مؤثرات لابلاس في الهندسة التفاضلية

في الهندسة التفاضلية، يوجد عدد من المؤثرات التفاضلية الإهليلجية الخطية من الرتبة الثانية التي تحمل اسم لابلاس . تقدم هذه المقالة لمحة عامة عن بعضها.

لابلاس الاتصال ، المعروف أيضًا باسم لابلاس التقريبي ، هو مؤثر تفاضلي يعمل على حزم الموترات المختلفة لمتشعب، ويُعرَّف بدلالة مقياس ريماني أو شبه ريماني . عند تطبيقه على الدوال (أي الموترات من الرتبة 0)، يُطلق على لابلاس الاتصال غالبًا اسم مؤثر لابلاس-بيلترامي . ويُعرَّف بأنه أثر المشتقة التغايرية الثانية .

${\displaystyle \Delta T={\text{tr}}\;\nabla ^{2}T,}$

حيث T هو أي موتر،${\displaystyle \nabla }$يمثل هذا الاتصال ليفي-سيفيتا المرتبط بالمقياس، ويُحسب الأثر بالنسبة للمقياس. تذكر أن المشتقة التغايرية الثانية لـ T تُعرَّف على النحو التالي:

${\displaystyle \nabla _{X,Y}^{2}T=\nabla _{X}\nabla _{Y}T-\nabla _{\nabla _{X}Y}T.}$

لاحظ أنه وفقًا لهذا التعريف، فإن لابلاس الاتصال له طيف سالب . على الدوال، يتوافق مع المؤثر المعطى على أنه تباعد التدرج.

إذا كان الاتصال محل الاهتمام هو اتصال ليفي-سيفيتا، فيمكن إيجاد صيغة ملائمة لمؤثر لابلاس لدالة قياسية بدلالة المشتقات الجزئية بالنسبة لنظام إحداثيات:

${\displaystyle \Delta \phi =|g|^{-1/2}\partial _{\mu }\left(|g|^{1/2}g^{\mu \nu }\partial _{\nu }\phi \right)}$

أين${\displaystyle \phi }$هي دالة عددية،${\displaystyle |g|}$هي القيمة المطلقة لمحدد المقياس (القيمة المطلقة ضرورية في حالة شبه ريمان ، على سبيل المثال في النسبية العامة ) و${\displaystyle g^{\mu \nu }}$يشير إلى معكوس موتر القياس .

مؤثر هودج لابلاس ، المعروف أيضًا باسم مؤثر لابلاس-دي رام ، هو مؤثر تفاضلي يعمل على الأشكال التفاضلية . (بصورة مجردة، هو مؤثر من الرتبة الثانية على كل قوة خارجية لحزمة الظل المشترك ). يُعرَّف هذا المؤثر على أي مشعب مزود بمقياس ريماني أو شبه ريماني .

${\displaystyle \Delta =\mathrm {d} \delta +\delta \mathrm {d} =(\mathrm {d} +\delta )^{2},\;}$

أين${\displaystyle \mathrm {d} }$هو المشتق الخارجي أو التفاضلي و${\displaystyle \delta }$هو التفاضل المشترك . لابلاس هودج على مشعب مضغوط له طيف غير سالب .

يمكن أيضًا اعتبار لابلاس الاتصال فعالًا على الأشكال التفاضلية بتقييده ليعمل على الموترات المتناظرة عكسيًا. ويختلف لابلاس الاتصال عن لابلاس هودج من خلال متطابقة ويتزنبوك .

يُعرَّف لابلاس بوخنر بشكل مختلف عن لابلاس الاتصال، لكنهما سيختلفان فقط في الإشارة، كلما تم تعريف الأول. ليكن M مشعبًا متراصًا وموجهًا مزودًا بمقياس. ولتكن E حزمة متجهة فوق M مزودة بمقياس ليفي واتصال متوافق.${\displaystyle \nabla }$يؤدي هذا الاتصال إلى ظهور مؤثر تفاضلي

${\displaystyle \nabla$ :\Gamma (E)\rightarrow \Gamma (T^{*}M\otimes E)}

أين${\displaystyle \Gamma (E)}$يرمز إلى المقاطع الملساء لـ E ، و T ^* M هي حزمة الظل المشترك لـ M. من الممكن أخذ${\displaystyle L^{2}}$-مرافق لـ${\displaystyle \nabla }$، مما يعطي عامل تفاضلي

${\displaystyle \nabla ^{*}:\Gamma (T^{*}M\otimes E)\rightarrow \Gamma (E).}$

يُعطى لابلاس بوخنر بالصيغة التالية:

${\displaystyle \Delta =\nabla ^{*}\nabla }$

وهو مؤثر من الدرجة الثانية يعمل على مقاطع من حزمة المتجهات E. لاحظ أن لابلاس الاتصال ولابلاس بوخنر يختلفان فقط في الإشارة:

${\displaystyle \nabla ^{*}\nabla =-{\text{tr}}\,\nabla ^{2}}$

يُعرَّف لابلاس ليشنيروفيتش [1] على الموترات المتناظرة ^{عن طريق أخذ}${\displaystyle \nabla$ :\Gamma (\operatorname {Sym} ^{k}(TM))\to \Gamma (\operatorname {Sym} ^{k+1}(TM))} ليكون المشتق المتغاير المتناظر. ثم يُعرَّف لابلاس ليشنيروفيتش كما يلي:${\displaystyle \Delta _{L}=\nabla ^{*}\nabla }$، أين${\displaystyle \nabla ^{*}}$هو المرافق الرسمي. يختلف لابلاس ليشنيروفيتش عن لابلاس الموتري المعتاد بصيغة ويتزنبوك التي تتضمن موتر انحناء ريمان ، وله تطبيقات طبيعية في دراسة تدفق ريتشي ومسألة انحناء ريتشي المحددة .

على مشعب ريماني ذي بُعد n  =  2، يحقق مؤثر لابلاس-بيلترامي الذي يعمل على دالة ملساء φ قاعدة التحويل التالية

$${\displaystyle {\tilde {\Delta }}\varphi =e^{-2w}\Delta \varphi }$$

في ظل التغير المطابق للمترية${\displaystyle {\tilde {g}}=e^{2w}g}$ويتغير انحناء غاوس بمقدار

$${\displaystyle {\tilde {K}}=e^{-2w}(-\Delta w+K).}$$

على مشعب ريماني ذي بُعد n  ≥  3، يمكن تعريف لابلاس المطابق لتعميم هذه الخصائص. ^{[ 2 ]} يؤثر لابلاس المطابق، الذي يُرمز له بـ L ، على دالة ملساء φ كما يلي:

$${\displaystyle L\varphi =-4{\frac {n-1}{n-2}}\Delta \varphi +R\varphi ,}$$

حيث Δ هو مؤثر لابلاس-بيلترامي (ذو الطيف السالب)، و R هو الانحناء القياسي . وهو يحقق قاعدة التحويل

$${\displaystyle {\tilde {L}}(\varphi )=u^{-(n+2)/(n-2)}L(u\varphi ),}$$

في ظل التغير المطابق للمترية${\displaystyle {\tilde {g}}=u^{4/(n-2)}g}$.

يظهر هذا المؤثر غالبًا عند دراسة سلوك الانحناء القياسي تحت تأثير تغيير توافقي لمقياس ريماني. إذا كان n  ≥  3 و g مقياسًا و u دالة موجبة سلسة، فإن المقياس التوافقي

$${\displaystyle {\tilde {g}}=u^{4/(n-2)}g}$$

له انحناء قياسي معطى بواسطة

$${\displaystyle {\tilde {R}}=u^{-(n+2)/(n-2)}Lu.\,}$$

في الهندسة التفاضلية المعقدة ، يتم تعريف عامل لابلاس (المعروف أيضًا باسم لابلاس) من حيث الأشكال التفاضلية المعقدة.

${\displaystyle \partial f=\sum \left({\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}-i{\frac {\partial f}{\partial y_{k}}}\right)dz_{k}}$

يؤثر هذا المؤثر على الدوال ذات القيم المركبة لمتغير مركب. وهو في جوهره المرافق المركب للمشتقة الجزئية العادية بالنسبة لهذا المتغير. وهو مهم في التحليل المركب والهندسة التفاضلية المركبة لدراسة دوال المتغيرات المركبة.

يُبيّن الجدول أدناه ملخصًا لمختلف مؤثرات لابلاس، بما في ذلك حزمة المتجهات الأكثر عمومية التي تعمل عليها، والبنية المطلوبة للمتشعب وحزمة المتجهات. جميع هذه المؤثرات من الرتبة الثانية، خطية، وإهليلجية.

• هوية ويتزنبوك