مشتقات المواد

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 35 صور
الموسوعة الحرة

في ميكانيكا الأوساط المتصلة ، يصف المشتق المادي [ 1 ] [ 2 ] معدل تغير كمية فيزيائية معينة (مثل الحرارة أو الزخم ) لعنصر مادي يتعرض لحقل سرعة ماكروسكوبي يعتمد على المكان والزمان . ويمكن أن يكون المشتق المادي بمثابة حلقة وصل بين الوصفين الأويلري واللاغرانجي لتشوه الأوساط المتصلة . [ 3 ]

على سبيل المثال، في ديناميكا الموائع ، يمثل حقل السرعة سرعة التدفق ، وقد تكون الكمية محل الاهتمام هي درجة حرارة المائع. في هذه الحالة، يصف المشتق المادي تغير درجة حرارة جزء معين من المائع مع الزمن، أثناء تدفقه على طول مساره .

أسماء أخرى

هناك العديد من الأسماء الأخرى للمشتق المادي، بما في ذلك:

  • المشتق الإزاحي [ 4 ]
  • المشتق الحملي [ 5 ]
  • المشتقة التي تتبع الحركة [ 1 ]
  • المشتق الهيدروديناميكي [ 1 ]
  • مشتق لاغرانج [ 6 ]
  • مشتق الجسيمات [ 7 ]
  • مشتق جوهري [ 1 ]
  • المشتق الموضوعي [ 8 ]
  • مشتق ستوكس [ 8 ]
  • المشتق الكلي ، [ 1 ] [ 9 ] على الرغم من أن المشتق المادي هو في الواقع حالة خاصة من المشتق الكلي [ 9 ]

تعريف

يتم تعريف المشتق المادي لأي حقل موترy{\displaystyle y}أي ماكروسكوبي ، بمعنى أنه يعتمد فقط على إحداثيات الموقع والزمن.y=y(x،ت){\displaystyle y=y(x,t)}: دyدت≡∂y∂ت+u⋅∇y،{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} y}{\mathrm {D} t}}\equiv {\frac {\partial y}{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla y,} أين∇y{\displaystyle \nabla y}هي المشتقة المتغيرة للموتر، وu(x،ت){\displaystyle \mathbf {u} (x,t)}هي سرعة التدفق . بشكل عام، هي المشتقة الحملية للمجالu⋅∇y{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla y}، الذي يحتوي على المشتق المتغير للحقل، يمكن تفسيره على أنه يتضمن مشتق موتر خط التدفق للحقلu⋅∇y{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla y}أو على أنها تتضمن المشتق الاتجاهي الانسيابي للمجال(u⋅∇) y{\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )\ y}مما يؤدي إلى النتيجة نفسها. [ 10 ] يصف هذا المصطلح المكاني فقط، الذي يحتوي على سرعة التدفق، انتقال المجال في التدفق، بينما يصف المصطلح الآخر التغير الجوهري للمجال، بغض النظر عن وجود أي تدفق. ومن المثير للارتباك، أنه في بعض الأحيان يُستخدم مصطلح "المشتق الحملي" للإشارة إلى المشتق المادي بأكمله.د/دت{\displaystyle \mathrm {D} /\mathrm {D} t}، بدلاً من ذلك بالنسبة للمصطلح المكاني فقطu⋅∇{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla }[ 2 ] تأثير المصطلحات غير المعتمدة على الزمن في التعريفات هو بالنسبة للحالة العددية والموترية على التوالي والمعروفة باسم الحمل الحراري والحمل الحراري .

الحقول العددية والمتجهة

على سبيل المثال، بالنسبة لحقل قياسي كبيرϕ(x،ت){\displaystyle \phi (x,t)}وحقل متجهي ماكروسكوبيأ(x،ت){\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {x} ,t)}يصبح التعريف كالتالي: دϕدت≡∂ϕ∂ت+u⋅∇ϕ،دأدت≡∂أ∂ت+u⋅∇أ.{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {D} \phi }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \phi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \phi ,\\[3pt]{\frac {\mathrm {D} \mathbf {A} }{\mathrm {D} t}}&\equiv {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {A} .\end{محاذاة}}}

في الحالة العددية∇ϕ{\displaystyle \nabla \phi }هو ببساطة تدرج كمية قياسية، بينما∇أ{\displaystyle \nabla \mathbf {A} }هي المشتقة المتغيرة للمتجه العياني (والذي يمكن اعتباره أيضًا مصفوفة جاكوبي لـأ{\displaystyle \mathbf {A} }كدالة لـx{\displaystyle \mathbf {x} }). على وجه الخصوص بالنسبة لحقل قياسي في نظام إحداثيات ديكارتية ثلاثي الأبعاد(x1،x2،x3){\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})}مكونات السرعةu{\displaystyle \mathbf {u} }نكونu1،u2،u3{\displaystyle u_{1},u_{2},u_{3}}ويكون الحد الحملي حينها كالتالي: u⋅∇φ=u1∂φ∂x1+u2∂φ∂x2+u3∂φ∂x3.{\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \varphi =u_{1}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{1}}}+u_{2}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{2}}}+u_{3}{\frac {\partial \varphi }{\partial x_{3}}}.}

تطوير

لنفترض كمية قياسية φ ( x , t ) ، حيث t هو الزمن و x هو الموضع. قد تكون φ هنا متغيرًا فيزيائيًا مثل درجة الحرارة أو التركيز الكيميائي. توجد هذه الكمية الفيزيائية، التي تمثلها الكمية القياسية φ ، في وسط متصل، وتُمثل سرعتها الكلية بواسطة حقل المتجهات u ( x , t ) .

يتم توسيع المشتقة (الكلي) بالنسبة للزمن لـ φ باستخدام قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات : ددتφ(x(ت)،ت)=∂φ∂ت+x˙⋅∇φ.{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\varphi (\mathbf {x} (t),t)={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+{\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi .}

من الواضح أن هذه المشتقة تعتمد على المتجه x˙≡دxدت،{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\equiv {\frac {\mathrm {d} \mathbf {x} }{\mathrm {d} t}},} والذي يصف مسارًا مختارًا x ( t ) في الفضاء. على سبيل المثال، إذاx˙=0{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {0} }عند اختيار ، تصبح المشتقة الزمنية مساوية للمشتقة الزمنية الجزئية، وهو ما يتوافق مع تعريف المشتقة الجزئية : وهي مشتقة مأخوذة بالنسبة لمتغير ما (الزمن في هذه الحالة) مع ثبات المتغيرات الأخرى (المكان في هذه الحالة). وهذا منطقي لأنه إذاx˙=0{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=0}ثم يتم حساب المشتقة عند موضع ثابت . وتسمى هذه المشتقة عند الموضع الثابت بالمشتقة الأويلرية.

ومن الأمثلة على ذلك سباح يقف ساكناً ويشعر بتغير درجة حرارة الماء في بحيرة في الصباح الباكر: حيث يصبح الماء أكثر دفئاً تدريجياً بفعل حرارة الشمس. وفي هذه الحالة، يُستخدم مصطلح∂φ/∂ت{\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}}يكفي لوصف معدل تغير درجة الحرارة.

إذا لم تكن الشمس تسخن الماء (أي∂φ/∂ت=0{\displaystyle {\partial \varphi }/{\partial t}=0}إذا لم يكن المسار x ( t ) ثابتًا، فقد تتغير المشتقة الزمنية لـ φ تبعًا للمسار. على سبيل المثال، تخيل سباحًا في حوض ماء ساكن، داخل مبنى لا يتعرض لأشعة الشمس. أحد طرفي الحوض عند درجة حرارة عالية ثابتة، والطرف الآخر عند درجة حرارة منخفضة ثابتة. عند السباحة من أحد الطرفين إلى الآخر، يشعر السباح بتغير في درجة الحرارة مع الزمن، على الرغم من أن درجة الحرارة عند أي نقطة ثابتة تبقى ثابتة. هذا لأن المشتقة تُحسب عند موقع السباح المتغير، والحد الثاني على اليمينx˙⋅∇φ{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\cdot \nabla \varphi }يكفي هذا لوصف معدل تغير درجة الحرارة. سيُظهر مستشعر درجة الحرارة المُثبّت على السباح تغير درجة الحرارة مع مرور الوقت، وذلك ببساطة بسبب اختلاف درجة الحرارة من أحد طرفي المسبح إلى الطرف الآخر.

يتم الحصول على المشتق المادي في النهاية عندما يتم اختيار المسار x ( t ) بحيث تكون سرعته مساوية لسرعة المائع. x˙=u.{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}=\mathbf {u} .}

أي أن المسار يتبع تيار المائع الموصوف بحقل سرعة المائع u . لذا، فإن المشتق المادي للكمية العددية φ هو دφدت=∂φ∂ت+u⋅∇φ.{\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \varphi }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial \varphi }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla \varphi .}

من الأمثلة على ذلك جسيم خفيف الوزن متعادل الطفو ينجرف مع تيار نهر جارٍ ويتعرض لتغيرات في درجة حرارته أثناء حركته. قد ترتفع درجة حرارة الماء محليًا نتيجة تعرض جزء من النهر لأشعة الشمس وجزء آخر للظل، أو قد ترتفع درجة حرارة الماء ككل مع مرور الوقت. تُسمى هذه التغيرات الناتجة عن حركة الجسيم (والتي بدورها ناتجة عن حركة السائل) بالانتقال الحراري (أو الحمل الحراري إذا كان هناك متجه ينتقل).

اعتمد التعريف أعلاه على الطبيعة الفيزيائية لتيار المائع؛ ومع ذلك، لم تُستَخدَم أي قوانين فيزيائية (على سبيل المثال، افتُرِضَ أن جسيمًا خفيفًا في نهر سيتبع سرعة الماء)، ولكن اتضح أنه يمكن وصف العديد من المفاهيم الفيزيائية بإيجاز باستخدام المشتق المادي. ومع ذلك، تعتمد الحالة العامة للحمل على حفظ كتلة تيار المائع؛ ويصبح الوضع مختلفًا بعض الشيء إذا حدث الحمل في وسط غير محافظ.

تمّ الأخذ بعين الاعتبار مسارًا واحدًا فقط للكمية العددية المذكورة أعلاه. أما بالنسبة للمتجه، فيتحوّل التدرج إلى مشتقة موترية ؛ وبالنسبة للحقول الموترية، قد نرغب في مراعاة ليس فقط انتقال نظام الإحداثيات الناتج عن حركة المائع، بل أيضًا دورانه وتمدده. ويتحقق ذلك من خلال المشتقة الزمنية العلوية المنقولة .

الإحداثيات المتعامدة

يمكن إثبات أنه، في الإحداثيات المتعامدة ، يكون المكون j من حد الحمل الحراري للمشتق المادي لحقل متجهأ{\displaystyle \mathbf {A} }يتم تحديده بواسطة [ 11 ][(u⋅∇)أ]ج=∑أناuأناحأنا∂أج∂qأنا+أأناحأناحج(uج∂حج∂qأنا-uأنا∂حأنا∂qج)،{\displaystyle [\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {A} ]_{j}=\sum _{i}{\frac {u_{i}}{h_{i}}}{\frac {\partial A_{j}}{\partial q^{i}}}+{\frac {A_{i}}{h_{i}h_{j}}}\left(u_{j}{\frac {\partial h_{j}}{\partial q^{i}}}-u_{i}{\frac {\partial h_{i}}{\partial q^{j}}}\right),}

حيث ترتبط قيم h i بموترات القياس بواسطةحأنا=زأناأنا.{\displaystyle h_{i}={\sqrt {g_{ii}}}.}

في الحالة الخاصة لنظام إحداثيات ديكارتية ثلاثي الأبعاد ( x ، y ، z )، وكون A موترًا من الرتبة 1 (متجهًا بثلاثة مركبات)، يكون هذا ببساطة: (u⋅∇)أ=(ux∂أx∂x+uy∂أx∂y+uz∂أx∂zux∂أy∂x+uy∂أy∂y+uz∂أy∂zux∂أz∂x+uy∂أz∂y+uz∂أz∂z)=∂(أx،أy،أz)∂(x،y،z)u{\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\begin{pmatrix}\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{x}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{x}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{y}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{y}}{\partial z}}\\\displaystyle u_{x}{\frac {\partial A_{z}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial A_{z}}{\partial y}}+u_{z}{\frac {\partial A_{z}}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}\mathbf {u} }

أين∂(أx،أy،أz)∂(x،y،z){\displaystyle {\frac {\partial (A_{x},A_{y},A_{z})}{\partial (x,y,z)}}}هي مصفوفة جاكوبية .

توجد أيضًا متطابقة متجه-نقطة-حذف للحالةu=أ{\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {A} }، والتي يكون فيها المشتق المادي لحقل متجهأ{\displaystyle \mathbf {A} }يمكن التعبير عنها على النحو التالي:

(أ⋅∇)أ=12∇|أ|2-أ×(∇×أ)=12∇|أ|2+(∇×أ)×أ.{\displaystyle {\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \nabla )\mathbf {A} ={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}-\mathbf {A} \times (\nabla \times \mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\nabla |\mathbf {A} |^{2}+(\nabla \times \mathbf {A} )\times \mathbf {A} }.}

انظر أيضاً

مراجع

  1. 1 2 3 4 5 بيرد، آر بي؛ ستيوارت، دبليو إي؛ لايتفوت، إي إن (2007). ظواهر النقل (الطبعة الثانية المنقحة  ). جون وايلي وأولاده. ص  83. ISBN 978-0-470-11539-8.
  2. 1 2 باتشيلور، جي كي (1967). مقدمة في ديناميكا الموائع . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 72-73 . ISBN  0-521-66396-2.
  3. ↑ ترينبيرث، ك. إي. (1993). نمذجة النظام المناخي . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 99. ISBN  0-521-43231-6.
  4. ↑ ماجدة، أ. (2003). مقدمة في المعادلات التفاضلية الجزئية والأمواج للغلاف الجوي والمحيطات . سلسلة محاضرات كورانت في الرياضيات. المجلد 9. الجمعية الأمريكية للرياضيات. ص 1. ISBN   0-8218-2954-8.
  5. ↑ أوكندون، هـ.؛ أوكندون ، جيه آر (2004). الأمواج والتدفق الانضغاطي . سبرينغر. ص 6. ISBN  0-387-40399-X.
  6. ↑ ميلور، جي إل (1996). مقدمة في علم المحيطات الفيزيائي . سبرينغر. ص 19. ISBN  1-56396-210-1.
  7. ↑ ستوكر، ج. ج. (1992). أمواج الماء: النظرية الرياضية مع التطبيقات . وايلي. ص 5. ISBN  0-471-57034-6.
  8. 1 2 غرانجر، ر. أ. (1995). ميكانيكا الموائع . منشورات كوريير دوفر. ص 30. ISBN  0-486-68356-7.
  9. 1 2 لاندو، إل دي ؛ ليفشيتز، إي إم (1987). ميكانيكا الموائع . سلسلة الفيزياء النظرية. المجلد 6 ( الطبعة الثانية). باتروورث-هاينمان. الصفحات 3-4 و227. ISBN    0-7506-2767-0.
  10. ↑ إيمانويل، ج. (2001). ديناميكا الموائع التحليلية ( الطبعة الثانية). مطبعة سي آر سي. الصفحات 6-7 . ISBN   0-8493-9114-8.
  11. ↑ إريك دبليو. وايسشتاين . "المؤثر الحملي" . ماث وورلد . تم الاسترجاع في 22-07-2008 .

للمزيد من القراءة

  • كوهين، إيرا م.؛ كوندو، بيجوش ك. (2008). ميكانيكا الموائع (الطبعة الرابعة  ). دار النشر الأكاديمية . ISBN 978-0-12-373735-9.
  • لاي، مايكل؛ كريمبل، إرهارد؛ روبن، ديفيد (2010). مقدمة في ميكانيكا الأوساط المتصلة (الطبعة الرابعة  ). إلسيفير. ISBN 978-0-7506-8560-3.