القوى الساكنة وتبادل الجسيمات الافتراضية

علاقة التشتت لموجات البلازما هي ^{[ 5 ] : 75-82}$${\displaystyle \omega ^{2}=\omega _{p}^{2}+\gamma \left(\omega \right){\frac {T_{\text{e}}}{m}}\mathbf {k} ^{2}.}$$ أين${\displaystyle \omega }$يمثل التردد الزاوي للموجة، $${\displaystyle \omega _{p}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}}$$تردد البلازما ،${\displaystyle e}$هي مقدار شحنة الإلكترون ،${\displaystyle m}$كتلة الإلكترون ،${\displaystyle T_{\text{e}}}$درجة حرارة الإلكترون ( ثابت بولتزمان يساوي واحدًا)، و${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$وهو عامل يتغير بتغير التردد من واحد إلى ثلاثة. عند الترددات العالية، التي تقارب تردد البلازما، يكون انضغاط سائل الإلكترون عملية كظيمة .${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$يساوي ثلاثة. عند الترددات المنخفضة، يكون الضغط عملية متساوية الحرارة و${\displaystyle \gamma \left(\omega \right)}$يساوي واحدًا. تم إهمال تأثيرات التأخير في الحصول على علاقة تشتت موجة البلازما.

بالنسبة للترددات المنخفضة، تصبح علاقة التشتت $${\displaystyle \mathbf {k} ^{2}+\mathbf {k} _{\text{D}}^{2}=0}$$ أين $${\displaystyle k_{\text{D}}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{T_{e}}}}$$ يمثل عدد ديباي، وهو مقلوب طول ديباي . وهذا يشير إلى أن المولد هو $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{\frac {1}{k^{2}+k_{\text{D}}^{2}}}.}$$

في الواقع، إذا لم يتم إهمال تأثيرات التباطؤ، فإن علاقة التشتت هي $${\displaystyle -k_{0}^{2}+k^{2}+k_{\text{D}}^{2}-{\frac {m}{T_{\text{e}}}}k_{0}^{2}=0,}$$ وهذا ما يُعطي بالفعل المُوَصِّل المُفترض. هذا المُوَصِّل هو نفسه مُوَصِّل كولوم ذو الكتلة التي تساوي مقلوب طول ديباي. وبالتالي، فإن طاقة التفاعل هي $${\displaystyle E={\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-k_{\text{D}}r\right).}$$ يتم حجب جهد كولوم على نطاقات طولية تساوي طول ديباي.

في غاز الإلكترونات الكمومي ، تُعرف موجات البلازما باسم البلازمونات . يتم استبدال حجب ديباي بحجب توماس-فيرمي للحصول على ^{[ 6 ]}$${\displaystyle E={\frac {a_{1}a_{2}}{4\pi r}}\exp \left(-k_{\text{s}}r\right)}$$ حيث يكون مقلوب طول حجب توماس-فيرمي $${\displaystyle k_{\text{s}}^{2}={\frac {6\pi ne^{2}}{\varepsilon _{\text{F}}}}}$$ و${\displaystyle \varepsilon _{\text{F}}}$هي طاقة فيرمي${\textstyle \varepsilon _{\text{F}}={\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({3\pi ^{2}n}\right)^{2/3}.}$

يمكن اشتقاق هذا التعبير من الجهد الكيميائي لغاز الإلكترونات ومن معادلة بواسون . الجهد الكيميائي لغاز الإلكترونات بالقرب من حالة الاتزان ثابت ويُعطى بالعلاقة التالية: $${\displaystyle \mu =-e\varphi +\varepsilon _{\text{F}}}$$ أين${\displaystyle \varphi }$يمثل الجهد الكهربائي . وبتقريب طاقة فيرمي إلى الرتبة الأولى في تقلب الكثافة، وبالجمع مع معادلة بواسون، نحصل على طول الحجب. حامل القوة هو النسخة الكمومية لموجة البلازما .

نعتبر خطًا من الشحنة محوره في الاتجاه z مغمورًا في غاز إلكتروني $${\displaystyle J_{1}\left(x\right)={\frac {a_{1}}{L_{B}}}{\frac {1}{2\pi r}}\delta ^{2}\left(r\right)}$$ أين${\displaystyle r}$هي المسافة في المستوى xy من خط الشحنة،${\displaystyle L_{B}}$يمثل عرض المادة في اتجاه المحور z. يشير الرقم 2 إلى أن دالة ديراك دلتا ثنائية الأبعاد. المُوَصِّل هو $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=0}\;=\;{\frac {1}{\mathbf {k} ^{2}+k_{Ds}^{2}}}}$$ أين${\displaystyle k_{Ds}}$إما أن يكون طول الحجب العكسي لديباي -هوكيل أو طول الحجب العكسي لتوماس-فيرمي .

طاقة التفاعل هي $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\,dk}{k^{2}+k_{Ds}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}(kr_{12})=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)K_{0}\left(k_{Ds}r_{12}\right)}$$ أين${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$و${\displaystyle K_{0}(x)}$هي دوال بيسل و${\displaystyle r_{12}}$هي المسافة بين الشحنتين الخطيتين. وللحصول على طاقة التفاعل، استخدمنا التكاملات (انظر التكاملات الشائعة في نظرية الحقل الكمومي §  تكامل المولد الأسطواني مع الكتلة ). $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}(p)}$$ و $${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {k\,dk}{k^{2}+m^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}(kr)=K_{0}(mr).}$$

ل${\displaystyle k_{Ds}r_{12}\ll 1}$لدينا $${\displaystyle K_{0}\left(k_{Ds}r_{12}\right)\to -\ln \left({\frac {k_{Ds}r_{12}}{2}}\right)+0.5772.}$$

نعتبر كثافة شحنة في أنبوب محوره موازٍ لمجال مغناطيسي مغمور في غاز إلكتروني $${\displaystyle J_{1}\left(x\right)={\frac {a_{1}}{L_{b}}}{\frac {1}{2\pi r}}\delta ^{2}{\left(r-r_{B1}\right)}}$$ أين${\displaystyle r}$هي المسافة من مركز التوجيه ،${\displaystyle L_{B}}$يمثل عرض المادة في اتجاه المجال المغناطيسي $${\displaystyle r_{B1}={\frac {{\sqrt {4\pi }}m_{1}v_{1}}{a_{1}B}}={\sqrt {\frac {2\hbar }{m_{1}\omega _{c}}}}}$$ حيث يكون تردد السيكلوترون ( وحدات غاوسية ) $${\displaystyle \omega _{c}={\frac {a_{1}B}{{\sqrt {4\pi }}m_{1}c}}}$$ و $${\displaystyle v_{1}={\sqrt {\frac {2\hbar \omega _{c}}{m_{1}}}}}$$ تمثل سرعة الجسيم حول المجال المغناطيسي، وB شدة المجال المغناطيسي. وتُستنتج صيغة السرعة من مساواة الطاقة الحركية الكلاسيكية بالمسافة بين مستويات لاندو في المعالجة الكمومية لجسيم مشحون في مجال مغناطيسي.

في هذا الشكل الهندسي، يمكن كتابة طاقة التفاعل على النحو التالي $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{k\;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$$ أين${\displaystyle r_{12}}$هي المسافة بين مركزي حلقات التيار و${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$هي دالة بيسل من النوع الأول. في حساب طاقة التفاعل، استخدمنا التكامل $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos(\varphi )\right)={\mathcal {J}}_{0}(p).}$$

يُعطى الجهد الكيميائي بالقرب من حالة الاتزان بالعلاقة التالية:$${\displaystyle \mu =-e\varphi +N\hbar \omega _{c}=N_{0}\hbar \omega _{c}}$$ أين${\displaystyle -e\varphi }$هي طاقة الوضع للإلكترون في جهد كهربائي و${\displaystyle N_{0}}$و${\displaystyle N}$يمثل عدد الجسيمات في غاز الإلكترون في غياب الجهد الكهروستاتيكي وفي وجوده، على التوالي.

ثم يكون تذبذب الكثافة $${\displaystyle \delta n={\frac {e\varphi }{\hbar \omega _{c}A_{\text{M}}L_{B}}}}$$ أين${\displaystyle A_{\text{M}}}$هي مساحة المادة في المستوى العمودي على المجال المغناطيسي.

ينتج عن معادلة بواسون$${\displaystyle \left(k^{2}+k_{B}^{2}\right)\varphi =0}$$ أين $${\displaystyle k_{B}^{2}={\frac {4\pi e^{2}}{\hbar \omega _{c}A_{\text{M}}L_{B}}}.}$$

ثم يصبح المُوَجِّه $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}={\frac {1}{k^{2}+k_{B}^{2}}}}$$ وتصبح طاقة التفاعل $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B1}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{B2}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)=\left({\frac {2e^{2}}{L_{B}}}\right)\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk\;}{k^{2}+k_{B}^{2}r_{B}^{2}}}{\mathcal {J}}_{0}^{2}\left(k\right){\mathcal {J}}_{0}\left(k{\frac {r_{12}}{r_{B}}}\right)}$$ حيث في المساواة الثانية ( وحدات غاوس ) نفترض أن الدوامات لها نفس الطاقة وشحنة الإلكترون.

على غرار البلازمونات ، فإن حامل القوة هو النسخة الكمومية من التذبذب الهجين العلوي وهو عبارة عن موجة بلازما طولية تنتشر بشكل عمودي على المجال المغناطيسي.

لنفترض وجود أنبوب تيار يدور في مجال مغناطيسي مغمور في بلازما بسيطة أو غاز إلكتروني. يُعرَّف التيار، الذي يقع في المستوى العمودي على المجال المغناطيسي، على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {J} _{1}(\mathbf {x} )=a_{1}v_{1}{\frac {1}{2\pi rL_{B}}}\;\delta ^{2}{\left(r-r_{B1}\right)}\left({\hat {\mathbf {b} }}\times {\hat {\mathbf {r} }}\right)}$$ أين $${\displaystyle r_{B1}={\frac {{\sqrt {4\pi }}m_{1}v_{1}}{a_{1}B}}}$$ و${\displaystyle {\hat {\mathbf {b} }}}$يمثل متجه الوحدة في اتجاه المجال المغناطيسي. هنا${\displaystyle L_{B}}$يشير إلى بُعد المادة في اتجاه المجال المغناطيسي. التيار المستعرض، العمودي على متجه الموجة ، هو الذي يُحرك الموجة المستعرضة .

طاقة التفاعل هي $${\displaystyle E=\left({\frac {a_{1}\,a_{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v_{1}\,v_{2}\,\int _{0}^{\infty }{k\;dk\;}D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}{\mathcal {J}}_{1}{\left(kr_{B1}\right)}{\mathcal {J}}_{1}{\left(kr_{B2}\right)}{\mathcal {J}}_{0}{\left(kr_{12}\right)}}$$ أين${\displaystyle r_{12}}$هي المسافة بين مركزي حلقات التيار و${\displaystyle {\mathcal {J}}_{n}(x)}$هي دالة بيسل من النوع الأول. في حساب طاقة التفاعل، استخدمنا التكاملات $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)={\mathcal {J}}_{0}\left(p\right)}$$ و $${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }{\frac {d\varphi }{2\pi }}\cos \left(\varphi \right)\exp \left(ip\cos \left(\varphi \right)\right)=i{\mathcal {J}}_{1}\left(p\right).}$$

انظر التكاملات الشائعة في نظرية المجال الكمومي §  التكامل الزاوي في الإحداثيات الأسطوانية .

يُولد تيارٌ في بلازما محصور في مستوى عمودي على المجال المغناطيسي موجةً غير عادية . ^{[ 5 ] : 110-112.} تُولد هذه الموجة تيارات هول التي تتفاعل مع المجال الكهرومغناطيسي وتُعدِّله. علاقة التشتت للموجات غير العادية هي ^{[ 5 ] : 112.}$${\displaystyle -k_{0}^{2}+k^{2}+\omega _{p}^{2}{\frac {k_{0}^{2}-\omega _{p}^{2}}{k_{0}^{2}-\omega _{H}^{2}}}=0,}$$ مما يعطي للمُوَجِّه $${\displaystyle D\left(k\right)\mid _{k_{0}=k_{B}=0}\;=\;-\left({\frac {1}{k^{2}+k_{X}^{2}}}\right)}$$ أين $${\displaystyle k_{X}\equiv {\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{H}}}}$$ قياسًا على مُوَصِّل داروين. هنا، يُعطى تردد الهجين العلوي بواسطة $${\displaystyle \omega _{H}^{2}=\omega _{p}^{2}+\omega _{c}^{2},}$$يُعطى تردد السيكلوترون بالصيغة ( وحدات غاوسية ). $${\displaystyle \omega _{c}={\frac {eB}{mc}},}$$وتردد البلازما ( وحدات غاوسية ) $${\displaystyle \omega _{p}^{2}={\frac {4\pi ne^{2}}{m}}.}$$

هنا n هي كثافة الإلكترون، و e هي مقدار شحنة الإلكترون، و m هي كتلة الإلكترون.

تصبح طاقة التفاعل، بالنسبة للتيارات المتشابهة، $${\displaystyle E=-\left({\frac {a^{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v^{2}\,\int _{0}^{\infty }{\frac {k\;dk}{k^{2}+k_{X}^{2}}}{\mathcal {J}}_{1}^{2}\left(kr_{B}\right){\mathcal {J}}_{0}\left(kr_{12}\right)}$$

في حالة كون المسافة بين حلقات التيار صغيرة، $${\displaystyle E=-E_{0}\;I_{1}{\left(\mu \right)}K_{1}{\left(\mu \right)}}$$ أين $${\displaystyle E_{0}=\left({\frac {a^{2}}{2\pi L_{B}}}\right)v^{2}}$$ و $${\displaystyle \mu ={\frac {\omega _{p}^{2}r_{B}}{\omega _{H}}}=k_{X}\;r_{B}}$$ و I و K هما دالتان معدلتان من دوال بيسل. لقد افترضنا أن التيارين لهما نفس الشحنة والسرعة.

لقد استخدمنا التكامل (انظر التكاملات الشائعة في نظرية المجال الكمومي §  تكامل المولد الأسطواني مع الكتلة ) $${\displaystyle \int _{o}^{\infty }{\frac {k\;dk}{k^{2}+m^{2}}}{\mathcal {J}}_{1}^{2}\left(kr\right)=I_{1}\left(mr\right)K_{1}\left(mr\right).}$$

بالنسبة لقيم mr الصغيرة ، يصبح التكامل $${\displaystyle I_{1}{\left(mr\right)}K_{1}{\left(mr\right)}\to {\frac {1}{2}}\left[1-{\frac {1}{8}}\left(mr\right)^{2}\right].}$$

بالنسبة لقيم mr الكبيرة ، يصبح التكامل $${\displaystyle I_{1}\left(mr\right)K_{1}\left(mr\right)\rightarrow {\frac {1}{2}}\;\left({\frac {1}{mr}}\right).}$$

يمكن كتابة رقم الموجة للفحص ( وحدات غاوسية ) $${\displaystyle \mu ={\frac {\omega _{p}^{2}r_{B}}{\omega _{H}c}}=\left({\frac {2e^{2}r_{B}}{L_{B}\hbar c}}\right){\frac {\nu }{\sqrt {1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}}}}=2\alpha \left({\frac {r_{B}}{L_{B}}}\right)\left({\frac {1}{\sqrt {1+{\frac {\omega _{p}^{2}}{\omega _{c}^{2}}}}}}\right)\nu }$$ أين${\displaystyle \alpha }$هو ثابت البنية الدقيقة وعامل التعبئة هو $${\displaystyle \nu ={\frac {2\pi N\hbar c}{eBA}}}$$ و N هو عدد الإلكترونات في المادة، و A هي مساحة المادة العمودية على المجال المغناطيسي. هذا المعامل مهم في تأثير هول الكمي وتأثير هول الكمي الكسري . عامل الملء هو نسبة حالات لاندو المشغولة عند طاقة الحالة الأرضية.

بالنسبة للحالات ذات الأهمية في تأثير هول الكمي،${\displaystyle \mu }$صغيرة. في هذه الحالة، تكون طاقة التفاعل $${\displaystyle E=-{\frac {E_{0}}{2}}\left[1-{\frac {1}{8}}\mu ^{2}\right]}$$ حيث ( وحدات غاوسية ) $${\displaystyle E_{0}={4\pi }{\frac {e^{2}}{L_{B}}}{\frac {v^{2}}{c^{2}}}={8\pi }{\frac {e^{2}}{L_{B}}}\left({\frac {\hbar \omega _{c}}{mc^{2}}}\right)}$$ تمثل طاقة التفاعل عند عامل ملء صفري. لقد قمنا بمساواة الطاقة الحركية الكلاسيكية بالطاقة الكمومية. $${\displaystyle {\frac {1}{2}}mv^{2}=\hbar \omega _{c}.}$$