منحنى جاكوبيان

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 69 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُعد منحنى جاكوبي تمثيلاً لمنحنى إهليلجي يختلف عن التمثيل المعتاد المُحدد بمعادلة فايرشتراس . يُستخدم أحيانًا في علم التشفير بدلًا من صيغة فايرشتراس لأنه يوفر حماية ضد هجمات تحليل الطاقة البسيطة والتفاضلية (SPA)؛ إذ يُمكن استخدام صيغة الجمع العامة لمضاعفة نقطة على منحنى إهليلجي من هذا الشكل: وبهذه الطريقة، لا يُمكن التمييز بين العمليتين من خلال معلومات القنوات الجانبية. [ 1 ] كما يوفر منحنى جاكوبي سرعة حسابية أعلى مقارنةً بمنحنى فايرشتراس.

يمكن أن يكون منحنى جاكوبي من نوعين: تقاطع جاكوبي ، الذي يتم تحديده من خلال تقاطع سطحين، ومنحنى جاكوبي الرباعي .

المنحنيات الإهليلجية: الأساسيات

بفرض وجود منحنى إهليلجي، يمكن إجراء بعض العمليات بين نقاطه: على سبيل المثال، يمكن جمع نقطتين P و Q للحصول على النقطة P + Q التي تنتمي إلى المنحنى؛ وبفرض وجود نقطة P على المنحنى الإهليلجي، يمكن مضاعفة P، أي إيجاد P = P + P (تُستخدم الأقواس المربعة للإشارة إلى nP ، أي النقطة P مضافة n مرة)، وكذلك إيجاد نفي P ، أي إيجاد -P . وبهذه الطريقة، تُشكّل نقاط المنحنى الإهليلجي زمرة . تجدر الإشارة إلى أن العنصر المحايد لعملية الزمرة ليس نقطة على المستوى الأفيني، بل يظهر فقط في الإحداثيات الإسقاطية: عندئذٍ O = (0: 1: 0) هي "النقطة عند اللانهاية"، أي العنصر المحايد في قانون الزمرة . تُعد صيغ الجمع والمضاعفة مفيدة أيضًا لحساب [n]P ، وهو المضاعف النوني لنقطة P على منحنى إهليلجي: تعتبر هذه العملية الأكثر أهمية في تشفير المنحنيات الإهليلجية .

يمكن كتابة منحنى إهليلجي E على حقل K بصيغة فايرشتراس y² = x³ + ax + b ، حيث a و b ينتميان إلى K. ما يهمنا لاحقًا هو النقطة من الرتبة 2 ، أي النقطة P على E التي تحقق الشرطين [2] P = O و P ≠ O. إذا كانت P = ( p , 0) نقطة على E ، فإن رتبتها 2؛ وبشكل أعم ، تتوافق النقاط من الرتبة 2 مع جذور كثيرة الحدود f(x) = x³ + ax + b .

من الآن فصاعدًا، سنستخدم E a,b للدلالة على المنحنى الإهليلجي ذي شكل وييرشتراس y 2 = x 3 + ax + b .

إذا كانت E a,b بحيث يكون لكثير الحدود التكعيبي x 3 + ax + b ثلاثة جذور مميزة في K و b = 0، فيمكننا كتابة E a,b في الشكل الطبيعي لليجندر :

E a,b : y 2 = x(x + 1)(x + j)

في هذه الحالة، لدينا ثلاث نقاط من الرتبة الثانية: (0, 0)، (–1, 0)، (– j , 0). نستخدم في هذه الحالة الرمز E[j] . لاحظ أن j يمكن التعبير عنها بدلالة a و b .

التعريف: تقاطع جاكوبي

يمكن تمثيل منحنى إهليلجي في P 3 ( K ) على أنه تقاطع سطحين تربيعيين :

سؤال:{سؤال1(X0،X1،X2،X3)=0}∩{سؤال2(X0،X1،X2،X3)=0}{\displaystyle Q:\{Q_{1}(X_{0},X_{1},X_{2},X_{3})=0\}\cap \{Q_{2}(X_{0},X_{1},X_{2},X_{3})=0\}}

يمكن تعريف شكل جاكوبي لمنحنى إهليلجي بأنه تقاطع سطحين تربيعيين. ليكن E a,b منحنى إهليلجيًا على شكل فايرشتراس، نطبق عليه الخريطة التالية:

Φ:(x،y)↦(X،Y،Z،تي)=(x،y،1،x2){\displaystyle \Phi :(x,y)\mapsto (X,Y,Z,T)=(x,y,1,x^{2})}

نلاحظ أن نظام المعادلات التالي صحيح:

S:{X2-تيZ=0Y2-أXZ-بZ2-تيX=0{\displaystyle \mathbf {S} :{\begin{cases}X^{2}-TZ=0\\Y^{2}-aXZ-bZ^{2}-TX=0\end{cases}}}

يتوافق المنحنى E[j] مع التقاطع التالي للأسطح في P 3 ( K ):

S1:{X2+Y2-تي2=0كX2+Z2-تي2=0{\displaystyle \mathbf {S} 1:{\begin{cases}X^{2}+Y^{2}-T^{2}=0\\kX^{2}+Z^{2}-T^{2}=0\end{cases}}}.

الحالة "الخاصة"، E[0] ، المنحنى الإهليلجي له نقطة مزدوجة وبالتالي فهو منفرد .

يتم الحصول على S1 من خلال تطبيق التحويل التالي على E[j] :

ψ: E[j] → S1
(x،y)↦(X،Y،Z،تي)=(-2y،x2-ج،x2+2جx+ج،x2+2x+ج){\displaystyle (x,y)\mapsto (X,Y,Z,T)=(-2y,x^{2}-j,x^{2}+2jx+j,x^{2}+2x+j)}
يا=(0:1:0)↦(0،1،1،1){\displaystyle O=(0:1:0)\mapsto (0,1,1,1)}

قانون المجموعة

بالنسبة لـ S1 ، فإن العنصر المحايد للمجموعة هو النقطة (0، 1، 1، 1)، أي صورة O = (0: 1: 0) تحت ψ.

الجمع والمضاعفة

بفرض أن P1 = ( X1 , Y1 , Z1 , T1 ) و P2 = ( X2 , Y2 , Z2 , T2 ) ، وهما نقطتان على S1 ، فإن إحداثيات النقطة P3 = P1 + P2 هي :​​​

X3=تي1Y2X1Z2+Z1X2Y1تي2{\displaystyle X_{3}=T_{1}Y_{2}X_{1}Z_{2}+Z_{1}X_{2}Y_{1}T_{2}}
Y3=تي1Y2Y1تي2-Z1X2X1Z2{\displaystyle Y_{3}=T_{1}Y_{2}Y_{1}T_{2}-Z_{1}X_{2}X_{1}Z_{2}}
Z3=تي1Z1تي2Z2-كX1Y1X2Y2{\displaystyle Z_{3}=T_{1}Z_{1}T_{2}Z_{2}-kX_{1}Y_{1}X_{2}Y_{2}}
تي3=(تي1Y2)2+(Z1X2)2{\displaystyle T_{3}=(T_{1}Y_{2})^{2}+(Z_{1}X_{2})^{2}}

هذه الصيغ صالحة أيضًا للمضاعفة: يكفي أن يكون P 1 = P 2. لذا فإن جمع أو مضاعفة النقاط في S1 هي عمليات تتطلب 16 عملية ضرب بالإضافة إلى عملية ضرب واحدة بثابت ( k ).

من الممكن أيضًا استخدام الصيغ التالية لمضاعفة النقطة P 1 وإيجاد P 3 = [2] P 1 :

X3=2Y1تي1Z1X1{\displaystyle X_{3}=2Y_{1}T_{1}Z_{1}X_{1}}
Y3=(تي1Y1)2-(تي1Z1)2+(Z1Y1)2{\displaystyle Y_{3}=(T_{1}Y_{1})^{2}-(T_{1}Z_{1})^{2}+(Z_{1}Y_{1})^{2}}
Z3=(تي1Z1)2-(تي1Y1)2+(Z1Y1)2{\displaystyle Z_{3}=(T_{1}Z_{1})^{2}-(T_{1}Y_{1})^{2}+(Z_{1}Y_{1})^{2}}
تي3=(تي1Z1)2+(تي1Y1)2-(Z1Y1)2{\displaystyle T_{3}=(T_{1}Z_{1})^{2}+(T_{1}Y_{1})^{2}-(Z_{1}Y_{1})^{2}}

باستخدام هذه الصيغ، يلزم 8 عمليات ضرب لمضاعفة نقطة. مع ذلك، توجد "استراتيجيات" أكثر كفاءة للمضاعفة تتطلب 7 عمليات ضرب فقط. [ 2 ] بهذه الطريقة ، يُمكن مضاعفة نقطة ثلاث مرات بـ 23 عملية ضرب؛ في الواقع [3] يُمكن الحصول على P1 بجمع P1 مع [2] P1 بتكلفة 7 عمليات ضرب لـ [2] P1 و 16 عملية ضرب لـ P1 + [2 ] P1 . [ 2 ]

مثال على الجمع والمضاعفة

لنفترض أن K = R أو C ولننظر في الحالة التالية:

S1:{X2+Y2-تي2=04X2+Z2-تي2=0{\displaystyle \mathbf {S} 1:{\begin{cases}X^{2}+Y^{2}-T^{2}=0\\4X^{2}+Z^{2}-T^{2}=0\end{cases}}}

ضع النقاط في الاعتبارP1=(1،3،0،2){\displaystyle P_{1}=(1,{\sqrt {3}},0,2)}وP2=(1،2،1،5){\displaystyle P_{2}=(1,2,1,{\sqrt {5}})}من السهل التحقق من أن P 1 و P 2 ينتميان إلى S1 (يكفي أن نرى أن هذه النقاط تحقق كلا معادلات النظام S1 ) .

باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه لإضافة نقطتين، فإن إحداثيات النقطة P3 ، حيث P3 = P1 + P2 ، هي :

X3=تي1Y2X1Z2+Z1X2Y1تي2=4{\displaystyle X_{3}=T_{1}Y_{2}X_{1}Z_{2}+Z_{1}X_{2}Y_{1}T_{2}=4}
Y3=تي1Y2Y1تي2-Z1X2X1Z2=415{\displaystyle Y_{3}=T_{1}Y_{2}Y_{1}T_{2}-Z_{1}X_{2}X_{1}Z_{2}=4{\sqrt {15}}}
Z3=تي1Z1تي2Z2-كX1Y1X2Y2=-83{\displaystyle Z_{3}=T_{1}Z_{1}T_{2}Z_{2}-kX_{1}Y_{1}X_{2}Y_{2}=-8{\sqrt {3}}}
تي3=(تي1Y2)2+(Z1X2)2=16{\displaystyle T_{3}=(T_{1}Y_{2})^{2}+(Z_{1}X_{2})^{2}=16}

النقطة الناتجة هيP3=(4،415،-83،16){\displaystyle P_{3}=(4,4{\sqrt {15}},-8{\sqrt {3}},16)}.

باستخدام الصيغ المذكورة أعلاه للمضاعفة، من الممكن إيجاد النقطة P 3 = [2] P 1 :

X3=2Y1تي1Z1X1=0{\displaystyle X_{3}=2Y_{1}T_{1}Z_{1}X_{1}=0}
Y3=(تي1Y1)2-(تي1Z1)2+(Z1Y1)2=12{\displaystyle Y_{3}=(T_{1}Y_{1})^{2}-(T_{1}Z_{1})^{2}+(Z_{1}Y_{1})^{2}=12}
Z3=(تي1Z1)2-(تي1Y1)2+(Z1Y1)2=-12{\displaystyle Z_{3}=(T_{1}Z_{1})^{2}-(T_{1}Y_{1})^{2}+(Z_{1}Y_{1})^{2}=-12}
تي3=(تي1Z1)2+(تي1Y1)2-(Z1Y1)2=12{\displaystyle T_{3}=(T_{1}Z_{1})^{2}+(T_{1}Y_{1})^{2}-(Z_{1}Y_{1})^{2}=12}

لذا، في هذه الحالة P 3 = [2] P 1 = (0, 12, –12, 12).

النفي

بفرض أن النقطة P 1 = ( X 1 , Y 1 , Z 1 , T 1 ) في S1 ، فإن نفيها هو − P 1 = (− X 1 , Y 1 , Z 1 , T 1 )

الجمع والمضاعفة في الإحداثيات الأفينية

بفرض وجود نقطتين متطابقتين P 1 = ( x 1 , y 1 , z 1 ) و P 2 = ( x 2 , y 2 , z 2 )، فإن مجموعهما هو نقطة P 3 ذات الإحداثيات التالية:

x3=y2x1z2+z1x2y1(y22+(z1x2)2){\displaystyle x_{3}={\frac {y_{2}x_{1}z_{2}+z_{1}x_{2}y_{1}}{(y_{2}^{2}+(z_{1}x_{2})^{2})}}}
y3=y2y1-z1x2x1z2(y22+(z1x2)2){\displaystyle y_{3}={\frac {y_{2}y_{1}-z_{1}x_{2}x_{1}z_{2}}{(y_{2}^{2}+(z_{1}x_{2})^{2})}}}
z3=z1z2-أx1y1x2y2(y22+(z1x2)2){\displaystyle z_{3}={\frac {z_{1}z_{2}-ax_{1}y_{1}x_{2}y_{2}}{(y_{2}^{2}+(z_{1}x_{2})^{2})}}}

هذه الصيغ صالحة أيضًا للمضاعفة مع الشرط P 1 = P 2 .

إحداثيات موسعة

يوجد نوع آخر من أنظمة الإحداثيات التي يمكن من خلالها تمثيل نقطة في تقاطع جاكوبي. بالنظر إلى المنحنى الإهليلجي التالي في صيغة تقاطع جاكوبي:

S1:{x2+y2=1كx2+z2=1{\displaystyle \mathbf {S} 1:{\begin{cases}x^{2}+y^{2}=1\\kx^{2}+z^{2}=1\end{cases}}}

تصف الإحداثيات الموسعة نقطة P = (x, y, z) بالمتغيرات X, Y, Z, T, XY, ZT ، حيث:

x=X/تي{\displaystyle x=X/T}
y=Y/تي{\displaystyle y=Y/T}
z=Z/تي{\displaystyle z=Z/T}
XY=X⋅Y{\displaystyle XY=X\cdot Y}
Zتي=Z⋅تي{\displaystyle ZT=Z\cdot T}

تُستخدم هذه الإحداثيات أحيانًا لأنها أكثر ملاءمة (من حيث الوقت والتكلفة) في بعض الحالات المحددة. لمزيد من المعلومات حول العمليات التي تعتمد على استخدام هذه الإحداثيات، يُرجى مراجعة الرابط التالي: http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-jintersect-extended.html

التعريف: رباعي جاكوبي

معادلة جاكوبي من الدرجة الرابعةy2=x4-1.9x2+1{\displaystyle y^{2}=x^{4}-1.9x^{2}+1}

يمكن الحصول على منحنى إهليلجي في شكل جاكوبي الرباعي من المنحنى E a,b في شكل وييرشتراس مع نقطة واحدة على الأقل من الرتبة 2. التحويل التالي f يرسل كل نقطة من E a,b إلى نقطة في إحداثيات جاكوبي ، حيث (X: Y: Z) = (sX: s 2 Y: sZ) .

f: E a,b → J
(ص،0)↦(0:-1:1){\displaystyle (p,0)\mapsto (0:-1:1)}
(x،y)≠(ص،0)↦(2(x-ص):(2x+ص)(x-ص)2-y2:y){\displaystyle (x,y)\neq (p,0)\mapsto (2(xp):(2x+p)(xp)^{2}-y^{2}:y)}
يا↦(0:1:1){\displaystyle O\mapsto (0:1:1)}[ 3 ]

بتطبيق f على E a,b ، نحصل على منحنى في J بالشكل التالي:

ج: Y2=هـX4-2دX2Z2+Z4{\displaystyle C:\ Y^{2}=eX^{4}-2dX^{2}Z^{2}+Z^{4}}[ 3 ]

أين:

هـ=-(3ص2+4أ)16،  د=3ص4{\displaystyle e={\frac {-(3p^{2}+4a)}{16}},\ \ d={\frac {3p}{4}}}.

هي عناصر في K. يمثل C منحنى إهليلجي في شكل جاكوبي الرباعي ، في إحداثيات جاكوبي.

معادلات جاكوبي الرباعية في الإحداثيات الأفينية

الشكل العام لمنحنى جاكوبي الرباعي في الإحداثيات الأفينية هو:

y2=هـx4+2أx2+1{\displaystyle y^{2}=ex^{4}+2ax^{2}+1}،

حيث يُفترض غالبًا أن e = 1.

قانون المجموعة

العنصر المحايد لقانون المجموعة C هو النقطة الإسقاطية (0: 1: 1).

الجمع والمضاعفة في الإحداثيات الأفينية

بفرض نقطتين متماثلتينP1=(x1،y1){\displaystyle P_{1}=(x_{1},y_{1})}وP2=(x2،y2){\displaystyle P_{2}=(x_{2},y_{2})}مجموعهم نقطةP3=(x3،y3){\displaystyle P_{3}=(x_{3},y_{3})}بحيث:

x3=x1y2+y1x21-هـ(x1x2)2{\displaystyle x_{3}={\frac {x_{1}y_{2}+y_{1}x_{2}}{1-e(x_{1}x_{2})^{2}}}}
y3=((1+هـ(x1x2)2)(y1y2+2أx1x2)+2هـx1x2(x12+x22))(1-هـ(x1x2)2)2{\displaystyle y_{3}={\frac {((1+e(x_{1}x_{2})^{2})(y_{1}y_{2}+2ax_{1}x_{2})+2ex_{1}x_{2}({x_{1}}^{2}+{x_{2}}^{2}))}{(1-e(x_{1}x_{2})^{2})^{2}}}}

كما هو الحال في تقاطعات جاكوبي، من الممكن أيضًا في هذه الحالة استخدام هذه الصيغة للمضاعفة أيضًا.

الجمع والمضاعفة في الإحداثيات الإسقاطية

بفرض وجود نقطتين P 1 = ( X 1 : Y 1 : Z 1 ) و P 2 = ( X 2 : Y 2 : Z 2 ) في C′ ، فإن إحداثيات النقطة P 3 = ( X 3 : Y 3 : Z 3 )، حيث P 3 = P 1 + P 2 ، تُعطى بدلالة P 1 و P 2 بالصيغ التالية:

X3=X1Z1Y2+Y1X2Z2{\displaystyle X_{3}=X_{1}Z_{1}Y_{2}+Y_{1}X_{2}Z_{2}}
Y3=(Z12Z22+هـX12X22)(Y1Y2-2أX1X2Z1Z2) + 2هـX1X2Z1Z2(X12Z22+Z12X22){\displaystyle Y_{3}=\left(Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}+eX_{1}^{2}X_{2}^{2}\right)\left(Y_{1}Y_{2}-2aX_{1}X_{2}Z_{1}Z_{2}\right)\ +\ 2eX_{1}X_{2}Z_{1}Z_{2}\left(X_{1}^{2}Z_{2}^{2}+Z_{1}^{2}X_{2}^{2}\right)}
Z3=Z12Z22-هـX12X22{\displaystyle Z_{3}=Z_{1}^{2}Z_{2}^{2}-eX_{1}^{2}X_{2}^{2}}

يمكن استخدام هذه الصيغة أيضًا للمضاعفة، مع الشرط أن P 2 = P 1 : وبهذه الطريقة يتم الحصول على النقطة P 3 = P 1 + P 1 = [2] P 1 .

عدد عمليات الضرب المطلوبة لجمع نقطتين هو 13 زائد 3 عمليات ضرب بالثوابت: على وجه الخصوص هناك عمليتا ضرب بالثابت e وعملية ضرب واحدة بالثابت a .

هناك بعض "الاستراتيجيات" لتقليل العمليات المطلوبة لجمع ومضاعفة النقاط: يمكن تقليل عدد عمليات الضرب إلى 11 زائد 3 عمليات ضرب بالثوابت (انظر [ 4 ] القسم 3 لمزيد من التفاصيل).

يمكن تقليل عدد عمليات الضرب بالعمل على الثابتين e و d : إذ يمكن تعديل المنحنى الإهليلجي في صيغة جاكوبي لتقليل عدد عمليات الجمع والمضاعفة. فعلى سبيل المثال، إذا كان الثابت d في C صغيرًا جدًا، يمكن حذف عملية الضرب في d ؛ ومع ذلك، فإن الخيار الأمثل هو تقليل قيمة e : فإذا كانت صغيرة، يتم إهمال عمليتي ضرب، وليس عملية واحدة فقط.

مثال على الجمع والمضاعفة

لنفترض المنحنى الإهليلجي E 4,0 ، الذي يمتلك نقطة P من الرتبة 2: P = ( p , 0) = (0, 0). بالتالي، a = 4، b = p = 0، ومن ثم e = 1 و d = 1، ويكون شكل جاكوبي الرباعي المرتبط به كما يلي:

ج: Y2=X4+Z4{\displaystyle C:\ Y^{2}=X^{4}+Z^{4}}

اختيار نقطتينP1=(1:2:1){\displaystyle P_{1}=(1:{\sqrt {2}}:1)}وP2=(2:17:1){\displaystyle P_{2}=(2:{\sqrt {17}}:1)}، من الممكن إيجاد مجموعهما P 3 = P 1 + P 2 باستخدام صيغ الجمع المذكورة أعلاه:

X3=1⋅1⋅17+2⋅2⋅1=17+22{\displaystyle X_{3}=1\cdot 1\cdot {\sqrt {17}}+{\sqrt {2}}\cdot 2\cdot 1={\sqrt {17}}+2{\sqrt {2}}}
Y3=(12⋅12+1⋅12⋅22)(2⋅17-2⋅0⋅1⋅2⋅1⋅1)+2⋅1⋅1⋅2⋅1⋅1(12⋅12+12⋅22)=534+20{\displaystyle Y_{3}=\left(1^{2}\cdot 1^{2}+1\cdot 1^{2}\cdot 2^{2}\right)\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {17}}-2\cdot 0\cdot 1\cdot 2\cdot 1\cdot 1\right)+2\cdot 1\cdot 1\cdot 2\cdot 1\cdot 1\left(1^{2}\cdot 1^{2}+1^{2}\cdot 2^{2}\right)=5{\sqrt {34}}+20}
Z3=12⋅12-1⋅12⋅22=-3{\displaystyle Z_{3}=1^{2}\cdot 1^{2}-1\cdot 1^{2}\cdot 2^{2}=-3}.

لذا

P3=(17+22:534+20:-3){\displaystyle P_{3}=({\sqrt {17}}+2{\sqrt {2}}:5{\sqrt {34}}+20:-3)}.

باستخدام نفس الصيغ، يتم الحصول على النقطة P 4 = [2] P 1 :

X3=1⋅1⋅2+2⋅1⋅1=22{\displaystyle X_{3}=1\cdot 1\cdot {\sqrt {2}}+{\sqrt {2}}\cdot 1\cdot 1=2{\sqrt {2}}}
Y3=(1+1⋅1)(2⋅2-2⋅0⋅1⋅1⋅1⋅1)+2⋅1(12⋅12+12⋅12)=8{\displaystyle Y_{3}=\left(1+1\cdot 1\right)\left({\sqrt {2}}\cdot {\sqrt {2}}-2\cdot 0\cdot 1\cdot 1\cdot 1\cdot 1\right)+2\cdot 1\left(1^{2}\cdot 1^{2}+1^{2}\cdot 1^{2}\right)=8}
Z3=12⋅12-1⋅12⋅12=0{\displaystyle Z_{3}=1^{2}\cdot 1^{2}-1\cdot 1^{2}\cdot 1^{2}=0}

لذا

P4=(22:8:0){\displaystyle P_{4}=(2{\sqrt {2}}:8:0)}.

النفي

نفي النقطة P 1 = ( X 1 : Y 1 : Z 1 ) هو: − P 1 = (− X 1 : Y 1 : Z 1 )

إحداثيات بديلة لرباعي جاكوبي

توجد أنظمة إحداثيات أخرى يمكن استخدامها لتمثيل نقطة في منحنى جاكوبي الرباعي، وتُستخدم هذه الأنظمة للحصول على حسابات سريعة في بعض الحالات. لمزيد من المعلومات حول الوقت اللازم لإجراء العمليات باستخدام هذه الإحداثيات، يُرجى زيارة الرابط التالي: http://hyperelliptic.org/EFD/g1p/auto-jquartic.html

بافتراض وجود دالة جاكوبي رباعية أفينية

y2=x4+2أx2+1{\displaystyle y^{2}=x^{4}+2ax^{2}+1}

تُدخل إحداثيات XXYZZ الموجهة نحو المضاعفة معلمة منحنى إضافية c تحقق a 2 + c 2 = 1 وتمثل نقطة (x, y) على أنها (X, XX, Y, Z, ZZ, R) ، بحيث:

x=X/Z{\displaystyle x=X/Z}
y=Y/ZZ{\displaystyle y=Y/ZZ}
XX=X2{\displaystyle XX=X^{2}}
ZZ=Z2{\displaystyle ZZ=Z^{2}}
R=2⋅X⋅Z{\displaystyle R=2\cdot X\cdot Z}

تمثل إحداثيات XYZ الموجهة نحو المضاعفة ، مع نفس الافتراض الإضافي ( a² + c² = 1 )، نقطة (x, y) حيث تحقق (X, Y, Z) المعادلات التالية:

x=X/Z{\displaystyle x=X/Z}
y=Y/Z2{\displaystyle y=Y/Z^{2}}

باستخدام إحداثيات XXYZZ، لا توجد أي افتراضات إضافية، وهي تمثل نقطة (x, y) على أنها (X, XX, Y, Z, ZZ) بحيث:

x=X/Z{\displaystyle x=X/Z}
y=Y/ZZ{\displaystyle y=Y/ZZ}
XX=X2{\displaystyle XX=X^{2}}
ZZ=Z2{\displaystyle ZZ=Z^{2}}

بينما تمثل إحداثيات XXYZZR (x, y) على النحو التالي (X, XX, Y, Z, ZZ, R) بحيث:

x=X/Z{\displaystyle x=X/Z}
y=Y/ZZ{\displaystyle y=Y/ZZ}
XX=X2{\displaystyle XX=X^{2}}
ZZ=Z2{\displaystyle ZZ=Z^{2}}
R=2⋅X⋅Z{\displaystyle R=2\cdot X\cdot Z}

باستخدام إحداثيات XYZ، تُعطى النقطة (x, y) بواسطة (X, Y, Z) ، مع:

x=X/Z{\displaystyle x=X/Z}
y=Y/Z2{\displaystyle y=Y/Z^{2}}.

انظر أيضاً

للحصول على مزيد من المعلومات حول وقت التشغيل المطلوب في حالة معينة، انظر جدول تكاليف العمليات في المنحنيات الإهليلجية .

ملحوظات

  1. ↑ أوليفييه بيليه، نموذج جاكوبي لمنحنى إهليلجي وتحليل القناة الجانبية
  2. 1 2 P.Y.Liardet و NPSmart، منع SPA/DPA في أنظمة ECC باستخدام نموذج جاكوبي ، صفحة 397
  3. 1 2 أوليفييه بيليه ومارك جوي، نموذج جاكوبي لمنحنى إهليلجي وتحليل القناة الجانبية ، الصفحات 37-38
  4. ↑ سيلفان دوكين، تحسين العمليات الحسابية للمنحنيات الإهليلجية في نموذج جاكوبي - I3M، (UMR CNRS 5149) وLirmm، (UMR CNRS 5506)، جامعة مونبلييه الثانية

مراجع

  • أوليفييه بيليه، مارك جوي (2003). "نموذج جاكوبي لمنحنى إهليلجي وتحليل القناة الجانبية". نموذج جاكوبي لمنحنى إهليلجي وتحليل القناة الجانبية . سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد  2643. دار نشر سبرينغر-فيرلاغ برلين هايدلبرغ 2003. الصفحات 34-42 . doi : 10.1007/3-540-44828-4_5 . ISBN  978-3-540-40111-7.
  • ليارديه، بي واي، وسمارت، إن بي (2001). "منع هجمات تحليل البيانات المفردة/البيانات التفاضلية في أنظمة تشفير المنحنيات الإهليلجية باستخدام صيغة جاكوبي". الأجهزة المشفرة والأنظمة المدمجة - CHES 2001. سلسلة محاضرات في علوم الحاسوب. المجلد  2162. دار نشر سبرينغر-فيرلاغ برلين هايدلبرغ 2001. الصفحات 391-401 . doi : 10.1007/3-540-44709-1_32 . ISBN  978-3-540-42521-2. S2CID 32648481 . 
  • http://hyperelliptic.org/EFD/index.html