دالة موجة لافلين

في فيزياء المادة المكثفة ، تُعد دالة موجة لافلين ^{[ 1 ] [ 2 ]} فرضيةً اقترحها روبرت لافلين للحالة الأرضية لغاز إلكتروني ثنائي الأبعاد موضوع في مجال مغناطيسي خلفي منتظم في وجود خلفية جيليوم منتظمة عندما يكون عامل ملء أدنى مستوى لاندو هو${\displaystyle \nu =1/n}$أين${\displaystyle n}$هو عدد صحيح فردي موجب. وقد تم وضعه لتفسير ملاحظة${\displaystyle \nu =1/3}$تأثير هول الكمي الكسري (FQHE)، وتنبأ بوجود تأثيرات إضافية${\displaystyle \nu =1/n}$الحالات بالإضافة إلى إثارات الجسيمات شبه الحقيقية ذات الشحنة الكهربائية الجزئية${\displaystyle e/n}$وقد تم رصد كليهما تجريبياً لاحقاً. وحصل لافلين على ثلث جائزة نوبل في الفيزياء عام 1998 لاكتشافه هذا.

إذا تجاهلنا قوى التنافر بين الإلكترونات، سواءً قوى التماسك أو قوى كولوم، كتقريب من الرتبة الصفرية، فسنحصل على مستوى لاندو الأدنى (LLL) ذي انحلال لانهائي، وبمعامل تعبئة يساوي 1/ n ، نتوقع أن تقع جميع الإلكترونات في مستوى لاندو الأدنى. وبتفعيل التفاعلات، يمكننا افتراض أن جميع الإلكترونات تقع في مستوى لاندو الأدنى.${\displaystyle \psi _{0}}$إذا كانت دالة الموجة للجسيم الواحد لحالة LLL ذات أدنى عزم زاوي مداري ، فإن فرضية لافلين لدالة الموجة متعددة الجسيمات هي

${\displaystyle \langle z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N}\mid n,N\rangle =\psi _{n,N}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})=D\left[\prod _{1\leqslant i<j\leqslant N}\left(z_{i}-z_{j}\right)^{n}\right]\prod _{k=1}^{N}\exp \left(-\mid z_{k}\mid ^{2}\right)}$

حيث يُشار إلى الموضع بواسطة

${\displaystyle z={1 \over 2{\mathit {l}}_{B}}\left(x+iy\right)}$

بوحدات غاوسية​

${\displaystyle {\mathit {l}}_{B}={\sqrt {\hbar c \over eB}}}$

و${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$هي إحداثيات في المستوى س-ص. هنا${\displaystyle \hbar }$هو ثابت بلانك المختزل ،${\displaystyle e}$هي شحنة الإلكترون ،${\displaystyle N}$يمثل العدد الإجمالي للجسيمات، و${\displaystyle B}$يمثل المجال المغناطيسي ، وهو عمودي على المستوى xy. تشير الرموز السفلية على z إلى الجسيم. لكي تصف الدالة الموجية الفرميونات ، يجب أن يكون n عددًا فرديًا. هذا يُجبر الدالة الموجية على أن تكون مضادة للتناظر عند تبادل الجسيمات. الزخم الزاوي لهذه الحالة هو${\displaystyle n\hbar }$.

يعتبر${\displaystyle n=3}$أعلاه: النتيجة${\displaystyle \Psi _{L}(z_{1},z_{2},z_{3},\ldots ,z_{N})\propto \Pi _{i<j}(z_{i}-z_{j})^{3}}$هي دالة موجية تجريبية؛ فهي ليست دقيقة، ولكنها من حيث النوع، تعيد إنتاج العديد من خصائص الحل الدقيق، ومن حيث الكم، تتداخل بشكل كبير مع الحالة الأرضية الدقيقة للأنظمة الصغيرة. بافتراض وجود تنافر كولوم بين أي إلكترونين، فإن تلك الحالة الأرضية${\displaystyle \Psi _{ED}}$يمكن تحديدها باستخدام عملية القطرية الدقيقة ^{[ 3 ]،} وقد حُسبت قيم التداخل لتكون قريبة من الواحد. علاوة على ذلك، مع التفاعل قصير المدى (جهود هالدين الزائفة لـ${\displaystyle m>3}$(عند ضبطها على الصفر)، تصبح دالة موجة لافلين دقيقة، ^{[ 4 ]} أي${\displaystyle \langle \Psi _{ED}|\Psi _{L}\rangle =1}$.

رغم أن دالة موجة لافلين طُرحت في البداية كفرضية ناجحة للغاية، إلا أن دورها المحوري في نظرية تأثير هول الكمي الكسري ترسخ بفضل إف. دنكان هالدين ، الذي أثبت أنها الحالة الأرضية الفريدة والدقيقة ذات الطاقة الصفرية لهاملتوني "أصلي" محدد. ^{[ 5 ]} يعتمد هذا النهج على الهندسة العكسية للهاملتوني انطلاقًا من الخصائص المعروفة لدالة الموجة، مما يوفر إطارًا نظريًا قويًا ومعيارًا للدراسات العددية.

يعتمد هذا البناء على خصائص الجسيمات المتفاعلة في أدنى مستوى لاندو . في مجال مغناطيسي قوي، تخمد الطاقة الحركية ، ويسيطر جهد التفاعل على الفيزياء. يمكن تحليل حالات جسيمين متفاعلين إلى حالات ذات زخم زاوي نسبي محدد ، l . يكمن جوهر الفكرة في بنية دالة موجة لافلين نفسها: بسبب عامل جاسترو${\displaystyle (z_{i}-z_{j})^{m}}$إن احتمال وجود إلكترونين بعزم زاوي نسبي l أقل من m يساوي صفرًا تمامًا. تُبنى الدالة الموجية بطريقة محددة للغاية للحفاظ على تباعد الجسيمات، وذلك بتشفير الارتباطات في قنوات العزم الزاوي النسبي.

كانت فكرة هالدين هي بناء هاميلتوني يُعاقب أي زوج من الجسيمات التي يقل زخمها الزاوي النسبي عن m . ويتحقق ذلك باستخدام كمونات هالدين الزائفة ، والتي يمكن اعتبارها إسقاطًا لكمون التفاعل على حالات ذات زخم زاوي نسبي محدد. ويتم بناء الهاميلتوني الأصلي كمجموع عوامل الإسقاط .

${\displaystyle H_{\text{parent}}=\sum _{i<j}\sum _{l=0}^{m-1}V_{l}P_{ij}(l)}$

أين:

• المجموع يشمل جميع أزواج الجسيمات (i,j) .
• ${\displaystyle P_{ij}(l)}$هو العامل الذي يقوم بإسقاط الزوج (i,j) على حالة ذات زخم زاوي نسبي l .
• ${\displaystyle V_{l}}$المعاملات موجبة (${\displaystyle V_{l}>0}$) يمثل تكلفة الطاقة اللازمة لإيجاد زوج في قناة الزخم الزاوي النسبي رقم l . بالنسبة للهاميلتوني الأصلي، فقط${\displaystyle V_{l}}$ل${\displaystyle l<m}$يجب أن تكون قيمتها غير صفرية.

هذا الهاميلتوني عبارة عن مجموع مؤثرات شبه موجبة، لذا فإن قيم طاقته الذاتية غير سالبة دائمًا. لا يمكن أن توجد حالة أرضية ذات طاقة صفرية إلا إذا تم إفناؤها بواسطة كل حد في المجموع. هذا يعني أن دالة الموجة للحالة الأرضية |Ψ ₀ ⟩ يجب أن تحقق ما يلي:

${\displaystyle P_{ij}(l)|\Psi _{0}\rangle =0\quad {\text{for all pairs }}(i,j){\text{ and all }}l<m}$

تُحقق حالة لافلين ν = 1/m ، بحكم بنيتها، هذا الشرط تمامًا. فهي لا تحتوي على أي مكونات يكون فيها الزخم الزاوي النسبي لأي زوج من الجسيمات أقل من m . لذلك، تُعد حالة لافلين حالة ذاتية دقيقة ذات طاقة صفرية لهذا الهاميلتوني الأصلي. علاوة على ذلك، بالنسبة لعدد مُحدد من الجسيمات، يُمكن إثبات أن حالة لافلين هي الحالة الوحيدة والأكثر كثافة (أي الحالة التي تحتوي على أكبر عدد من الجسيمات لكل وحدة تدفق مغناطيسي) التي تُحقق هذه المجموعة من الشروط. ^{[ 5 ]} وهذا ما يجعلها الحالة الأرضية الوحيدة لهذا الهاميلتوني المثالي.

يُعدّ هذا النموذج الرياضي بالغ القوة، إذ يُثبت وجود هاميلتوني محلي تكون فيه حالة لافلين هي الحالة الأرضية الدقيقة، مما يُعزز أهميته الفيزيائية. كما يُوفر أداةً حاسمةً لدراسات القطرية الدقيقة . يُمكن حساب الحالة الأرضية لتفاعل أكثر واقعية، مثل جهد كولوم، عدديًا، وحساب مدى تداخلها مع حالة لافلين المثالية. يُشير التداخل الكبير إلى أن حالة لافلين تُمثل تقريبًا ممتازًا للحالة الأرضية الحقيقية للنظام. ^{[ 6 ]}

دالة لافلين الموجية هي دالة موجية متعددة الجسيمات للجسيمات شبه الحقيقية . القيمة المتوقعة لطاقة التفاعل لزوج من الجسيمات شبه الحقيقية هي

${\displaystyle \langle V\rangle =\langle n,N\mid V\mid n,N\rangle ,\;\;\;N=2}$

حيث يكون الجهد المحجوب (انظر القوى الساكنة وتبادل الجسيمات الافتراضية §  جهد كولوم بين حلقتين تيار مضمنتين في مجال مغناطيسي )

${\displaystyle V\left(r_{12}\right)=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}\;M\left({\mathit {l}}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit {l}}^{\prime }+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;{\mathcal {J}}_{0}\left(k{r_{12} \over r_{B}}\right)}$

أين${\displaystyle M}$هي دالة هندسية فائقة متقاربة و${\displaystyle {\mathcal {J}}_{0}}$هي دالة بيسل من النوع الأول. هنا،${\displaystyle r_{12}}$هي المسافة بين مركزي حلقتين تياريتين،${\displaystyle e}$هي مقدار شحنة الإلكترون ،${\displaystyle r_{B}={\sqrt {2}}{\mathit {l}}_{B}}$هو النسخة الكمومية لنصف قطر لارمور ، و${\displaystyle L_{B}}$يمثل سمك غاز الإلكترونات في اتجاه المجال المغناطيسي. أما الزخم الزاوي لحلقتي التيار المنفصلتين فهو${\displaystyle {\mathit {l}}\hbar }$و${\displaystyle {\mathit {l}}^{\prime }\hbar }$أين${\displaystyle {\mathit {l}}+{\mathit {l}}^{\prime }=n}$يُعطى طول الحجب العكسي بالصيغة ( وحدات غاوسية ) .

${\displaystyle k_{B}^{2}={4\pi e^{2} \over \hbar \omega _{c}AL_{B}}}$

أين${\displaystyle \omega _{c}}$هو تردد السيكلوترون ، و${\displaystyle A}$هي مساحة غاز الإلكترونات في المستوى xy.

تُقيّم طاقة التفاعل على النحو التالي:

${\displaystyle E=\left({2e^{2} \over L_{B}}\right)\int _{0}^{\infty }{{k\;dk\;} \over k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}\;M\left({\mathit {l}}+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left({\mathit {l}}^{\prime }+1,1,-{k^{2} \over 4}\right)\;M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 2}\right)}$

وللحصول على هذه النتيجة، قمنا بتغيير متغيرات التكامل

${\displaystyle u_{12}={z_{1}-z_{2} \over {\sqrt {2}}}}$

و

${\displaystyle v_{12}={z_{1}+z_{2} \over {\sqrt {2}}}}$

وتمت الإشارة إلى ذلك (انظر التكاملات الشائعة في نظرية الحقل الكمومي )

${\displaystyle {1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{2n}\;n!}\int d^{2}z_{1}\;d^{2}z_{2}\;\mid z_{1}-z_{2}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid z_{1}\mid ^{2}+\mid z_{2}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({\sqrt {2}}\;{k\mid z_{1}-z_{2}\mid }\right)=}$

${\displaystyle {1 \over \left(2\pi \right)^{2}\;2^{n}\;n!}\int d^{2}u_{12}\;d^{2}v_{12}\;\mid u_{12}\mid ^{2n}\;\exp \left[-2\left(\mid u_{12}\mid ^{2}+\mid v_{12}\mid ^{2}\right)\right]\;{\mathcal {J}}_{0}\left({2}k\mid u_{12}\mid \right)=}$

${\displaystyle M\left(n+1,1,-{k^{2} \over 2}\right).}$

تكون طاقة التفاعل في أدنى مستوياتها عند (الشكل 1)

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={1 \over 3},{2 \over 5},{3 \over 7},{\mbox{etc.,}}}$

و

${\displaystyle {{\mathit {l}} \over n}={2 \over 3},{3 \over 5},{4 \over 7},{\mbox{etc.}}}$

بالنسبة لهذه القيم لنسبة الزخم الزاوي، تم رسم الطاقة في الشكل 2 كدالة لـ${\displaystyle n}$.

• مستوى لاندو
• تأثير هول الكمي الكسري
• جهد كولوم بين حلقتين تياريتين مغمورتين في مجال مغناطيسي