آلية كوزاي

في الميكانيكا الهاميلتونية، يتم تحديد النظام الفيزيائي بواسطة دالة تسمى دالة هاميلتونية ويرمز لها بـ${\displaystyle {\mathcal {H}}}$، من الإحداثيات الأساسية في فضاء الطور . تتكون الإحداثيات الأساسية من الإحداثيات المعممة.${\displaystyle x_{k}}$في فضاء التكوين وزخمها المترافق${\displaystyle p_{k}}$، ل${\displaystyle k=1,...N}$، بالنسبة للأجسام N في النظام (${\displaystyle N=3}$(لتأثير فون زيبيل-كوزاي-ليدوف). عدد${\displaystyle (x_{k},p_{k})}$عدد الأزواج المطلوبة لوصف نظام معين هو عدد درجات حريته .

تُختار أزواج الإحداثيات عادةً بطريقة تُسهّل الحسابات اللازمة لحلّ مسألة مُحدّدة. يُمكن تحويل مجموعة من الإحداثيات الأساسية إلى أخرى عبر تحويل أساسي . تُستنتج معادلات الحركة للنظام من الهاميلتوني عبر معادلات هاميلتون الأساسية ، التي تربط المشتقات الزمنية للإحداثيات بالمشتقات الجزئية للهاميلتوني بالنسبة إلى الزخم المترافق.

تتسم ديناميكيات نظام مكون من ثلاثة أجسام تتفاعل تحت تأثير جاذبيتها المتبادلة بالفوضى ، إذ يتأثر سلوكه على مدى فترات زمنية طويلة بشدة بأي تغييرات طفيفة في الشروط الابتدائية. وهذا يُعرّض الحسابات لتدهور سريع نتيجةً لعدم اليقين في تلك الشروط، وفي تحديدها، ثم في الحفاظ عليها من التقريب في العمليات الحسابية الحاسوبية . والنتيجة العملية لذلك هي أنه لا يمكن حل مسألة الأجسام الثلاثة تحليليًا لفترة زمنية غير محددة، إلا في حالات خاصة. ^{[ 6 ] : 221.} وبدلًا من ذلك، تُستخدم الطرق العددية للتنبؤات الزمنية المحدودة بالدقة المتاحة. ^{[ 7 ] : 2، 10}

تُعدّ آلية ليدوف-كوزاي سمةً من سمات الأنظمة الثلاثية الهرمية ، ^{[ 8 ] : 86،} وهي أنظمة يكون فيها أحد الأجسام، المسمى "المُعَثِّر"، بعيدًا عن الجسمين الآخرين، اللذين يُقال إنهما يُشكلان النظام الثنائي الداخلي . ويُشكل المُعَثِّر ومركز كتلة النظام الثنائي الداخلي النظام الثنائي الخارجي . ^{[ 9 ] : §1} غالبًا ما تُدرس هذه الأنظمة باستخدام أساليب نظرية الاضطراب لكتابة هاميلتوني نظام ثلاثي الأجسام هرمي كمجموع حدين مسؤولين عن التطور المنفصل للنظام الثنائي الداخلي والخارجي، وحد ثالث يربط بين المدارين، ^{[ 9 ]}

${\displaystyle {\mathcal {H}}={\mathcal {H}}_{\rm {in}}+{\mathcal {H}}_{\rm {out}}+{\mathcal {H}}_{\rm {pert}}.}$

ثم يتم توسيع حد الاقتران في رتب المعلمة${\displaystyle \alpha }$، ويُعرَّف بأنه نسبة المحورين شبه الرئيسيين للنظام الثنائي الداخلي والخارجي، وبالتالي فهو صغير في النظام الهرمي. ^{[ 9 ]} نظرًا لأن متسلسلة الاضطراب تتقارب بسرعة، فإن السلوك النوعي لنظام هرمي ثلاثي الأجسام يتحدد بالحدود الأولية في التوسع، والتي يشار إليها باسم رباعي الأقطاب (${\displaystyle \propto \alpha ^{2}}$), ثماني الأقطاب (${\displaystyle \propto \alpha ^{3}}$) وسداسي عشر القطب (${\displaystyle \propto \alpha ^{4}}$) شروط الترتيب، ^{[ 10 ] : 4–5}

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\rm {pert}}={\mathcal {H}}_{\rm {quad}}+{\mathcal {H}}_{\rm {oct}}+{\mathcal {H}}_{\rm {hex}}+O(\alpha ^{5}).}$

بالنسبة للعديد من الأنظمة، يُمكن إيجاد وصف مُرضٍ حتى عند أدنى رتبة، وهي رتبة رباعية الأقطاب، في التوسع الاضطرابي. يصبح الحد ثماني الأقطاب مهيمناً في بعض الأنظمة، وهو المسؤول عن التغير طويل الأمد في سعة تذبذبات ليدوف-كوزاي. ^{[ 11 ]}

يفترض أبسط تفسير لآلية فون زيبيل-ليدوف-كوزاي أن أحد مكونات النظام الثنائي الداخلي، وهو النجم الثانوي ، عبارة عن جسيم اختباري - جسم مثالي نقطي الشكل ذو كتلة ضئيلة مقارنة بالجسمين الآخرين، النجم الأساسي والجسم البعيد المؤثر. وتُعد هذه الافتراضات صحيحة، على سبيل المثال، في حالة قمر صناعي في مدار أرضي منخفض يتأثر بالقمر ، أو مذنب قصير الدورة يتأثر بكوكب المشتري .

في ظل هذه التقريبات، تحتوي معادلات الحركة المتوسطة للمدار للنجم الثانوي على كمية محفوظة : وهي مركبة الزخم الزاوي المداري للنجم الثانوي الموازية للزخم الزاوي لمدار النجم الأساسي/المؤثر. ويمكن التعبير عن هذه الكمية المحفوظة بدلالة انحراف النجم الثانوي e وميله i بالنسبة لمستوى النظام الثنائي الخارجي.

${\displaystyle L_{\mathrm {z} }={\sqrt {1-e^{2}\;}}\,\cos i=\mathrm {constant} }$

يعني قانون حفظ L _z أنه يمكن استبدال الانحراف المداري بالميل. وبالتالي، يمكن أن تصبح المدارات شبه الدائرية ذات الميل الشديد شديدة الانحراف. وبما أن زيادة الانحراف المداري مع الحفاظ على ثبات نصف المحور الأكبر يقلل المسافة بين الأجرام عند نقطة الحضيض ، فإن هذه الآلية قد تتسبب في أن تصبح المذنبات (المتأثرة بكوكب المشتري ) قريبة من الشمس .

ستظهر تذبذبات ليدوف-كوزاي إذا كانت قيمة L _z أقل من قيمة معينة. عند القيمة الحرجة لـ L _z ، يظهر مدار "نقطة ثابتة"، بميل ثابت يُعطى بواسطة

${\displaystyle i_{\mathrm {crit} }=\arccos \left({\sqrt {{\frac {3}{5}}\,}}\,\right)\approx 39.2^{\mathsf {o}}}$

بالنسبة لقيم L _z الأقل من هذه القيمة الحرجة، توجد مجموعة من الحلول المدارية ذات مُعامل واحد لها نفس قيمة L _z ولكن بمقادير مختلفة من التباين في e أو i . والجدير بالذكر أن درجة التباين المُحتمل في i مستقلة عن الكتل المعنية، والتي تُحدد فقط النطاق الزمني للتذبذبات. ^{[ 12 ]}

تتسبب آلية فون زيبيل-ليدوف-كوزاي في تذبذب زاوية الحضيض ( ω ) حول 90° أو 270°، أي أن أقرب نقطة له تحدث عندما يكون الجسم في أبعد نقطة عن مستوى خط الاستواء. هذا التأثير هو أحد أسباب حماية بلوتو ديناميكيًا من الاقتراب الشديد من نبتون .

تفرض آلية ليدوف-كوزاي قيودًا على المدارات الممكنة داخل النظام. على سبيل المثال:

بالنسبة للقمر الصناعي العادي

إذا كان مدار قمر الكوكب يميل بشدة إلى مدار الكوكب، فإن انحراف مدار القمر سيزداد حتى، عند أقرب نقطة، يتم تدمير القمر بفعل قوى المد والجزر.

بالنسبة للأقمار الصناعية غير المنتظمة

سيؤدي ازدياد الانحراف المداري إلى اصطدام القمر بقمر عادي أو كوكب، أو قد يدفع ازدياد نقطة الأوج القمر خارج نطاق هيل . وقد تم مؤخراً تحديد نصف قطر استقرار هيل كدالة لميل القمر، وهو ما يفسر أيضاً التوزيع غير المنتظم لميول الأقمار غير المنتظمة. ^{[ 13 ]}

وقد تم استخدام هذه الآلية في عمليات البحث عن الكوكب التاسع ، وهو كوكب افتراضي يدور حول الشمس في مدار أبعد بكثير من مدار نبتون. ^{[ 14 ]}

تم اكتشاف عدد من الأقمار في رنين ليدوف-كوزاي مع كواكبها، بما في ذلك كاربو وإيبوري التابعين لكوكب المشتري ، ^{[ 15 ]} وكيفيوق وإيجيراك التابعين لكوكب زحل ، ^{[ 1 ] ومارغريت التابعة} لكوكب أورانوس ، ^{[ 16 ]} وساو ونيسو التابعين لكوكب نبتون . ^{[ 17 ]}

تُشير بعض المصادر إلى أن المسبار الفضائي السوفيتي لونا 3 هو أول مثال على قمر صناعي يخضع لتذبذبات ليدوف-كوزاي. أُطلق عام 1959 إلى مدار أرضي مركزي شديد الميلان، وكان أول مهمة لتصوير الجانب البعيد من القمر . احترق في الغلاف الجوي للأرض بعد إتمامه إحدى عشرة دورة. ^{[ 1 ] : 9-10.} مع ذلك، ووفقًا لغكولياس وآخرون (2016)، لا بد أن آلية مختلفة قد دفعت إلى اضمحلال مدار المسبار، إذ كان من الممكن أن تُعيق تأثيرات تفلطح الأرض تذبذبات ليدوف- كوزاي . ^{[ 18 ]}

تُساهم آلية فون زيبيل-ليدوف-كوزاي، بالاشتراك مع الاحتكاك المدّي ، في تكوين كواكب المشتري الحارة ، وهي كواكب غازية عملاقة خارج المجموعة الشمسية تدور حول نجومها في مدارات ضيقة. ^{[ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]} يُعزى الانحراف المداري الكبير للكوكب HD 80606 b في نظام HD 80606/80607 على الأرجح إلى آلية كوزاي. ^{[ 23 ]} من المرجح أن يُظهر KELT-19 Ab أدلة على آلية كوزاي نتيجةً لعدم محاذاة محور مدار الكوكب مع محور دوران النجم في بداياته، مما أدى إلى انقلاب مداره. ^{[ 24 ]}

يُعتقد أن هذه الآلية تؤثر على نمو الثقوب السوداء المركزية في التجمعات النجمية الكثيفة . كما أنها تُحفز تطور بعض أنواع الثقوب السوداء الثنائية ^{[ 9 ]} ، وقد تلعب دورًا في تمكين اندماج الثقوب السوداء . ^{[ 25 ]}