مفارقة السلم

مفارقة السلم ( أو مفارقة عمود الحظيرة ) هي تجربة فكرية في النسبية الخاصة . تتضمن سلمًا موازيًا للأرض، يتحرك أفقيًا بسرعة نسبية (قريبة من سرعة الضوء)، وبالتالي يخضع لانكماش لورنتز في الطول . يُتخيل السلم وهو يمر عبر الأبواب الأمامية والخلفية المفتوحة لمرآب أو حظيرة أقصر من طوله الأصلي ، لذا لو كان السلم ساكنًا لما استطاع الدخول. بالنسبة لمراقب ثابت، وبسبب الانكماش، يستطيع السلم المتحرك الدخول بالكامل إلى المبنى أثناء مروره. من ناحية أخرى، من وجهة نظر مراقب يتحرك مع السلم، لن ينكمش السلم، بل سينكمش المبنى إلى طول أصغر. لذلك، لن يستطيع السلم الدخول إلى المبنى أثناء مروره. هذا يُظهر تناقضًا واضحًا بين واقعي المراقبين.

تنشأ هذه المفارقة الظاهرية من افتراض خاطئ للتزامن المطلق. يُقال إن السلم يتسع في المرآب إذا أمكن وضع طرفيه داخله في آن واحد. وتُحل هذه المفارقة عند الأخذ في الاعتبار أن التزامن في النسبية نسبي لكل مراقب، مما يجعل الإجابة على سؤال ما إذا كان السلم يتسع داخل المرآب نسبية أيضاً لكل منهم.

أبسط صيغة للمسألة تتضمن مرآباً ببابين أمامي وخلفي مفتوحين، وسلّماً، عندما يكون ساكناً بالنسبة للمرآب، يكون أطول من أن يتسع داخله. الآن، نحرك السلّم بسرعة أفقية عالية عبر المرآب الساكن. وبسبب سرعته العالية، يخضع السلّم لتأثير الانكماش النسبي في الطول ، فيصبح أقصر بكثير. ونتيجة لذلك، أثناء مرور السلّم عبر المرآب، يكون، لفترة من الزمن، محصوراً تماماً داخله. يمكننا، إذا أردنا، إغلاق كلا البابين في آن واحد لفترة وجيزة، لإثبات أن السلّم يتسع داخل المرآب.

حتى الآن، يبدو هذا متسقًا. تكمن المفارقة الظاهرية عند النظر إلى تناظر الموقف. فبما أن المراقب الذي يتحرك مع السلم يسير بسرعة ثابتة في الإطار المرجعي العطالي للمرآب، فإن هذا المراقب يشغل أيضًا إطارًا مرجعيًا عطاليًا، حيث تنطبق عليه، وفقًا لمبدأ النسبية ، قوانين الفيزياء نفسها. من هذا المنظور، يكون السلم هو الثابت الآن، بينما يتحرك المرآب بسرعة عالية. وبالتالي، فإن المرآب هو الذي انكمش طوله، ونستنتج الآن أنه أصغر بكثير من أن يكون قد احتوى السلم بالكامل أثناء مروره: فالسلم لا يتسع له، ولا يمكننا إغلاق كلا البابين على جانبيه دون الاصطدام به. هذا التناقض الظاهري هو المفارقة.

يكمن حل هذه المفارقة الظاهرية في نسبية التزامن : فما يعتبره مراقب ما (مثلاً مع المرآب) حدثين متزامنين، قد لا يكون كذلك بالنسبة لمراقب آخر (مثلاً مع السلم). فعندما نقول إن السلم "يناسب" المرآب، فإننا نعني تحديداً أنه في لحظة معينة، كان كل من الجزء الخلفي للسلم والجزء الأمامي منه داخل المرآب؛ أي أن مقدمة السلم ومؤخرته كانتا داخل المرآب في الوقت نفسه. وبما أن التزامن نسبي، فإن مراقبين يختلفان حول ما إذا كان السلم مناسباً أم لا. فبالنسبة للمراقب الذي لديه المرآب، كان الجزء الخلفي من السلم داخل المرآب في الوقت نفسه الذي كان فيه الجزء الأمامي، وبالتالي كان السلم مناسباً؛ أما بالنسبة للمراقب الذي لديه السلم، فلم يكن هذان الحدثان متزامنين، وبالتالي لم يكن السلم مناسباً.

من الطرق الواضحة لفهم ذلك النظر إلى الأبواب، التي تُغلق داخل إطار المرآب لفترة وجيزة عندما يكون السلم داخله بالكامل. لننظر الآن إلى هذه الأحداث داخل إطار السلم. الحدث الأول هو اقتراب مقدمة السلم من باب الخروج من المرآب. يُغلق الباب، ثم يُفتح مرة أخرى ليسمح لمقدمة السلم بالمرور. في وقت لاحق، تمر مؤخرة السلم عبر باب الدخول، الذي يُغلق ثم يُفتح. نلاحظ أنه بما أن التزامن نسبي، لم يكن من الضروري إغلاق البابين في الوقت نفسه، ولم يكن من الضروري أن يتسع السلم داخل المرآب.

يمكن توضيح الوضع بشكل أكبر من خلال مخطط مينكوفسكي أدناه. المخطط في إطار سكون المرآب. يُظهر الشريط الرأسي الأزرق الفاتح المرآب في الزمكان، بينما يُظهر الشريط الأحمر الفاتح السلم في الزمكان. يُمثل المحوران x و t محوري الزمكان للمرآب، على التوالي، بينما يُمثل المحوران x ′ و t ′ محوري الزمكان للسلم، على التوالي.

في إطار المرآب، يُمثَّل السلم في أي لحظة بمجموعة نقاط أفقية موازية للمحور السيني ، ضمن الشريط الأحمر. ومن الأمثلة على ذلك القطعة المستقيمة الزرقاء السميكة، التي تقع داخل الشريط الأزرق الذي يُمثِّل المرآب، والتي تُمثِّل السلم عندما يكون داخل المرآب بالكامل. أما في إطار السلم، فتقع مجموعات الأحداث المتزامنة على خطوط موازية للمحور السيني ؛ لذا يُمثَّل السلم في أي لحظة بمقطع عرضي لهذا الخط مع الشريط الأحمر . ومن الأمثلة على ذلك القطعة المستقيمة الحمراء السميكة. نلاحظ أن هذه القطع المستقيمة لا تقع أبدًا داخل الشريط الأزرق بالكامل؛ أي أن السلم لا يقع داخل المرآب بالكامل.

في نسخة أكثر تعقيدًا من المفارقة، يمكننا تثبيت السلم فعليًا داخل المرآب. يمكن تحقيق ذلك، على سبيل المثال، بعدم فتح باب الخروج مرة أخرى بعد إغلاقه. في إطار المرآب، نفترض أن باب الخروج ثابت، وبالتالي عندما يصطدم به السلم، نقول إنه يتوقف فورًا. ^{[ 1 ] [ 2 ]} في هذه الأثناء، يكون باب الدخول قد أُغلق أيضًا، وبالتالي يكون السلم عالقًا داخل المرآب. ولأن سرعته النسبية أصبحت صفرًا، فإنه لم ينكمش طوله، وأصبح الآن أطول من المرآب؛ لذا سيتعين عليه الانحناء أو الانكسار أو الانفجار.

مرة أخرى، يكمن اللغز في النظر إلى الموقف من منظور هيكل السلم. في التحليل السابق، كان السلم، في إطاره الخاص، أطول من المرآب. فكيف أغلقنا الأبواب وحاصرناه في الداخل؟

من الجدير بالذكر هنا سمة عامة للنسبية: لقد استنتجنا، من خلال دراسة هيكل المرآب، أننا بالفعل نحاصر السلم داخله. لذا، يجب أن يكون هذا صحيحًا في أي إطار مرجعي - فلا يمكن أن ينكسر السلم في إطار مرجعي دون آخر. انطلاقًا من هيكل السلم، نعلم إذًا أنه لا بد من وجود تفسير لكيفية انحشاره؛ علينا ببساطة إيجاد هذا التفسير.

يكمن التفسير في أنه على الرغم من أن جميع أجزاء السلم تتباطأ في آن واحد حتى تتوقف تمامًا داخل هيكل المرآب، إلا أن التباطؤ في هيكل السلم ليس متزامنًا، لأن التزامن نسبي. بل يتباطأ كل جزء من السلم بالتتابع، ^{[ 1 ] [ 3 ]} من الأمام إلى الخلف، حتى يتباطأ الجزء الخلفي من السلم في النهاية، وعندها يكون قد دخل المرآب بالفعل.

بما أن انكماش الطول وتمدد الزمن يخضعان لتحويلات لورنتز ، يمكن اعتبار مفارقة السلم نظيرًا فيزيائيًا لمفارقة التوأم ، حيث يغادر أحد التوأمين الأرض، ويسافر بسرعة لفترة زمنية، ثم يعود إليها أصغر سنًا بقليل من توأمه الأرضي. وكما هو الحال مع السلم العالق داخل الحظيرة، إذا لم يكن لأي من الإطارين المرجعيين أفضلية - فكل منهما يتحرك بالنسبة للآخر فقط - فكيف يكون التوأم المتحرك هو الأصغر سنًا وليس الثابت (تمامًا كما أن السلم هو الأقصر وليس الحظيرة)؟ في كلتا الحالتين، يكمن الفرق بين الظاهرتين في التسارع والتباطؤ: فالتوأم، وليس الأرض (أو السلم، وليس الحظيرة) هو الذي يتعرض لقوة التباطؤ عند عودته إلى الإطار المرجعي الزمني (أو الفيزيائي، في حالة السلم والحظيرة).

ماذا لو كان الباب الخلفي (الباب الذي يخرج منه السلم) مغلقًا بشكل دائم ولا يُفتح؟ لنفترض أن الباب صلبٌ لدرجة أن السلم لن يخترقه عند اصطدامه به، وبالتالي سيتوقف. عندئذٍ، كما في السيناريو المذكور أعلاه، في إطار مرجعية المرآب، توجد لحظة يكون فيها السلم داخل المرآب تمامًا (أي أن الجزء الخلفي من السلم داخل الباب الأمامي)، قبل أن يصطدم بالباب الخلفي ويتوقف. مع ذلك، من إطار مرجعية السلم، يكون السلم كبيرًا جدًا بحيث لا يتسع في المرآب، لذا بحلول الوقت الذي يصطدم فيه بالباب الخلفي ويتوقف، يكون الجزء الخلفي من السلم لم يصل بعد إلى الباب الأمامي. يبدو هذا متناقضًا. السؤال هو: هل يعبر الجزء الخلفي من السلم الباب الأمامي أم لا؟

تكمن الصعوبة في الغالب في افتراض أن السلم صلب (أي يحافظ على شكله). تبدو السلالم صلبة في حياتنا اليومية، لكن الصلابة التامة تتطلب قدرتها على نقل القوة بسرعة لا نهائية (أي عند دفع أحد طرفيها، يجب أن يتفاعل الطرف الآخر فورًا، وإلا سيتشوه السلم). وهذا يتعارض مع النسبية الخاصة، التي تنص على أن المعلومات لا تنتقل بسرعة تتجاوز سرعة الضوء (وهي سرعة فائقة لا يمكننا ملاحظتها في الواقع، لكنها ذات أهمية بالغة في حالة السلم). لذا، لا يمكن للأجسام أن تكون صلبة تمامًا وفقًا للنسبية الخاصة.

في هذه الحالة، عندما يصطدم الجزء الأمامي من السلم بالباب الخلفي، لا يكون الجزء الخلفي منه قد استوعب ذلك بعد، لذا يستمر في التحرك للأمام (ويتقلص السلم). في كل من إطار المرآب والإطار المرجعي للسلم، يستمر الطرف الخلفي في الحركة لحظة الاصطدام، حتى يصل على الأقل إلى النقطة التي يدخل فيها الجزء الخلفي من السلم في مخروط الضوء الناتج عن الاصطدام (أي النقطة التي تصل إليها القوة المتجهة للخلف بسرعة الضوء من نقطة الاصطدام). عند هذه النقطة، يكون السلم أقصر من طوله الأصلي بعد التقلص، لذا يكون الطرف الخلفي داخل المرآب. ستُظهر الحسابات في كلا الإطارين المرجعيين صحة ذلك.

لم يُحدد ما يحدث بعد وصول القوة إلى الجزء الخلفي من السلم (المنطقة الخضراء في الرسم التوضيحي). وبحسب قوانين الفيزياء، قد ينكسر السلم؛ أو، إذا كان مرنًا بدرجة كافية، فقد ينحني ويتمدد مجددًا إلى طوله الأصلي. عند السرعات العالية جدًا، ستنفجر أي مادة واقعية بعنف متحولةً إلى بلازما.

طُرحت هذه النسخة المبكرة من المفارقة وحلها في الأصل من قبل فولفغانغ ريندل ^{[ 1 ]} ، وتضمنت رجلاً يمشي بسرعة، ممثلاً بقضيب، يسقط في شبكة. ^{[ 4 ]} يُفترض أن القضيب يكون بالكامل فوق الشبكة في إطار مرجعي للشبكة قبل أن يبدأ التسارع الهابط في وقت واحد وبشكل متساوٍ على كل نقطة في القضيب.

من منظور الشبكة، ينكمش القضيب في طوله ويتناسب معها. أما من منظور القضيب نفسه، فالشبكة هي التي تنكمش، ما يجعل القضيب يبدو أطول من أن يسقط.

إن التسارع الهابط للقضيب، المتزامن في إطار مرجعية الشبكة، لا يتزامن في إطار مرجعية القضيب نفسه. ففي إطار مرجعية القضيب، يتسارع الجزء الأمامي منه أولًا نحو الأسفل (كما هو موضح في الخلية 3 من الرسم)، ومع مرور الوقت، يتعرض جزء أكبر من القضيب لهذا التسارع، حتى يتسارع الجزء الخلفي منه في النهاية. ينتج عن ذلك انحناء في القضيب في إطار مرجعيته. وبما أن هذا الانحناء يحدث في إطار سكون القضيب، فهو تشوه فيزيائي حقيقي له، مما يؤدي إلى إجهادات فيه.

لكي يصبح هذا السلوك غير الصلب للقضيب واضحًا، يجب أن يكون كل من القضيب نفسه والشبكة بحجم يسمح بقياس وقت العبور.

تُعدّ مفارقة "القضيب والحلقة" مشكلةً مشابهةً جدًا لمفارقة القضيب والشبكة، ولكنها أبسط منها، إذ تقتصر على الأطر المرجعية العطالية. ^{[ 5 ]} تُعتبر مفارقة القضيب والشبكة معقدة: فهي تتضمن أطرًا مرجعية غير عطالية، حيث يسير الرجل أفقيًا في لحظة، ثم يسقط للأسفل في لحظة أخرى؛ كما تتضمن تشوهًا فيزيائيًا للرجل (أو القضيب المُجزأ)، لأن القضيب يكون منحنيًا في إطار مرجعي ومستقيمًا في آخر. تُضيف هذه الجوانب من المشكلة تعقيدات تتعلق بصلابة القضيب، مما يُخفي الطبيعة الحقيقية للمفارقة. أما مفارقة "القضيب والحلقة" فهي خالية من هذه التعقيدات: قضيب، أطول قليلًا من قطر الحلقة، يتحرك للأعلى ولليمين ومحوره الطولي أفقي، بينما الحلقة ثابتة ومستواها أفقي أيضًا. إذا كانت حركة القضيب بحيث يتطابق مركزه مع مركز الحلقة في لحظة ما، فإن القضيب سينكمش بفعل قوة لورنتز نتيجةً للمركبة الأمامية لحركته، وسيمر عبر الحلقة. تكمن المفارقة عند النظر إلى المسألة في إطار سكون القضيب. تتحرك الحلقة الآن إلى الأسفل وإلى اليسار، وستنكمش بفعل قوة لورنتز على طولها الأفقي، بينما لن ينكمش القضيب إطلاقًا. كيف يمكن للقضيب أن يمر عبر الحلقة؟

يكمن حل المفارقة مرة أخرى في نسبية التزامن. ^{[ 5 ]} يُعرَّف طول الجسم المادي بأنه المسافة بين حدثين متزامنين يقعان عند طرفي الجسم، وبما أن التزامن نسبي، فإن هذا الطول نسبي أيضًا. هذا التغير في الطول هو ببساطة انكماش لورنتز. وبالمثل، تُعرَّف الزاوية المادية بأنها الزاوية المتكونة من ثلاثة أحداث متزامنة ، وهذه الزاوية أيضًا كمية نسبية. في المفارقة المذكورة أعلاه، على الرغم من أن القضيب ومستوى الحلقة متوازيان في إطار سكون الحلقة، إلا أنهما ليسا متوازيين في إطار سكون القضيب. يمر القضيب غير المنكمش عبر الحلقة المنكمشة بفعل انكماش لورنتز لأن مستوى الحلقة يدور بالنسبة للقضيب بمقدار كافٍ لمرور القضيب.

رياضيًا، يمكن فصل تحويل لورنتز إلى حاصل ضرب دوران مكاني وتحويل لورنتز "حقيقي" لا يتضمن دورانًا مكانيًا. ويستند الحل الرياضي لمفارقة القضيب والحلقة على حقيقة أن حاصل ضرب تحويلين لورنتزيين حقيقيين (أفقي ورأسي) قد ينتج عنه تحويل لورنتز غير حقيقي (قطري) بل يتضمن عنصر دوران مكاني.

• ويلز، ويلارد هـ. (1961). "مفارقة الطول في النسبية". المجلة الأمريكية للفيزياء . 29 (12): 858. Bibcode : 1961AmJPh..29..858W . doi : 10.1119/1.1937641 .
• شو، ر. (1962). "مفارقة انكماش الطول". المجلة الأمريكية للفيزياء . 30 (1): 72. Bibcode : 1962AmJPh..30...72S . doi : 10.1119/1.1941907 .
• مارتينز، روبرتو دي أ. (1978). "مفارقة الطول في النسبية". المجلة الأمريكية للفيزياء . 46 (6): 667-670 . Bibcode : 1978AmJPh..46..667M . doi : 10.1119/1.11227 .
• ساستري، جي بي (1987). "هل انكماش الطول متناقض حقًا؟". المجلة الأمريكية للفيزياء . 55 (10): 943-946 . Bibcode : 1987AmJPh..55..943S . doi : 10.1119/1.14911 .
• جرون، أويفيند؛ يوهانسون ، شتاينار (1993). “محاكاة حاسوبية لمفارقة انكماش طول ريندلر”. المجلة الأوروبية للفيزياء . 14 (3): 97– 100. بيب كود : 1993EJPh...14...97G . دوى : 10.1088/0143-0807/14/3/001 . S2CID 250879672 . 
• فان لينتل، هارالد؛ غروبر، كريستيان (2005). "إعادة النظر في مفارقة القضيب والثقب". المجلة الأوروبية للفيزياء . 26 (1): 19-23 . Bibcode : 2005EJPh...26...19V . doi : 10.1088/0143-0807/26/1/003 . S2CID 121888743 . 
• آير، تشاندرو؛ برابهو، جي إم (2008). "انعكاس الترتيب الزمني للأحداث التفاعلية: تصادم قضبان مائلة". المجلة الأوروبية للفيزياء . 27 (4): 819-824 . arXiv : 0809.1721 . Bibcode : 2006EJPh...27..819I . doi : 10.1088/0143-0807/27/4/013 . S2CID 117711286 . 
• بيرس، إيفان (2007). "مفارقة القفل والمفتاح وحدود الصلابة في النسبية الخاصة". المجلة الأمريكية للفيزياء . 75 (7): 610-614 . Bibcode : 2007AmJPh..75..610P . doi : 10.1119/1.2711827 .
• آير، تشاندرو؛ برابهو، جي إم (2008). "ملاحظات متباينة حول هبوط القضيب في الفتحة". المجلة الأمريكية للفيزياء . 74 (11): 998-1001 . arXiv : 0809.1740 . Bibcode : 2006AmJPh..74..998I . doi : 10.1119/1.2346686 . S2CID 55801261 . 
• ماكجلين، إندا؛ فان كامبن، بول (2008). "ملاحظة حول ربط التيار الكهربائي والمجالات المغناطيسية والشحنات والقطب في مفارقة الحظيرة في النسبية الخاصة". المجلة الأوروبية للفيزياء . 29 (6): N63– N67. Bibcode : 2008EJPh...29...63M . doi : 10.1088/0143-0807/29/6/N03 . S2CID 121939564 . 

• تايلور ويلر (1992). فيزياء الزمكان (  الطبعة الثانية). نيويورك: فريمان. رقم ISBN 978-0-716-72327-1.

- يناقش مختلف المفارقات الظاهرية في نظرية النسبية الخاصة وحلولها

• ريندلير، وولفغانغ (2001). النسبية: الخاصة والعامة والكونية . مطبعة جامعة أكسفورد. ISBN 0-19-850836-0.
• فيرارو، رافائيل (2007). زمكان أينشتاين: مقدمة في النسبية الخاصة والعامة . سبرينغر . ISBN 978-0-387-69946-2.

• رسوم متحركة عن النسبية الخاصة من جون دي بيليس. هذا العرض التفاعلي المتحرك لمفارقة القطار والنفق هو نظير لمفارقة القطب (القطار) والحظيرة (النفق).