التشفير باستخدام المنحنى الإهليلجي

التشفير باستخدام المنحنيات الإهليلجية ( ECC ) هو نهج للتشفير باستخدام المفتاح العام يعتمد على البنية الجبرية للمنحنيات الإهليلجية على حقول محدودة . يسمح التشفير باستخدام المنحنيات الإهليلجية باستخدام مفاتيح أصغر لتوفير أمان مكافئ، مقارنة بأنظمة التشفير القائمة على الأسس المعيارية في حقول جالوا ، مثل نظام التشفير RSA ونظام التشفير ElGamal . ^[1]

تُستخدم المنحنيات الإهليلجية في اتفاقيات المفاتيح والتوقيعات الرقمية ومولدات شبه العشوائية والمهام الأخرى. ويمكن استخدامها بشكل غير مباشر للتشفير من خلال الجمع بين اتفاقية المفاتيح ونظام تشفير متماثل . كما تُستخدم أيضًا في العديد من خوارزميات تحليل العوامل الصحيحة التي لها تطبيقات في التشفير، مثل تحليل المنحنيات الإهليلجية من Lenstra .

تم اقتراح استخدام المنحنيات الإهليلجية في التشفير بشكل مستقل من قبل نيل كوبليتز ^[2] وفيكتور س. ميلر ^[3] في عام 1985. دخلت خوارزميات تشفير المنحنيات الإهليلجية الاستخدام الواسع النطاق في عامي 2004 و2005.

في عام 1999، أوصى المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا بخمسة عشر منحنى إهليلجي. وعلى وجه التحديد، يوصي المعيار FIPS 186-4 ^{[4] بعشرة حقول محدودة:}

• خمسة حقول أولية لبعض الأعداد الأولية p ذات الأحجام 192، 224، 256، 384، و521 بت. لكل حقل من حقول الأعداد الأولية، يوصى بمنحنى إهليلجي واحد.${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$
• خمسة حقول ثنائية لـ m تساوي 163، 233، 283، 409، و571. بالنسبة لكل حقل ثنائي، تم اختيار منحنى إهليلجي واحد ومنحنى كوبليتز واحد.${\displaystyle \mathbb {F} _{2^{m}}}$

وبالتالي، تحتوي توصية المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا على إجمالي خمسة منحنيات أولية وعشرة منحنيات ثنائية. وقد تم اختيار المنحنيات لتحقيق أقصى قدر من الأمان وكفاءة التنفيذ. ^[5]

في مؤتمر RSA لعام 2005، أعلنت وكالة الأمن القومي عن Suite B ، والتي تستخدم ECC حصريًا لتوليد التوقيع الرقمي وتبادل المفاتيح. تهدف المجموعة إلى حماية أنظمة ومعلومات الأمن القومي السرية وغير السرية. ^[1] أيد المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا (NIST) تشفير المنحنى الإهليلجي في مجموعة Suite B من الخوارزميات الموصى بها، وتحديدًا منحنى ديفي-هيلمان الإهليلجي (ECDH) لتبادل المفاتيح وخوارزمية التوقيع الرقمي المنحنى الإهليلجي (ECDSA) للتوقيع الرقمي. تسمح وكالة الأمن القومي باستخدامها لحماية المعلومات المصنفة حتى السرية للغاية بمفاتيح بطول 384 بت. ^[6]

في الآونة الأخيرة، ^{[ متى؟ ]} تم تقديم عدد كبير من البدائيات التشفيرية القائمة على تعيينات ثنائية الخط على مجموعات منحنيات إهليلجية مختلفة، مثل أزواج ويل وتيت . توفر المخططات القائمة على هذه البدائيات تشفيرًا فعالًا قائمًا على الهوية بالإضافة إلى التوقيعات القائمة على الاقتران، وتشفير الإشارات ، واتفاق المفاتيح ، وإعادة تشفير الوكيل . ^{[ بحاجة لمصدر ]}

يتم استخدام تشفير المنحنى الإهليلجي بنجاح في العديد من البروتوكولات الشائعة، مثل Transport Layer Security و Bitcoin .

في عام 2013، ذكرت صحيفة نيويورك تايمز أن توليد البتات العشوائية ذات المنحنى الإهليلجي المزدوج (أو Dual_EC_DRBG) قد تم تضمينه كمعيار وطني للمعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا بسبب تأثير وكالة الأمن القومي ، والتي تضمنت ضعفًا متعمدًا في الخوارزمية والمنحنى الإهليلجي الموصى به. ^{[7] أصدرت} شركة RSA Security في سبتمبر 2013 استشارة توصي فيها عملائها بالتوقف عن استخدام أي برنامج يعتمد على Dual_EC_DRBG. ^{[8] [9]} في أعقاب الكشف عن Dual_EC_DRBG باعتباره "عملية سرية لوكالة الأمن القومي"، أعرب خبراء التشفير أيضًا عن قلقهم بشأن أمان المنحنيات الإهليلجية الموصى بها من قبل المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا، ^[10] مما يشير إلى العودة إلى التشفير القائم على مجموعات المنحنيات غير الإهليلجية.

بالإضافة إلى ذلك، أعلنت وكالة الأمن القومي في أغسطس 2015 أنها تخطط لاستبدال Suite B بمجموعة تشفير جديدة بسبب المخاوف بشأن هجمات الحوسبة الكمومية على ECC. ^{[11] [12]}

في حين انتهت صلاحية براءة اختراع RSA في عام 2000، فقد تكون هناك براءات اختراع سارية المفعول تغطي جوانب معينة من تقنية ECC، بما في ذلك مخطط ECC واحد على الأقل ( ECMQV ). ومع ذلك، زعمت مختبرات RSA ^[13] ودانييل جيه بيرنشتاين ^{[14] أن معيار التوقيع الرقمي المنحني الإهليلجي} للحكومة الأمريكية (ECDSA؛ NIST FIPS 186-3) وبعض مخططات تبادل المفاتيح العملية القائمة على ECC (بما في ذلك ECDH) يمكن تنفيذها دون انتهاك هذه البراءات.

لأغراض هذه المقالة، المنحنى الإهليلجي هو منحنى مستوٍ فوق حقل محدود (بدلاً من الأعداد الحقيقية) والذي يتكون من النقاط التي تلبي المعادلة:

${\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b,\,}$

إلى جانب نقطة مميزة عند اللانهاية ، والتي يشار إليها بـ ∞. يجب اختيار الإحداثيات هنا من حقل محدود ثابت ذو خاصية لا تساوي 2 أو 3، وإلا فإن معادلة المنحنى ستكون أكثر تعقيدًا إلى حد ما.

هذه المجموعة من النقاط، جنبًا إلى جنب مع عملية المجموعة للمنحنيات الإهليلجية ، هي مجموعة أبيلية ، مع النقطة عند اللانهاية كعنصر هوية. يتم توريث بنية المجموعة من مجموعة المقسوم للتنوع الجبري الأساسي :

${\displaystyle \mathrm {Div} ^{0}(E)\to \mathrm {Pic} ^{0}(E)\simeq E,\,}$

تعتمد تقنية التشفير بالمفتاح العام على صعوبة حل بعض المشكلات الرياضية . وقد استندت أنظمة المفتاح العام المبكرة، مثل براءة اختراع RSA لعام 1983، في تأمينها على افتراض أنه من الصعب تحليل عدد صحيح كبير يتكون من عاملين أو أكثر من العوامل الأولية الكبيرة المتباعدة. وبالنسبة لبروتوكولات المنحنى الإهليلجي اللاحقة، فإن الافتراض الأساسي هو أن إيجاد اللوغاريتم المنفصل لعنصر منحنى إهليلجي عشوائي فيما يتعلق بنقطة أساس معروفة للجمهور أمر غير قابل للتنفيذ ( افتراض ديفي-هيلمان الحسابي ): وهذا هو "مشكلة اللوغاريتم المنفصل للمنحنى الإهليلجي" (ECDLP). تعتمد تقنية التشفير بالمفتاح الإهليلجي على القدرة على حساب ضرب النقطة وعدم القدرة على حساب المضروب بالنظر إلى النقطة الأصلية ونقطة المنتج. يحدد حجم المنحنى الإهليلجي، الذي يقاس بالعدد الإجمالي لأزواج الأعداد الصحيحة المنفصلة التي تلبي معادلة المنحنى، صعوبة المشكلة.

الفائدة الأساسية التي وعدت بها تشفير المنحنى الإهليلجي مقارنة بالبدائل مثل RSA هي حجم مفتاح أصغر ، مما يقلل من متطلبات التخزين والنقل. ^[1] على سبيل المثال، يجب أن يوفر المفتاح العام المنحني الإهليلجي بطول 256 بت أمانًا مماثلًا للمفتاح العام RSA بطول 3072 بت.

تم تكييف العديد من البروتوكولات القائمة على اللوغاريتم المنفصل مع المنحنيات الإهليلجية، واستبدال المجموعة بمنحنى إهليلجي: ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{p})^{\times }}$

• يعتمد مخطط اتفاقية مفتاح ديفي-هيلمان ذو المنحنى الإهليلجي ( ECDH) على مخطط ديفي-هيلمان ،
• مخطط التشفير المتكامل للمنحنى الإهليلجي (ECIES)، والمعروف أيضًا باسم مخطط التشفير المعزز للمنحنى الإهليلجي أو ببساطة مخطط تشفير المنحنى الإهليلجي،
• تعتمد خوارزمية التوقيع الرقمي للمنحنى الإهليلجي (ECDSA) على خوارزمية التوقيع الرقمي ،
• مخطط التشوه باستخدام مقياس مانهاتن p-adic لهاريسون،
• تعتمد خوارزمية التوقيع الرقمي لمنحنى إدواردز (EdDSA) على توقيع شنور وتستخدم منحنيات إدواردز الملتوية ،
• يعتمد مخطط اتفاقية المفتاح ECMQV على مخطط اتفاقية المفتاح MQV ،
• مخطط الشهادة الضمنية ECQV .

تتضمن بعض الاعتبارات الشائعة للتنفيذ ما يلي:

لاستخدام ECC، يجب أن تتفق جميع الأطراف على جميع العناصر التي تحدد المنحنى الإهليلجي، أي معلمات المجال للمخطط. عادةً ما يكون حجم الحقل المستخدم إما أوليًا (ويُشار إليه بـ p) أو قوة لاثنين ( )؛ تسمى الحالة الأخيرة الحالة الثنائية ، وتستلزم هذه الحالة اختيار منحنى مساعد يُشار إليه بـ f . وبالتالي، يتم تعريف الحقل بواسطة p في الحالة الأولية وزوج m و f في الحالة الثنائية. يتم تعريف المنحنى الإهليلجي بواسطة الثوابت a و b المستخدمة في معادلته المحددة. أخيرًا، يتم تعريف المجموعة الفرعية الدورية بواسطة مولدها ( المعروف أيضًا باسم نقطة الأساس ) G . بالنسبة للتطبيق التشفيري، يكون ترتيب G ، أي أصغر عدد موجب n بحيث ( النقطة عند ما لا نهاية المنحنى، وعنصر الهوية )، أوليًا عادةً. نظرًا لأن n هو حجم مجموعة فرعية منه ، يتبع من نظرية لاغرانج أن الرقم هو عدد صحيح. في تطبيقات التشفير، يجب أن يكون هذا الرقم h ، والذي يسمى العامل المساعد ، صغيرًا ( ) ويفضل أن يكون . باختصار: في الحالة الأولية، تكون معلمات المجال هي ؛ وفي الحالة الثنائية، تكون . ${\displaystyle 2^{م}}$${\displaystyle nG={\mathcal {O}}}$${\displaystyle E(\mathbb {F} _{p})}$${\displaystyle h={\frac {1}{n}}|E(\mathbb {F} _{p})|}$${\displaystyle h\leq 4}$${\displaystyle h=1}$${\displaystyle (ص،أ،ب،ج،ن،ح)}$${\displaystyle (م، و، أ، ب، ج، ن، ح)}$

ما لم يكن هناك ضمان بأن معلمات المجال تم إنشاؤها بواسطة طرف موثوق به فيما يتعلق باستخدامها، فيجب التحقق من صحة معلمات المجال قبل الاستخدام.

لا يقوم كل مشارك عادةً بإنشاء معلمات المجال لأن هذا يتضمن حساب عدد النقاط على منحنى، وهو أمر يستغرق وقتًا طويلاً ويتطلب الكثير من الجهد لتنفيذه. ونتيجة لذلك، نشرت العديد من الهيئات المعيارية معلمات مجال للمنحنيات الإهليلجية للعديد من أحجام الحقول الشائعة. تُعرف معلمات المجال هذه عادةً باسم "المنحنيات القياسية" أو "المنحنيات المسماة"؛ يمكن الرجوع إلى المنحنى المسمى إما بالاسم أو بواسطة معرف الكائن الفريد المحدد في المستندات المعيارية:

• المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا ، المنحنيات الإهليلجية الموصى بها للاستخدام الحكومي
• SECG ، SEC 2: معلمات مجال المنحنى الإهليلجي الموصى بها
• ECC Brainpool ( RFC  5639)، منحنيات ECC Brainpool القياسية وتوليد المنحنيات ^{[15] [16]}

تتوفر أيضًا متجهات اختبار SECG. ^[17] وقد وافقت NIST على العديد من منحنيات SECG، لذا فهناك تداخل كبير بين المواصفات التي نشرتها NIST وSECG. يمكن تحديد معلمات مجال EC إما بالقيمة أو بالاسم.

إذا قرر شخص ما، على الرغم من التحذير السابق، إنشاء معلمات المجال الخاصة به، فيجب عليه تحديد المجال الأساسي ثم استخدام إحدى الاستراتيجيات التالية للعثور على منحنى مع عدد مناسب (أي قريب من العدد الأولي) من النقاط باستخدام إحدى الطرق التالية:

• حدد منحنى عشوائي واستخدم خوارزمية عامة لحساب النقاط، على سبيل المثال، خوارزمية شوف أو خوارزمية شوف-إلكيز-أتكين ،
• حدد منحنى عشوائيًا من عائلة تسمح بحساب عدد النقاط بسهولة (على سبيل المثال، منحنيات كوبليتز)، أو
• حدد عدد النقاط وقم بإنشاء منحنى بهذا العدد من النقاط باستخدام تقنية الضرب المعقد . ^[18]

هناك عدة فئات من المنحنيات ضعيفة ويجب تجنبها:

• المنحنيات التي تحتوي على m غير أولية تكون عرضة لهجمات نزول ويل . ^{[19] [20]}${\displaystyle \mathbb {F} _{2^{m}}}$
• المنحنيات التي تقسم n (حيث p هي سمة المجال: q لحقل أولي، أو لحقل ثنائي) لـ B صغير بدرجة كافية تكون عرضة لهجوم Menezes–Okamoto–Vanstone (MOV) ^{[21] [22]} الذي يطبق مشكلة اللوغاريتم المنفصل المعتادة (DLP) في مجال امتداد بدرجة صغيرة لحل ECDLP. يجب اختيار الحد B بحيث يكون حساب اللوغاريتمات المنفصلة في المجال صعبًا على الأقل مثل حساب اللوغاريتمات المنفصلة على المنحنى الإهليلجي . ^[23]${\displaystyle p^{B}-1}$${\displaystyle 2}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p^{B}}}$${\displaystyle E(\mathbb {F} _{q})}$
• المنحنيات التي تكون عرضة للهجوم الذي يربط النقاط على المنحنى بالمجموعة المضافة لـ . ^{[24] [25] [26]}${\displaystyle E(\mathbb {F} _{q})|=q}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

نظرًا لأن جميع الخوارزميات الأسرع المعروفة التي تسمح للمرء بحل ECDLP ( خطوة الطفل العملاقة ، rho لبولارد ، وما إلى ذلك)، تحتاج إلى خطوات، فمن الطبيعي أن يكون حجم الحقل الأساسي ضعف معلمة الأمان تقريبًا. على سبيل المثال، بالنسبة لأمان 128 بت، نحتاج إلى منحنى على ، حيث . يمكن مقارنة هذا بالتشفير ذي المجال المحدود (على سبيل المثال، DSA ) والذي يتطلب ^[27] مفاتيح عامة بطول 3072 بت ومفاتيح خاصة بطول 256 بت، وتشفير تحليل العوامل الصحيحة (على سبيل المثال، RSA ) والذي يتطلب قيمة 3072 بت من n ، حيث يجب أن يكون المفتاح الخاص بنفس الحجم. ومع ذلك، قد يكون المفتاح العام أصغر لاستيعاب التشفير الفعال، خاصةً عندما تكون قوة المعالجة محدودة. ${\displaystyle O({\sqrt {n}})}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle q\approx 2^{256}}$

كان أصعب مخطط ECC (علنًا) تم كسره حتى الآن ^{[ متى؟ ]} يحتوي على مفتاح 112 بت لحالة الحقل الرئيسي ومفتاح 109 بت لحالة الحقل الثنائي. بالنسبة لحالة الحقل الرئيسي، تم كسرها في يوليو 2009 باستخدام مجموعة من أكثر من 200 وحدة تحكم ألعاب PlayStation 3 وكان من الممكن الانتهاء منها في 3.5 شهر باستخدام هذه المجموعة عند التشغيل المستمر. ^[28] تم كسر حالة الحقل الثنائي في أبريل 2004 باستخدام 2600 جهاز كمبيوتر على مدار 17 شهرًا. ^[29]

يهدف أحد المشاريع الحالية إلى كسر تحدي ECC2K-130 بواسطة Certicom، باستخدام مجموعة واسعة من الأجهزة المختلفة: وحدات المعالجة المركزية، ووحدات معالجة الرسومات، ووحدات FPGA. ^[30]

يُظهر الفحص الدقيق لقواعد الجمع أنه من أجل إضافة نقطتين، لا يحتاج المرء إلى عدة عمليات جمع وضرب فحسب، بل يحتاج أيضًا إلى عملية عكس . يكون العكس ( للنتيجة المعطاة بحيث ) أبطأ بمقدار واحد إلى اثنين من حيث الحجم من الضرب ^[31] . ومع ذلك، يمكن تمثيل النقاط على المنحنى في أنظمة إحداثيات مختلفة لا تتطلب عملية عكس لإضافة نقطتين. تم اقتراح العديد من هذه الأنظمة: في النظام الإسقاطي ، يتم تمثيل كل نقطة بثلاثة إحداثيات باستخدام العلاقة التالية: ، ؛ في نظام جاكوبيان، يتم تمثيل النقطة أيضًا بثلاثة إحداثيات ، ولكن يتم استخدام علاقة مختلفة: ، ؛ في نظام لوبيز-دهب تكون العلاقة ، ؛ في نظام جاكوبيان المعدل ، تُستخدم نفس العلاقات ولكن يتم تخزين أربعة إحداثيات واستخدامها للحسابات ؛ وفي نظام جاكوبيان تشودنوفسكي ، تُستخدم خمسة إحداثيات . لاحظ أنه قد تكون هناك اتفاقيات تسمية مختلفة، على سبيل المثال، يستخدم معيار IEEE P1363 -2000 "الإحداثيات الإسقاطية" للإشارة إلى ما يسمى عادةً بإحداثيات Jacobian. من الممكن زيادة السرعة إذا تم استخدام إحداثيات مختلطة. ^[32]${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle x\in \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle y\in \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle xy=1}$${\displaystyle (X,Y,Z)}$${\displaystyle x={\frac {X}{Z}}}$${\displaystyle y={\frac {Y}{Z}}}$${\displaystyle (X,Y,Z)}$${\displaystyle x={\frac {X}{Z^{2}}}}$${\displaystyle y={\frac {Y}{Z^{3}}}}$${\displaystyle x={\frac {X}{Z}}}$${\displaystyle y={\frac {Y}{Z^{2}}}}$${\displaystyle (X,Y,Z,aZ^{4})}$${\displaystyle (X,Y,Z,Z^{2},Z^{3})}$

يمكن تنفيذ الاختزال modulo p (اللازم للجمع والضرب) بشكل أسرع بكثير إذا كان العدد الأولي p عددًا أوليًا زائفًا لميرسين ، أي ؛ على سبيل المثال، أو بالمقارنة مع اختزال باريت ، يمكن أن يكون هناك تسريع بمقدار مرتبة من حيث الحجم. ^[33] التسريع هنا عملي وليس نظريًا، وينبع من حقيقة أن معاملات الأرقام مقابل الأرقام القريبة من قوى اثنين يمكن إجراؤها بكفاءة بواسطة أجهزة الكمبيوتر التي تعمل على الأرقام الثنائية مع العمليات الثنائية . ${\displaystyle p\approx 2^{d}}$${\displaystyle p=2^{521}-1}$${\displaystyle p=2^{256}-2^{32}-2^{9}-2^{8}-2^{7}-2^{6}-2^{4}-1.}$

يوصي المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا بالمنحنيات التي تحتوي على p الزائف لميرسين . ومن بين المزايا الأخرى لمنحنيات المعهد الوطني للمعايير والتكنولوجيا أنها تستخدم a  = −3، وهو ما يحسن الجمع في إحداثيات جاكوبيان. ${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

وفقًا لبرنشتاين ولانج، فإن العديد من القرارات المتعلقة بالكفاءة في NIST FIPS 186-2 ليست مثالية. المنحنيات الأخرى أكثر أمانًا وتعمل بنفس السرعة. ^[34]

على عكس معظم أنظمة DLP الأخرى (حيث من الممكن استخدام نفس الإجراء للتربيع والضرب)، فإن إضافة EC مختلفة بشكل كبير بالنسبة للمضاعفة ( P = Q ) والإضافة العامة ( P ≠ Q ) اعتمادًا على نظام الإحداثيات المستخدم. وبالتالي، من المهم مواجهة هجمات القناة الجانبية (على سبيل المثال، هجمات تحليل الطاقة البسيطة/التفاضلية أو هجمات التوقيت ) باستخدام، على سبيل المثال، طرق نافذة النمط الثابت (المعروفة أيضًا باسم المشط) ^{[ التوضيح مطلوب ] [35]} (لاحظ أن هذا لا يزيد من وقت الحساب). بدلاً من ذلك، يمكن للمرء استخدام منحنى إدواردز ؛ هذه عائلة خاصة من المنحنيات الإهليلجية حيث يمكن إجراء المضاعفة والإضافة بنفس العملية. ^[36] مصدر قلق آخر لأنظمة ECC هو خطر هجمات الخطأ ، خاصة عند التشغيل على البطاقات الذكية . ^[37]

أعرب خبراء التشفير عن مخاوفهم من أن وكالة الأمن القومي قد أدخلت بابًا خلفيًا للسرقات في مولد عشوائي زائف قائم على منحنى إهليلجي واحد على الأقل. ^[38] تشير المذكرات الداخلية التي سربها المتعاقد السابق مع وكالة الأمن القومي إدوارد سنودن إلى أن وكالة الأمن القومي وضعت بابًا خلفيًا في معيار Dual EC DRBG . ^[39] خلص أحد التحليلات للباب الخلفي المحتمل إلى أن الخصم الذي يمتلك المفتاح السري للخوارزمية يمكنه الحصول على مفاتيح التشفير نظرًا لوجود 32 بايت فقط من ناتج PRNG. ^[40]

تم إطلاق مشروع SafeCurves من أجل تصنيف المنحنيات التي يسهل تنفيذها بأمان والتي تم تصميمها بطريقة يمكن التحقق منها علنًا لتقليل فرصة حدوث باب خلفي. ^[41]

يمكن استخدام خوارزمية شور لكسر تشفير المنحنى الإهليلجي عن طريق حساب اللوغاريتمات المنفصلة على كمبيوتر كمي افتراضي . أحدث تقديرات الموارد الكمومية لكسر منحنى بمعامل 256 بت (مستوى أمان 128 بت) هي 2330 كيوبت و 126 مليار بوابة توفولي . ^[42] بالنسبة لحالة المنحنى الإهليلجي الثنائي، يلزم 906 كيوبت (لكسر 128 بت من الأمان). ^[43] وبالمقارنة، فإن استخدام خوارزمية شور لكسر خوارزمية RSA يتطلب 4098 كيوبت و 5.2 تريليون بوابة توفولي لمفتاح RSA بطول 2048 بت، مما يشير إلى أن ECC هو هدف أسهل لأجهزة الكمبيوتر الكمومية من RSA. كل هذه الأرقام تتجاوز إلى حد كبير أي كمبيوتر كمي تم بناؤه على الإطلاق، وتشير التقديرات إلى أن إنشاء مثل هذه الحواسيب على بعد عقد أو أكثر. ^{[ بحاجة لمصدر ] [44]}

زعمت تقنية تبادل المفاتيح ديفي-هيلمان ذات التماثل المفرد الفائق أنها توفر شكلاً آمنًا بعد الكم من التشفير باستخدام المنحنيات الإهليلجية من خلال استخدام التماثل المفرد لتنفيذ عمليات تبادل المفاتيح ديفي-هيلمان . يستخدم هذا التبادل للمفاتيح نفس العمليات الحسابية الميدانية الموجودة في التشفير ذي المنحنى الإهليلجي الحالي ويتطلب تكاليف حسابية ونقل مماثلة للعديد من أنظمة المفاتيح العامة المستخدمة حاليًا. ^[45] ومع ذلك، فإن الهجمات الكلاسيكية الجديدة قوضت أمان هذا البروتوكول. ^[46]

في أغسطس/آب 2015، أعلنت وكالة الأمن القومي أنها تخطط للانتقال "في المستقبل غير البعيد" إلى مجموعة تشفير جديدة مقاومة للهجمات الكمومية . "وللأسف، اصطدم نمو استخدام المنحنيات الإهليلجية بحقيقة التقدم المستمر في البحث في مجال الحوسبة الكمومية، الأمر الذي استلزم إعادة تقييم استراتيجيتنا التشفيرية". ^[11]

عند استخدام ECC في الآلات الافتراضية ، قد يستخدم المهاجم منحنى غير صالح للحصول على مفتاح PDH خاص كامل. ^[47]

تتضمن التمثيلات البديلة للمنحنيات الإهليلجية ما يلي:

• المنحنيات الهيسية
• منحنيات إدواردز
• منحنيات ملتوية
• منحنيات هيسيانية ملتوية
• منحنى إدواردز الملتوي
• منحنى دوشي-إيكارت-كوهيل الموجه نحو التضاعف
• منحنى دوشي-إيكارت-كوهيل الموجه للثلاثية
• منحنى جاكوبي
• منحنيات مونتغمري

• جاك فيلو، كوربس الإهليلجي (...)، شركة الرياضيات الفرنسية، 57، 1-152، باريس، 1978.

• المنحنيات الإهليلجية في جامعة ستانفورد
• مقدمة تفاعلية حول المنحنيات الإهليلجية وتشفير المنحنيات الإهليلجية باستخدام Sage بواسطة Maike Massierer وفريق CrypTool
• الوسائط المتعلقة بالمنحنى الإهليلجي في ويكيميديا ​​كومنز