أين${\displaystyle A^{*}}$يرمز إلى منقولة المصفوفة المترافقة ). جبر لي الخاص بها${\displaystyle {\mathfrak {u}}(n)}$يتكون من المصفوفات شبه الهرميتية في${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,\mathbb {C} )}$(${\displaystyle X^{*}=-X}$هذا جبر لي على${\displaystyle \mathbb {R} }$ليس بعد${\displaystyle \mathbb {C} }$(في الواقع، حاصل ضرب i في مصفوفة شبه-هيرميتية هو هيرميتي، وليس شبه-هيرميتي). وبالمثل، فإن المجموعة الوحدوية${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$هي زمرة لي حقيقية من زمرة لي المعقدة${\displaystyle \mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )}$. على سبيل المثال،${\displaystyle \mathrm {U} (1)}$هي مجموعة الدائرة ، وجبر لي الخاص بها (من وجهة النظر هذه) هو${\displaystyle i\mathbb {R} \subset \mathbb {C} ={\mathfrak {gl}}(1,\mathbb {C} )}$.
• المجموعة الوحدوية الخاصة${\displaystyle \mathrm {SU} (n)}$هي مجموعة فرعية من المصفوفات ذات المحدد 1 في${\displaystyle \mathrm {U} (n)}$. جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$تتكون من المصفوفات شبه الهرميتية ذات الأثر الصفري.
• المجموعة التبسيطية${\displaystyle \mathrm {Sp} (2n,\mathbb {R} )}$هي مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathrm {GL} (2n,\mathbb {R} )}$الذي يحافظ على الشكل الثنائي الخطي المتناوب القياسي على${\displaystyle \mathbb {R} ^{2n}}$. جبر لي الخاص به هو جبر لي التبسيطي${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,\mathbb {R} )}$.
• إن جبر لي الكلاسيكي هو تلك المذكورة أعلاه، بالإضافة إلى المتغيرات على أي حقل.

يتم هنا وصف بعض جبر لي ذي الأبعاد المنخفضة. انظر تصنيف جبر لي الحقيقي ذي الأبعاد المنخفضة لمزيد من الأمثلة.

• يوجد جبر لي غير تبديلي فريد${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ذات بُعد 2 على أي حقل F ، حتى التشاكل. ^{[ 18 ]} هنا${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$له أساس${\displaystyle X,Y}$والتي يتم تحديدها بواسطة${\displaystyle \left[X,Y\right]=Y}$(هذا يحدد قوس لي بشكل كامل، لأن البديهيات تشير إلى ذلك)${\displaystyle [X,X]=0}$و${\displaystyle [Y,Y]=0}$.) على الأعداد الحقيقية،${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يمكن اعتبارها جبر لي لمجموعة لي${\displaystyle G=\mathrm {Aff} (1,\mathbb {R} )}$من التحويلات الأفينية للخط الحقيقي،${\displaystyle x\mapsto ax+b}$.

يمكن تعريف المجموعة الأفينية G بأنها مجموعة المصفوفات

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}a&b\\0&1\end{array}}\right)}$

في عملية ضرب المصفوفات، مع${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$،${\displaystyle a\neq 0}$. جبر لي الخاص به هو جبر لي الفرعي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ل${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(2,\mathbb {R} )}$تتكون من جميع المصفوفات

${\displaystyle \left({\begin{array}{cc}c&d\\0&0\end{array}}\right).}$

وبناءً على هذه الشروط، فإن الأساس المذكور أعلاه لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يتم تحديدها بواسطة المصفوفات

${\displaystyle X=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&0\end{array}}\right),\qquad Y=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right).}$

لأي مجال${\displaystyle F}$، الفضاء الفرعي أحادي البعد${\displaystyle F\cdot Y}$هو مثالي في جبر لي ثنائي الأبعاد${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، وفقًا للصيغة${\displaystyle [X,Y]=Y\in F\cdot Y}$كلا جبر لي${\displaystyle F\cdot Y}$و${\displaystyle {\mathfrak {g}}/(F\cdot Y)}$هي أبيلية (لأنها أحادية البعد). بهذا المعنى،${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يمكن تقسيمها إلى "أجزاء" أبيلية، مما يعني أنها قابلة للحل (وإن لم تكن عديمة القوة)، وفقًا للمصطلحات الواردة أدناه.

• جبر هايزنبرغ${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$على حقل F ، يكون جبر لي ثلاثي الأبعاد ذو أساس${\displaystyle X,Y,Z}$بحيث ^{[ 19 ]}

${\displaystyle [X,Y]=Z,\quad [X,Z]=0,\quad [Y,Z]=0}$.

يمكن اعتبارها جبر لي للمصفوفات المثلثية العلوية 3 × 3 ، مع قوس لي التبادلي والأساس

${\displaystyle X=\left({\begin{array}{ccc}0&1&0\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Y=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&1\\0&0&0\end{array}}\right),\quad Z=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

مقارنة بالأرقام الحقيقية،${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(\mathbb {R} )}$هي جبر لي لمجموعة هايزنبرغ${\displaystyle \mathrm {H} _{3}(\mathbb {R} )}$أي مجموعة المصفوفات

${\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}1&a&c\\0&1&b\\0&0&1\end{array}}\right)}$

في عملية ضرب المصفوفات.

لأي حقل F ، مركز${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$هو المثالي أحادي البعد${\displaystyle F\cdot Z}$، والناتج${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)/(F\cdot Z)}$أبيلية، متماثلة مع${\displaystyle F^{2}}$وبناءً على المصطلحات الواردة أدناه، فإن ذلك يستتبع ما يلي:${\displaystyle {\mathfrak {h}}_{3}(F)}$هو عنصر عديم القوة (وإن لم يكن عنصرًا تبديليًا).

• جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$إن فضاء مجموعة الدوران SO(3) هو فضاء المصفوفات المتناظرة المائلة 3 × 3 على${\displaystyle \mathbb {R} }$يتم تحديد الأساس بواسطة المصفوفات الثلاث ^{[ 20 ]}

${\displaystyle F_{1}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{array}}\right),\quad F_{2}=\left({\begin{array}{ccc}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{array}}\right),\quad F_{3}=\left({\begin{array}{ccc}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{array}}\right)~.\quad }$

علاقات التبادل بين هذه المولدات هي

${\displaystyle [F_{1},F_{2}]=F_{3},}$

${\displaystyle [F_{2},F_{3}]=F_{1},}$

${\displaystyle [F_{3},F_{1}]=F_{2}.}$

الضرب الاتجاهي للمتجهات في${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$يُعطى بنفس الصيغة بدلالة الأساس القياسي؛ بحيث يكون جبر لي متماثلاً مع${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$. أيضًا،${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$^{[ 21 ]} وهو ما يعادل مؤثرات مركبة الزخم الزاوي الدوراني (الفيزيائي) للجسيمات ذات الدوران 1 في ميكانيكا الكم .

جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$لا يمكن تقسيمها إلى أجزاء بالطريقة التي يمكن بها تقسيم الأمثلة السابقة: إنها بسيطة ، بمعنى أنها ليست تبديلية، ومثالياتها الوحيدة هي 0 وجميع${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$.

• جبر لي بسيط آخر ذو بُعد 3، في هذه الحالة على${\displaystyle \mathbb {C} }$، هو الفضاء${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$تتكون هذه المصفوفات من مصفوفات ثنائية الأبعاد (2 × 2) ذات أثر صفري. وتُعطى القاعدة بثلاث مصفوفات.

${\displaystyle H=\left({\begin{array}{cc}1&0\\0&-1\end{array}}\right),\ E=\left({\begin{array}{cc}0&1\\0&0\end{array}}\right),\ F=\left({\begin{array}{cc}0&0\\1&0\end{array}}\right).}$

ح

هـ

F

فعل${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$على كرة ريمان${\displaystyle \mathbb {CP} ^{1}}$وعلى وجه الخصوص، فإن أقواس لي لحقول المتجهات الموضحة هي:${\displaystyle [H,E]=2E}$،${\displaystyle [H,F]=-2F}$،${\displaystyle [E,F]=H}$.

يتم حساب قوس لي كما يلي:

${\displaystyle [H,E]=2E,}$

${\displaystyle [H,F]=-2F,}$

${\displaystyle [E,F]=H.}$

باستخدام هذه الصيغ، يمكن للمرء أن يثبت أن جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$بسيط، ونصنف تمثيلاته ذات الأبعاد المحدودة (المُعرّفة أدناه). ^{[ 22 ]} في مصطلحات ميكانيكا الكم، يمكن اعتبار E و F بمثابة مُؤثري رفع وخفض . في الواقع، لأي تمثيل لـ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$تشير العلاقات المذكورة أعلاه إلى أن E تُسقط الفضاء الذاتي c لـ H (لعدد مركب c ) إلى${\displaystyle (c+2)}$-الفضاء الذاتي، بينما تقوم F بتحويل الفضاء الذاتي c إلى${\displaystyle (c-2)}$-الفضاء الذاتي.

جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$وهو متماثل مع تعقيد${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$، أي حاصل الضرب الموتري${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$تكون صيغ قوس لي أسهل في التحليل في حالة${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$ونتيجة لذلك، من الشائع تحليل التمثيلات المعقدة للمجموعة${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$من خلال ربطها بتمثيلات جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(2,\mathbb {C} )}$.

• جبر لي لحقول المتجهات على مشعب أملس ذي بُعد موجب هو جبر لي لانهائي الأبعاد على${\displaystyle \mathbb {R} }$.
• تُعدّ جبر كاك -مودي فئة كبيرة من جبر لي اللانهائي الأبعاد، على سبيل المثال على${\displaystyle \mathbb {C} }$، ذات بنية تشبه إلى حد كبير بنية جبر لي البسيط ذي الأبعاد المحدودة (مثل${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,\mathbb {C} )}$).
• جبر مويال هو جبر لي ذو أبعاد لا نهائية يحتوي على جميع جبر لي الكلاسيكي كجبر فرعي.
• تُعد جبر فيراسورو مهمة في نظرية الأوتار .
• الدالة التي تنقل جبر لي فوق حقل F إلى الفضاء المتجهي الأساسي لها مرافق أيسر.${\displaystyle V\mapsto L(V)}$يُطلق عليه اسم جبر لي الحر على فضاء متجهي V. وهو مُولّد بواسطة جميع أقواس لي المتكررة لعناصر V ، باستثناء العلاقات المُستمدة من تعريف جبر لي.${\displaystyle L(V)}$يكون ذا أبعاد لا نهائية بالنسبة لـ V ذي البعد 2 على الأقل. ^{[ 23 ]}

بفرض وجود فضاء متجهي V ، ليكن${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(V)}$يرمز إلى جبر لي الذي يتكون من جميع التطبيقات الخطية من V إلى نفسها، مع قوس معطى بواسطة${\displaystyle [X,Y]=XY-YX}$تمثيل لجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على V هو تشاكل جبر لي

${\displaystyle \pi \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V).}$

إنه،${\displaystyle \pi }$يرسل كل عنصر من${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$إلى خريطة خطية من V إلى نفسها، بحيث يكون قوس لي على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يتوافق مع مبدل التحويلات الخطية. ^{[ 24 ]}

يُقال إن التمثيل أمين إذا كانت نواته صفرًا. تنص نظرية آدو على أن كل جبر لي محدود الأبعاد على حقل ذي خاصية صفرية له تمثيل أمين على فضاء متجهي محدود الأبعاد. وقد عمم كينكيتشي إيواساوا هذه النتيجة لتشمل جبر لي محدود الأبعاد على حقل ذي خاصية ما. ^{[ 25 ]} وبصورة مكافئة، فإن كل جبر لي محدود الأبعاد على حقل F متماثل مع جبر لي جزئي من${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$لبعض الأعداد الصحيحة الموجبة n .

لأي جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، التمثيل المرافق هو التمثيل ^{[ 26 ]}

${\displaystyle \operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})}$

مقدم من${\displaystyle \operatorname {ad} (x)(y)=[x,y]}$(هذا تمثيل لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(بحسب هوية جاكوبي.)

يُعدّ دراسة تمثيلات جبر لي (وخاصةً جبر لي شبه البسيط، كما هو مُعرّف أدناه) جانبًا مهمًا من جوانب دراسة جبر لي. ورغم أهمية نظرية آدو، فإن الهدف الأساسي لنظرية التمثيل ليس إيجاد تمثيل دقيق لجبر لي مُعطى.${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$في الواقع، في الحالة شبه البسيطة، يكون التمثيل المرافق أمينًا بالفعل. بل إن الهدف هو فهم جميع التمثيلات الممكنة لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$بالنسبة لجبر لي شبه البسيط على حقل ذي خاصية صفرية، تنص نظرية فايل ^{[ 27 ]} على أن كل تمثيل محدود الأبعاد هو مجموع مباشر لتمثيلات غير قابلة للاختزال (أي تلك التي لا تحتوي على فضاءات جزئية ثابتة غير تافهة). وتُفهم التمثيلات غير القابلة للاختزال محدودة الأبعاد جيدًا من عدة جوانب؛ انظر نظرية تمثيل جبر لي شبه البسيط وصيغة فايل للخاصية .

الدالة التي تأخذ جبرًا ترابطيًا A على حقل F إلى A كجبر لي (بواسطة${\displaystyle [X,Y]:=XY-YX}$) له مرافق أيسر${\displaystyle {\mathfrak {g}}\mapsto U({\mathfrak {g}})}$، والتي تُسمى الجبر الشامل . لبنائها: بالنظر إلى جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$على F ، دع

${\displaystyle T({\mathfrak {g}})=F\oplus {\mathfrak {g}}\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus ({\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}}\otimes {\mathfrak {g}})\oplus \cdots }$

ليكن جبر الموترات على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$، ويُطلق عليه أيضًا الجبر الترابطي الحر على الفضاء المتجهي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. هنا${\displaystyle \otimes }$يرمز إلى حاصل الضرب الموتري لفضاءات المتجهات F. ليكن I هو المثالي ذو الجانبين في${\displaystyle T({\mathfrak {g}})}$تم توليدها بواسطة العناصر${\displaystyle XY-YX-[X,Y]}$ل${\displaystyle X,Y\in {\mathfrak {g}}}$إذاً، فإن الجبر الشامل المغلف هو حلقة القسمة${\displaystyle U({\mathfrak {g}})=T({\mathfrak {g}})/I}$. إنها تحقق نظرية بوانكاريه-بيركوف-ويت : إذا${\displaystyle e_{1},\ldots ,e_{n}}$يشكل أساسًا لـ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$باعتبارها فضاءً متجهيًا من النوع F ، فإنها تشكل أساسًا لـ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$يتم توفيرها من خلال جميع المنتجات المطلوبة${\displaystyle e_{1}^{i_{1}}\cdots e_{n}^{i_{n}}}$مع${\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{n}}$الأعداد الطبيعية. على وجه الخصوص، الخريطة${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$هو حقني . ^{[ 28 ]}

تمثيلات${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تُعادل هذه العناصر الوحدات النمطية على الجبر الشامل المُغلِّف. وحقيقة أنَّ${\displaystyle {\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})}$إن خاصية الحقن تعني أن لكل جبر لي (ربما ذو بُعد لانهائي) تمثيلًا أمينًا (ذو بُعد لانهائي)، وهو تمثيله على${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$وهذا يوضح أيضًا أن كل جبر لي موجود في جبر لي المرتبط ببعض الجبر الترابطي.

تلعب نظرية تمثيل جبر لي دورًا هامًا في مختلف فروع الفيزياء النظرية. في هذا المجال، تُدرس المؤثرات على فضاء الحالات التي تحقق علاقات تبادل طبيعية معينة. تنشأ علاقات التبادل هذه عادةً من تناظر المسألة، وتحديدًا، هي علاقات جبر لي لمجموعة التناظر ذات الصلة. ومن الأمثلة على ذلك مؤثرات الزخم الزاوي ، التي تكون علاقات تبادلها هي علاقات جبر لي.${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$من مجموعة الدوران${\displaystyle \mathrm {SO} (3)}$عادةً، يكون فضاء الحالات بعيدًا عن كونه غير قابل للاختزال تحت تأثير المؤثرات ذات الصلة، ولكن يمكن محاولة تقسيمه إلى أجزاء غير قابلة للاختزال. وللقيام بذلك، يلزم معرفة التمثيلات غير القابلة للاختزال لجبر لي المعطى. في دراسة ذرة الهيدروجين ، على سبيل المثال، تصنف كتب ميكانيكا الكم (بشكل صريح أو ضمني) التمثيلات غير القابلة للاختزال ذات الأبعاد المحدودة لجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)}$[ ^{21 ]​}

وبالمثل بالنسبة للمجموعات الأبيلية ، والمجموعات العديمة القوة ، والمجموعات القابلة للحل ، يمكن تعريف جبر لي الأبيلية، والعديمة القوة، والقابلة للحل.

جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$أبيلية​إذا اختفى قوس لي؛ أي أن [ x , y ] = 0 لجميع قيم x و y في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$. على وجه الخصوص، جبر لي لمجموعة لي أبيلية (مثل المجموعة${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$تحت الإضافة أو مجموعة الطارة${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}}$) هو جبر لي تبديلي. كل جبر لي تبديلي ذو أبعاد منتهية على حقل${\displaystyle F}$متماثل مع${\displaystyle F^{n}}$بالنسبة للبعض${\displaystyle n\geq 0}$، أي فضاء متجهي ذو أبعاد n مع قوس لي يساوي صفرًا.

تُعرَّف فئةٌ أعمّ من جبر لي بانعدام جميع المبدلات ذات الطول المُعطى. أولًا، الجبر الجزئي للمبدلات (أو الجبر الجزئي المشتق ) لجبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يكون${\displaystyle [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]}$، أي الفضاء الخطي الممتد بواسطة جميع الأقواس${\displaystyle [x,y]}$مع${\displaystyle x,y\in {\mathfrak {g}}}$الجبر الجزئي التبادلي هو مثالي في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$في الواقع، هو أصغر مثالي بحيث يكون جبر لي خارج القسمة تبديليًا. وهو مماثل لمجموعة التبديلات في المجموعة.

جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تكون عديمة القوة إذا كانت السلسلة المركزية السفلى

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}],{\mathfrak {g}}]\supseteq \cdots }$

تصبح القيمة صفرًا بعد عدد محدود من الخطوات. أو بعبارة أخرى،${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تكون المجموعة عديمة القوة إذا كانت هناك متتالية منتهية من المُثُل في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$،

${\displaystyle 0={\mathfrak {a}}_{0}\subseteq {\mathfrak {a}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {a}}_{r}={\mathfrak {g}},}$

بحيث${\displaystyle {\mathfrak {a}}_{j}/{\mathfrak {a}}_{j-1}}$يُعدّ محورياً في${\displaystyle {\mathfrak {g}}/{\mathfrak {a}}_{j-1}}$لكل j . بحسب نظرية إنجل ، يكون جبر لي على أي حقل عديم القوة إذا وفقط إذا كان لكل u في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$التشكل الداخلي المرافق

${\displaystyle \operatorname {ad} (u):{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}},\quad \operatorname {ad} (u)v=[u,v]}$

هو عديم القوة . ^{[ 29 ]}

وبشكل أعم، جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يُقال إنها قابلة للحل إذا كانت السلسلة المشتقة :

${\displaystyle {\mathfrak {g}}\supseteq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\supseteq [[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\supseteq [[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]],[[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}],[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\supseteq \cdots }$

تصبح القيمة صفرًا بعد عدد محدود من الخطوات. أو بعبارة أخرى،${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تكون قابلة للحل إذا كانت هناك متتالية منتهية من الجبر الجزئي لـ Lie،

${\displaystyle 0={\mathfrak {m}}_{0}\subseteq {\mathfrak {m}}_{1}\subseteq \cdots \subseteq {\mathfrak {m}}_{r}={\mathfrak {g}},}$

بحيث${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j-1}}$يُعدّ مثالاً يُحتذى به في${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}}$مع${\displaystyle {\mathfrak {m}}_{j}/{\mathfrak {m}}_{j-1}}$أبيلية لكل j . ^{[ 30 ]}

لكل جبر لي محدود الأبعاد على حقل ما مثالي أعظم قابل للحل وحيد، يُسمى جذره . ^{[ 31 ]} في إطار تناظر لي ، تتوافق زمر لي الصفرية (أو القابلة للحل) مع جبر لي الصفري (أو القابل للحل) على${\displaystyle \mathbb {R} }$.

على سبيل المثال، بالنسبة لعدد صحيح موجب n وحقل F ذي خاصية صفرية، فإن جذر${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$مركزها هو الفضاء الجزئي أحادي البعد الذي تولده مصفوفة الوحدة. ومن الأمثلة على جبر لي القابل للحل الفضاء${\displaystyle {\mathfrak {b}}_{n}}$من المصفوفات المثلثية العلوية في${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$هذا ليس عديم القوة عندما${\displaystyle n\geq 2}$مثال على جبر لي عديم القوة هو الفضاء${\displaystyle {\mathfrak {u}}_{n}}$من المصفوفات المثلثية العلوية البحتة في${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n)}$هذا ليس تبديليًا عندما${\displaystyle n\geq 3}$.

جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يُطلق عليه اسم بسيط إذا لم يكن أبيليًا وكانت المُثُل الوحيدة فيه${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تساوي صفرًا و${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$(على وجه الخصوص، جبر لي أحادي البعد - وهو بالضرورة جبر لي تبديلي)${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ليس بسيطاً بحكم التعريف، على الرغم من أن مُثُله الوحيدة هي 0 و${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$.) جبر لي ذو أبعاد منتهية${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يُطلق عليه اسم شبه بسيط إذا كان المثالي الوحيد القابل للحل في${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$يساوي صفرًا. في خاصية الصفر، جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تكون شبه بسيطة إذا وفقط إذا كانت متماثلة مع حاصل ضرب جبر لي بسيط،${\displaystyle {\mathfrak {g}}\cong {\mathfrak {g}}_{1}\times \cdots \times {\mathfrak {g}}_{r}}$[ ^{32 ]​}

على سبيل المثال، جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$الأمر بسيط للجميع${\displaystyle n\geq 2}$وكل حقل F ذي خاصية صفرية (أو خاصية لا تقسم n ). جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {su}}(n)}$زيادة${\displaystyle \mathbb {R} }$الأمر بسيط للجميع${\displaystyle n\geq 2}$جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {so}}(n)}$زيادة${\displaystyle \mathbb {R} }$الأمر بسيط إذا${\displaystyle n=3}$أو${\displaystyle n\geq 5}$[ ^{33 ]} (هناك "تماثلات استثنائية ^"${\displaystyle {\mathfrak {so}}(3)\cong {\mathfrak {su}}(2)}$و${\displaystyle {\mathfrak {so}}(4)\cong {\mathfrak {su}}(2)\times {\mathfrak {su}}(2)}$.)

يرتبط مفهوم شبه البساطة في جبر لي ارتباطًا وثيقًا بقابلية اختزال تمثيلاته بالكامل (شبه البساطة). عندما يكون للحقل الأساسي F خاصية صفرية، فإن كل تمثيل محدود الأبعاد لجبر لي شبه بسيط يكون شبه بسيط (أي مجموع مباشر لتمثيلات غير قابلة للاختزال). ^{[ 27 ]}

يُطلق على جبر لي ذي الأبعاد المحدودة على حقل ذي خاصية صفرية اسم جبر لي اختزالي إذا كان تمثيله المرافق شبه بسيط. كل جبر لي اختزالي متماثل مع حاصل ضرب جبر لي أبيلي وجبر لي شبه بسيط. ^{[ 34 ]}

على سبيل المثال،${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$يكون اختزاليًا لـ F ذات خاصية صفرية: لـ${\displaystyle n\geq 2}$، فهو متماثل مع الناتج

${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)\cong F\times {\mathfrak {sl}}(n,F),}$

حيث يرمز F إلى مركز${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$، الفضاء الجزئي أحادي البعد الذي تولده مصفوفة الوحدة. بما أن جبر لي الخطي الخاص${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$الأمر بسيط،${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$يحتوي على عدد قليل من المُثُل: فقط 0، المركز F ،${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n,F)}$وكل${\displaystyle {\mathfrak {gl}}(n,F)}$.

يُقدّم معيار كارتان (الذي وضعه إيلي كارتان ) شروطًا لكي يكون جبر لي ذو بُعد محدود وخاصية صفر قابلاً للحل أو شبه بسيط. ويُعبّر عنه بدلالة شكل كيلينغ ، وهو الشكل الثنائي الخطي المتناظر على${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$محدد بواسطة

${\displaystyle K(u,v)=\operatorname {tr} (\operatorname {ad} (u)\operatorname {ad} (v)),}$

حيث يرمز tr إلى أثر مؤثر خطي. أي: جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تكون شبه بسيطة إذا وفقط إذا كان شكل كيلينغ غير منحل . جبر لي${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$تكون المسألة قابلة للحل إذا وفقط إذا${\displaystyle K({\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}])=0.}$^{[ 35 ]}

يؤكد تحليل ليفي أن كل جبر لي محدود الأبعاد على حقل ذي خاصية صفرية هو حاصل ضرب شبه مباشر لجذره القابل للحل وجبر لي شبه بسيط. ^{[ 36 ]} علاوة على ذلك، فإن جبر لي شبه البسيط في خاصية صفرية هو حاصل ضرب لجبر لي بسيط، كما ذُكر سابقًا. وهذا يُسلط الضوء على مشكلة تصنيف جبر لي البسيط.

صنّف كيلينغ وكارتان في ثمانينيات وتسعينيات القرن التاسع عشر جبر لي البسيط ذي البعد المحدود على حقل مغلق جبريًا F ذي خاصية صفرية، باستخدام أنظمة الجذور . أي أن كل جبر لي بسيط يكون من النوع Aⁿ _{، أو} Bⁿ _{، أو} Cⁿ _، أو Dⁿ _، أو _E⁶ ، أو _E⁷ ، أو E⁸ _، أو _F⁴ ، أو G⁲ _. [ ^{37 ] وهنا} ، جبر لي البسيط من النوع _Aⁿ هو${\displaystyle {\mathfrak {sl}}(n+1,F)}$، B _n هو${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n+1,F)}$، C _n هو${\displaystyle {\mathfrak {sp}}(2n,F)}$، و D _n هو${\displaystyle {\mathfrak {so}}(2n,F)}$أما الخمسة الأخرى فتُعرف باسم جبر لي الاستثنائي .