مفارقة إهرنفست

تتعلق مفارقة إهرنفست بدوران قرص "صلب" في نظرية النسبية .

في صياغتها الأصلية عام ١٩٠٩، كما قدمها بول إهرنفست فيما يتعلق بمفهوم صلابة بورن ضمن النسبية الخاصة ، ^{[ ١ ]} تتناول هذه النظرية أسطوانة صلبة مثالية تدور حول محور تناظرها. ^{[ ٢ ]} يكون نصف القطر R، كما يُرى في الإطار المرجعي للمختبر، عموديًا دائمًا على حركتها ، وبالتالي يجب أن يساوي قيمته R₀ _عندما تكون ثابتة. مع ذلك، يجب أن يظهر محيطها (٢πR ) منكمشًا بفعل لورنتز إلى قيمة أصغر من قيمته ^في حالة السكون، بمعامل γ المعتاد. وهذا يؤدي إلى التناقض القائل ^بأن R = R₀ و _R < R₀ _. [ ^٣ ]    

وقد تعمقت هذه المفارقة أكثر على يد ألبرت أينشتاين ، الذي بيّن أنه بما أن قضبان القياس المحاذية للمحيط والمتحركة معه تبدو منكمشة، فإن المزيد منها سيتسع حول المحيط، الذي سيبلغ قياسه بالتالي أكبر من 2πR . وهذا يشير إلى أن الهندسة غير إقليدية بالنسبة للمراقبين الدوارين، وكان هذا الأمر مهمًا لتطوير أينشتاين لنظرية النسبية العامة . ^{[ 4 ]}

أي جسم صلب مصنوع من مادة حقيقية يدور بسرعة عرضية قريبة من سرعة الصوت لتلك المادة يجب أن يتجاوز نقطة التمزق بسبب قوة الطرد المركزي ، لأن ضغط الطرد المركزي لا يمكن أن يتجاوز معامل القص للمادة.

${\displaystyle {\frac {F}{S}}={\frac {mv^{2}}{rS}}<{\frac {mc_{s}^{2}}{rS}}\approx {\frac {mG}{rS\rho }}\approx G}$

أين${\displaystyle c_{s}}$هي سرعة الصوت،${\displaystyle \rho }$الكثافة و${\displaystyle G}$هو معامل القص . لذلك، عند النظر في السرعات النسبية ، فإنها مجرد تجربة فكرية . قد تسمح المادة المتدهورة بالنيوترونات بسرعات قريبة من سرعة الضوء ، لأن سرعة تذبذب النجم النيوتروني نسبية (على الرغم من أنه لا يمكن القول بدقة أن هذه الأجسام " صلبة ").

تخيل قرصًا نصف قطره R يدور بسرعة زاوية ثابتة${\displaystyle \omega }$.

يُثبَّت الإطار المرجعي عند المركز الثابت للقرص. عندئذٍ، يكون مقدار السرعة النسبية لأي نقطة على محيط القرص هو${\displaystyle \omega R}$لذا، سيخضع المحيط لانكماش لورنتز بمعامل قدره${\displaystyle {\sqrt {1-(\omega R)^{2}/c^{2}}}}$.

لكن بما أن نصف القطر عمودي على اتجاه الحركة، فلن ينكمش.

${\displaystyle {\frac {\mathrm {محيط} }{\mathrm {diameter} }}={\frac {2\pi R{\sqrt {1-(\omega R)^{2}/c^{2}}}}{2R}}=\pi {\sqrt {1-(\omega R)^{2}/c^{2}}}.}$

وهذا أمر متناقض، لأنه وفقًا للهندسة الإقليدية ، يجب أن يكون مساويًا تمامًا لـ π . 

افترض إهرنفست أسطوانة بورن صلبة مثالية قابلة للدوران. وبافتراض أن الأسطوانة لا تتمدد أو تنكمش، فإن نصف قطرها يبقى ثابتًا. ولكن قضبان القياس الموضوعة على طول محيطها${\displaystyle 2\pi R}$ينبغي أن ينكمش لورنتز إلى قيمة أصغر من قيمته في حالة السكون، بمعامل γ المعتاد. وهذا يؤدي إلى مفارقة مفادها أن قضبان القياس الصلبة يجب أن تنفصل عن بعضها البعض بسبب انكماش لورنتز؛ ويبدو أن التناقض الذي لاحظه إهرنفست يشير إلى أن قرص بورن الصلب المدور يجب أن يتحطم.

وهكذا، جادل إهرنفست بالبرهان بالخلف أن صلابة بورن لا تتوافق عمومًا مع النسبية الخاصة. فبحسب النسبية الخاصة، لا يمكن تسريع دوران جسم من حالة عدم الدوران مع الحفاظ على صلابة بورن، ولكن بمجرد أن يصل إلى سرعة زاوية ثابتة غير صفرية، فإنه يحافظ على صلابة بورن دون انتهاك النسبية الخاصة، وعندها (كما أثبت أينشتاين لاحقًا) سيقيس مراقب يركب قرصًا محيطه: ^{[ 3 ]}${\displaystyle C^{\prime }={\frac {2\pi R}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}.}$

كان القرص الدوار وعلاقته بالصلابة تجربة فكرية مهمة لألبرت أينشتاين في تطوير النسبية العامة. ^{[ 4 ]} وقد أشار إليها في العديد من منشوراته في أعوام 1912 و1916 و1917 و1922، واستخلص منها فكرة أن هندسة القرص تصبح غير إقليدية بالنسبة لمراقب يدور معه. كتب أينشتاين (1922): ^{[ 5 ]}

66 وما بعدها: تخيل دائرة مرسومة حول نقطة الأصل في المستوى x'y' للنقطة K'، وقطرًا لهذه الدائرة. تخيل أيضًا أن لدينا عددًا كبيرًا من القضبان الصلبة، جميعها متساوية. نفترض أن هذه القضبان موضوعة على التوالي على طول محيط الدائرة وقطرها، وهي في حالة سكون بالنسبة للنقطة K'. إذا كان U هو عدد هذه القضبان على طول المحيط، وD هو عددها على طول القطر، فإذا لم تكن النقطة K' تدور بالنسبة للنقطة K، فسنحصل على${\displaystyle U/D=\pi }$لكن إذا دار K'، نحصل على نتيجة مختلفة. لنفترض أننا نحدد نهايات جميع القضبان عند لحظة زمنية معينة t لـ K. بالنسبة لـ K، تخضع جميع القضبان على المحيط لانكماش لورنتز، لكن القضبان على القطر لا تخضع لهذا الانكماش (على طولها!). لذلك، يترتب على ذلك أن${\displaystyle U/D>\pi }$.

وبناءً على ذلك، فإن قوانين تكوين الأجسام الصلبة بالنسبة إلى K' لا تتفق مع قوانين تكوين الأجسام الصلبة المتوافقة مع الهندسة الإقليدية. وإذا وضعنا ساعتين متشابهتين (تدوران مع K')، إحداهما على محيط الدائرة والأخرى في مركزها، فعندئذٍ، إذا قُيست من K، ستسير الساعة الموجودة على المحيط أبطأ من الساعة الموجودة في المركز. وينطبق الأمر نفسه، إذا عرّفنا الزمن بالنسبة إلى K' بطريقة ليست غير طبيعية تمامًا، أي بطريقة تعتمد فيها القوانين المتعلقة بـ K' صراحةً على الزمن. وبالتالي، لا يمكن تعريف المكان والزمان بالنسبة إلى K' كما كانا في النظرية النسبية الخاصة بالنسبة للأنظمة العطالية. ولكن، وفقًا لمبدأ التكافؤ، يجب أيضًا اعتبار K' نظامًا ساكنًا، يخضع لحقل جاذبية (حقل قوة طرد مركزي، وقوة كوريوليس). وبالتالي نصل إلى النتيجة التالية: يؤثر مجال الجاذبية، بل ويحدد، القوانين المترية لنسيج الزمكان. فإذا أردنا التعبير عن قوانين تكوين الأجسام الصلبة المثالية هندسيًا، فإن الهندسة في وجود مجال الجاذبية لا تكون إقليدية.

يمكن العثور على مراجع للأوراق المذكورة أدناه (والعديد من الأوراق الأخرى غير المذكورة) في ورقة بحثية من تأليف أويفيند غرون متاحة على الإنترنت. ^{[ 3 ]}

• 1909: قدم ماكس بورن مفهوم الحركة الصلبة في النسبية الخاصة. ^{[ 6 ]}
• 1909: بعد دراسة مفهوم بورن للصلابة، أثبت بول إهرنفست من خلال مفارقة حول أسطوانة تنتقل من السكون إلى الدوران، أن معظم حركات الأجسام الممتدة لا يمكن أن تكون صلبة وفقًا لمفهوم بورن. ^{[ 1 ]}
• في عام ١٩١٠، قام غوستاف هيرغلوتز وفريتز نوثر، كلٌ على حدة، بتطوير نموذج بورن، وأثبتا ( نظرية هيرغلوتز-نوثر ) أن صلابة بورن لا تسمح إلا بثلاث درجات حرية للأجسام المتحركة. فعلى سبيل المثال، من الممكن أن يدور جسم صلب دورانًا منتظمًا، لكن الدوران المتسارع مستحيل. لذا، لا يمكن تحريك جسم صلب وفقًا لنظرية بورن من حالة السكون إلى حالة الدوران، مما يؤكد نتيجة إهرنفست. ^{[ ٧ ] [ ٨ ]}
• في عام 1910، لفت ماكس بلانك الانتباه إلى ضرورة عدم الخلط بين مشكلة انكماش القرص نتيجة دورانه، وبين ما سيقيسه المراقبون الذين يركبون القرص مقارنةً بالمراقبين الثابتين. واقترح أن حل المشكلة الأولى يتطلب إدخال نموذج مادي وتوظيف نظرية المرونة . ^{[ 9 ]}
• في عام 1910، أشار ثيودور كالوزا إلى أنه لا يوجد تناقض جوهري في حصول المراقبين الساكنين والمراقبين الذين يركبون القرص على نتائج مختلفة لمحيط القرص. ومع ذلك، يجادل كالوزا بأن هذا يعني أن "هندسة القرص الدوار" ليست إقليدية . ويؤكد، دون برهان، أن هذه الهندسة هي في الواقع هندسة المستوى الزائدي . ^{[ 10 ]}
• في عام 1911، جادل فلاديمير فاريتشاك بأن المفارقة لا تظهر إلا من منظور لورنتز، حيث تنكمش الأجسام الصلبة، ولكن ليس إذا كان الانكماش "ناتجًا عن طريقة تنظيم الساعة وقياس الطول". نشر أينشتاين ردًا ينفي فيه اختلاف وجهة نظره عن وجهة نظر لورنتز.
• 1911: أثبت ماكس فون لاو أن الجسم المتسارع له عدد لا نهائي من درجات الحرية، وبالتالي لا يمكن أن توجد أجسام صلبة في النسبية الخاصة. ^{[ 11 ]}
• 1916: أثناء كتابة نظريته النسبية العامة الجديدة ، لاحظ ألبرت أينشتاين أن المراقبين الذين يتحركون على أقراص يقيسون محيطًا أطول ، C ′  =  2 πr / √ 1− v ^2. أي أنه نظرًا لأن المساطر المتحركة بالتوازي مع محور طولها تبدو أقصر عند قياسها من قبل مراقبين ثابتين، فإن المراقبين الذين يتحركون على الأقراص يمكنهم وضع مساطر أصغر ذات طول معين حول المحيط أكثر مما يستطيع المراقبون الثابتون.
• 1922: قام AS Eddington ، في كتابه "النظرية الرياضية للنسبية" (ص  113)، بحساب انكماش نصف قطر القرص الدوار (مقارنة بالمقاييس الثابتة) بمقدار ربع عامل "انكماش لورنتز" المطبق على المحيط.
• 1935: قدم بول لانجفين بشكل أساسي إطارًا متحركًا (أو حقل إطار بالمصطلح الحديث) يتوافق مع عائلة المراقبين الذين يتحركون على القرص، والذين يُطلق عليهم الآن مراقبو لانجفين . (انظر الشكل). كما أظهر أن المسافات التي يقيسها مراقبو لانجفين القريبون تتوافق مع مقياس ريماني معين ، يُطلق عليه الآن مقياس لانجفين-لانداو-ليفشيتز . ^{[ 12 ]}
• في عام ١٩٣٧، لاحظ يان فايسنهوف (الذي ربما اشتهر لاحقًا بعمله على وصلات كارتان ذات الانحناء الصفري والالتواء غير الصفري) أن مراقبي لانجفين ليسوا متعامدين على السطح الفائق. ولذلك، فإن مقياس لانجفين-لانداو-ليفشيتز لا يُعرَّف على شريحة فائقة من فضاء مينكوفسكي ، بل على فضاء القسمة الناتج عن استبدال كل خط عالمي بنقطة . وهذا يُعطي مشعبًا ثلاثي الأبعاد أملسًا يتحول إلى مشعب ريماني عند إضافة بنية المقياس.
• 1946: أظهر ناثان روزن أن المراقبين بالقصور الذاتي الذين يتحركون بشكل فوري مع مراقبي لانجفين يقيسون أيضًا مسافات صغيرة معطاة بواسطة مقياس لانجفين-لانداو-ليفشيتز.
• في عام 1946، قام إي. إل. هيل بتحليل الإجهادات النسبية في مادة تتساوى فيها سرعة الصوت (تقريبًا) مع سرعة الضوء، وأظهر أن هذه الإجهادات تلغي التمدد القطري الناتج عن قوة الطرد المركزي (في أي مادة واقعية فيزيائيًا، تتضاءل التأثيرات النسبية ولكنها لا تلغي التمدد القطري). وقد أوضح هيل الأخطاء التي شابت التحليلات السابقة التي أجراها آرثر إدينغتون وآخرون. ^{[ 13 ]}
• 1952: يحاول سي. مولر دراسة الجيوديسيات الصفرية من وجهة نظر المراقبين الدوارين (لكنه يحاول بشكل خاطئ استخدام الشرائح بدلاً من فضاء القسمة المناسب).
• 1968: يقدم ف. كانتوني تفسيراً حركياً مباشراً للمفارقة من خلال إظهار أن "أحد الافتراضات الضمنية الواردة في بيان مفارقة إهرنفست غير صحيح، وهو الافتراض بأن هندسة فضاء مينكوفسكي تسمح بمرور القرص من السكون إلى الدوران بطريقة تجعل كلاً من طول نصف القطر وطول المحيط، مقاسين بالنسبة إلى الإطار المرجعي المتحرك، يظلان دون تغيير".
• 1975: كتب أويفيند غرون ورقة مراجعة كلاسيكية حول حلول "المفارقة".
• 1977: قدم غرونباوم وجانيس مفهوم "عدم الصلابة" القابل للتحقيق فيزيائياً والذي يمكن تطبيقه على دوران قرص غير دوار في البداية (هذا المفهوم ليس واقعياً فيزيائياً بالنسبة للمواد الحقيقية التي يمكن صنع قرص منها، ولكنه مفيد للتجارب الفكرية). ^{[ 14 ]}
• 1981: لاحظ غرون أن قانون هوك لا يتوافق مع تحويلات لورنتز وقدم تعميمًا نسبيًا.
• 1997: قدم تي إيه ويبر بشكل صريح حقل الإطار المرتبط بمراقبي لانجفين.
• 2000: يشير هرفوي نيكوليتش ​​إلى أن المفارقة تختفي عندما (وفقًا للنظرية النسبية العامة ) يتم التعامل مع كل جزء من القرص الدوار بشكل منفصل، كما لو كان يعيش في إطاره المحلي غير العطالي الخاص به.
• 2002: قام ريتزي وروجييرو (وبيل) بتقديم مفهوم مشعب القسمة المذكور أعلاه بشكل صريح.
• 2007: يقترح كورنويل حلاً بديلاً للمفارقة. ويُبين أن الافتراض الأصلي والمستمر لانكماش لورنتز كان خاطئاً، وأنه لا توجد مفارقة. ^{[ 15 ]}
• 2024: قام جيتندرا كومار بتحليل مفارقة الحلقة، وأشار إلى أن حلها يعتمد على كيفية نقل الحلقة من حالة السكون إلى الحركة الدورانية، سواءً عن طريق الحفاظ على طول محيطها في حالة السكون ثابتًا (وفي هذه الحالة يتمزق المحيط) أو عن طريق الحفاظ على طول المحيط في الإطار المرجعي الثابت (وفي هذه الحالة يتمدد المحيط فعليًا، مما يزيد من طوله في حالة السكون). ^{[ 16 ]}

يذكر غرون أن حل المفارقة ينبع من استحالة مزامنة الساعات في إطار مرجعي دوار . ^{[ 17 ]} إذا حاول المراقبون على المحيط الدوار مزامنة ساعاتهم حول المحيط لتحديد وقت القرص، فسيكون هناك فرق زمني بين نقطتي النهاية حيث يلتقيان.

يمكن تلخيص القرار الحديث بإيجاز على النحو التالي:

1. يتم وصف المسافات الصغيرة التي يقيسها المراقبون الذين يركبون القرص بواسطة مقياس لانجفين-لانداو-ليفشيتز ، والذي يتم تقريبه بشكل جيد (للسرعة الزاوية الصغيرة) بواسطة هندسة المستوى الزائدي، تمامًا كما ادعى كالوزا.
2. بالنسبة للمواد ذات الخصائص الفيزيائية المعقولة، يتمدد قرص حقيقي شعاعيًا خلال مرحلة بدء الدوران بفعل قوى الطرد المركزي؛ وتُعاكس التصحيحات النسبية جزئيًا (لكنها لا تلغي) هذا التأثير النيوتوني. بعد الوصول إلى حالة دوران مستقرة والسماح للقرص بالاسترخاء، تُعطى الهندسة "في النطاق الصغير" تقريبًا بواسطة مقياس لانجفين-لانداو-ليفشيتز.

• إحداثيات بورن ، لمخطط إحداثيات مُكيَّف للمراقبين الذين يركبون على قرص يدور بشكل صلب
• انقباض الطول
• القرص النسبي

بعض "المفارقات" الأخرى في النسبية الخاصة

• مفارقة سفينة بيل الفضائية
• مفارقة السلم
• المفارقة الفيزيائية
• مفارقة سوبلي
• مفارقة التوأم

• القرص الدوار الصلب في النسبية ، بقلم مايكل فايس (1995)، من الأسئلة الشائعة في sci.physics .
• دوامة آينشتاين (القسم 3.5.4) ، بقلم ب. كرويل