جهد ليينارد-ويشيرت

لنفترض وجود شحنة نقطية${\displaystyle q}$يُظهر حركة محددة على طول المسار${\displaystyle \mathbf {r} _{0}(t)}$بالسرعة${\displaystyle \mathbf {v} (t)=d\mathbf {r} _{0}/dt}$. يترك${\displaystyle \mathbf {r} }$كن نقطة المراقبة${\displaystyle P}$في ذلك الوقت${\displaystyle t}$متجه نصف القطر من الشحنة${\displaystyle q}$ل${\displaystyle P}$يُعرَّف بأنه${\displaystyle \mathbf {R} (t)=\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}(t)}$والمسافة كـ${\displaystyle R=|\mathbf {R} |}$الوقت المتأخر${\displaystyle t_{r}}$يتم تحديد قيمة ، في سياق توزيعات الشحنات والتيارات، عن طريق حل المعادلة

${\displaystyle t=t_{r}+{\frac {R(t_{r})}{c}}.}$

لكل قيمة من${\displaystyle t}$يضمن أن يكون لهذه المعادلة جذر واحد فقط لـ${\displaystyle t_{r}}$بشرط${\displaystyle v=|\mathbf {v} |<c}$بحل المعادلة الضمنية أعلاه، نحصل على الزمن المتأخر${\displaystyle t_{r}}$كدالة لـ${\displaystyle t}$و${\displaystyle \mathbf {r} }$(وتفاصيل مسار الجسيمات)

${\displaystyle t_{r}=t_{r}(\mathbf {r} ,t)}$.

إمكانات لينارد-ويشرت${\displaystyle \varphi }$(مجال الجهد القياسي) و${\displaystyle \mathbf {A} }$(مجال الجهد المتجهي) هو، بالنسبة لشحنة نقطية مصدرية${\displaystyle q}$في هذا المنصب${\displaystyle \mathbf {r} _{s}}$السفر بسرعة${\displaystyle \mathbf {v} _{s}}$: ^{[ 4 ]}

${\displaystyle \varphi (\mathbf {r} ,t)=\left\{{\frac {q}{\left(R-{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} \right)}}\right\}_{t_{r}}}$

و

${\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=\left\{{\frac {q\mathbf {v} }{c\left(R-{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} \right)}}\right\}_{t_{r}}}$

حيث الرمز السفلي${\displaystyle t_{r}}$يشير إلى الكميات التي تم تقييمها في وقت${\displaystyle t_{r}}$، أي،${\displaystyle R-{\frac {1}{c}}\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} =R(t_{r})-{\frac {1}{c}}\mathbf {v} (t_{r})\cdot \mathbf {R} (t_{r})}$ويمكن أيضًا كتابة هذه الكمونات بطريقة متغيرة ، حيث يكون الكمون الكهرومغناطيسي الرباعي${\displaystyle A^{\mu }}$في${\displaystyle x^{\mu }=(ct,\mathbf {r} )}$هو: ^{[ 5 ]}

${\displaystyle A^{\mu }=\left.{\frac {qu^{\mu }}{R_{\nu }u^{\nu }}}\right|_{t_{r}}}$

أين${\displaystyle u^{\mu }=(\gamma ,\gamma \mathbf {v} /c)}$هي السرعة الرباعية للجسيم بمعامل لورنتز${\displaystyle \gamma =1/(1-v^{2}/c^{2})^{1/2}}$و${\displaystyle R^{\nu }=[c(tt'),\mathbf {r} -\mathbf {r} ']}$الذي يطيع${\displaystyle R_{\nu}R^{\nu }=0}$(المعادلة التي تحققها الفترة الزمنية المتأخرة).

يمكننا حساب المجالات الكهربائية والمغناطيسية مباشرة من الكمونات باستخدام التعريفات التالية:

$${\displaystyle \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\dfrac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}-\nabla \varphi }$$و$${\displaystyle \mathbf {H} =\nabla \times \mathbf {A} }$$

الحساب ليس بالأمر البسيط ويتطلب عدة خطوات. المجالين الكهربائي والمغناطيسي هما (بصيغة غير متغيرة): ^{[ 4 ]}

$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\left\{{\frac {q\left(\mathbf {R} -{\frac {1}{c}}R\mathbf {v} \right)}{\gamma ^{2}\left(R-{\frac {1}{c}}\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} \right)^{3}}}+{\frac {q\mathbf {R} \times \left[\left(\mathbf {R} -{\frac {1}{c}}R\mathbf {v} \right)\times {\dot {\mathbf {v} }}\right]}{c^{2}\left(R-{\frac {1}{c}}\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} \right)^{3}}}\right\}_{t_{r}}}$$

و

$${\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)=\left\{{\frac {\mathbf {R} }{R}}\right\}_{t_{r}}\times \mathbf {E} }$$

أين${\textstyle {\dot {\mathbf {v} }}=\partial \mathbf {v} /\partial t}$هو تسارع الشحنة${\displaystyle q}$يكون المجال المغناطيسي متعامدًا في كل مكان مع المجال الكهربائي.

يعتمد الحد الأول، الذي يعتمد على سرعة الشحنة وليس تسارعها، على المساهمة الشبيهة بتأثير كولوم . بعبارة أخرى، يُمثل هذا الحد كمونات شحنة تتحرك بانتظام. عند المسافات الكبيرة، تتناقص هذه المساهمة في المجال بشكل ملحوظ.${\displaystyle 1/R^{2}}$.

أما الحد الثاني، والذي يعتمد على التسارع، فيرتبط بالإشعاع الكهرومغناطيسي الناتج عن الشحنة المتسارعة، ويتناقص تأثيره على المجال مع مرور الوقت.${\displaystyle 1/R}$عند المسافات الكبيرة، وبالتالي يهيمن على المساهمة الشبيهة بتأثير كولوم. إذا كان تسارع الجسيم${\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}}$وإذا كانت هذه القيمة صفرًا، فإن الشحنة لا تشع (لا تصدر إشعاعًا كهرومغناطيسيًا). ويتطلب هذا المصطلح أيضًا أن يكون أحد مركبات تسارع الشحنة في اتجاه متعامد مع الخط الواصل بين الشحنة${\displaystyle q}$ومراقب الميدان${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$. اتجاه المجال المرتبط بهذا المصطلح الإشعاعي يكون باتجاه الموضع المتأخر زمنيًا بالكامل للشحنة (أي المكان الذي كانت فيه الشحنة عندما تم تسريعها).

المجال الساكن

ال${\displaystyle \mathbf {R} -{\frac {1}{c}}R\mathbf {v} }$يقوم جزء من الحد الأول للمجال الكهربائي بتحديث اتجاه المجال نحو الموضع اللحظي للشحنة، إذا استمرت في التحرك بسرعة ثابتة.${\displaystyle \mathbf {v} }$يرتبط هذا المصطلح بالجزء "الساكن" من المجال الكهرومغناطيسي للشحنة. في الرسم التوضيحي، نلاحظ حدثًا وقع في مركز الكرة وانتشر بسرعة الضوء. تكمن المشكلة في أنه عندما تقترب سرعة الجسيم من سرعة الضوء، يكون الجسيم حينها على جبهة الموجة تقريبًا، مما يفسر هذا المجال الكهروستاتيكي القوي على الجبهة، حيث نكون حينها قريبين جدًا من الجسيم. تجدر الإشارة إلى أنه خارج كرة الانتشار، يكون للمجال الكهربائي حالته الابتدائية (لا علاقة لها بالحدث الذي نلاحظه). عندما تقترب السرعة من سرعة الضوء، نعتبر أن المجال الكهربائي يصبح شبه مسطح في المستوى العرضي، أشبه بـ"الفطيرة"، بزاوية فتح على${\displaystyle 1/\gamma }$.

لحساب مشتقات${\displaystyle \varphi }$و${\displaystyle \mathbf {A} }$من الملائم أولاً حساب مشتقات الزمن المتأخر. وذلك بأخذ مشتقات طرفي المعادلة التي تحدده (مع الأخذ في الاعتبار أن${\displaystyle \mathbf {r_{s}} =\mathbf {r_{s}} (t_{r})}$): $${\displaystyle t_{r}+{\frac {1}{c}}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |=t}$$ بالتفاضل بالنسبة إلى t، $${\displaystyle {\frac {dt_{r}}{dt}}+{\frac {1}{c}}{\frac {dt_{r}}{dt}}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}=1}$$

$${\displaystyle {\frac {dt_{r}}{dt}}\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} }{Rc}}\right)=1}$$

$${\displaystyle {\frac {dt_{r}}{dt}}={\frac {1}{\left(1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {R} }{Rc}}\right)}}}$$

وبالمثل، يتم حساب التدرج بالنسبة إلى${\displaystyle \mathbf {r} }$وباستخدام قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات نحصل على

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}+{\frac {1}{c}}{\boldsymbol {\nabla }}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |=0}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}+{\frac {1}{c}}\left({\boldsymbol {\nabla }}t_{r}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}+{\frac {\mathbf {R} }{R}}\right)=0}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}t_{r}=-{\frac {\mathbf {R} }{c\left(R-{\frac {1}{c}}\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} \right)}}}$$

ويترتب على ذلك أن

$${\displaystyle {\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt}}={\frac {dt_{r}}{dt}}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}={\frac {-\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} }{\left(R-{\frac {1}{c}}\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} \right)}}}$$

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |={\boldsymbol {\nabla }}t_{r}{\frac {d|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |}{dt_{r}}}+{\frac {\mathbf {R} }{R}}={\frac {\mathbf {R} }{\left(R-{\frac {1}{c}}\mathbf {R} \cdot \mathbf {v} \right)}}.}$$

يمكن استخدام هذه في حساب مشتقات الجهد الشعاعي، والتعبيرات الناتجة هي

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d\varphi }{dt}}=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left[(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})\right]\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left[|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right]\\=&-{\frac {qc}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}+{\beta _{s}}^{2}-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}}$$

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]{\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\cdot \\&\left[(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}+\left((\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})+{\big (}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)\right]\\=&{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[\beta _{s}^{2}-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}}$$

هذا يدل على أن مقياس لورنز مُحقق، أي أن${\textstyle {\frac {d\varphi }{dt}}+c^{2}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} =0}$.

وبالمثل، يتم حساب ما يلي:

$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\varphi =-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[\mathbf {n} _{s}\left(1-{\beta _{s}}^{2}+(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)-{\boldsymbol {\beta }}_{s}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})\right]}$$

$${\displaystyle {\frac {d\mathbf {A} }{dt}}={\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\left[{\boldsymbol {\beta }}_{s}\left(\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}-{\beta _{s}}^{2}+(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)+|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |{\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})/c\right]}$$

بملاحظة أنه بالنسبة لأي متجهات${\displaystyle \mathbf {u} }$،${\displaystyle \mathbf {v} }$،${\displaystyle \mathbf {w} }$: $${\displaystyle \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} )\mathbf {v} -(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {w} }$$ يصبح التعبير عن المجال الكهربائي المذكور أعلاه $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=&{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}}}\cdot \\&\left[\left(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)(1-{\beta _{s}}^{2})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)(\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s})-|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|{\big (}\mathbf {n} _{s}\cdot (\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}){\big )}{\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\end{aligned}}}$$ وهو ما يمكن ملاحظته بسهولة على أنه يساوي${\displaystyle -{\boldsymbol {\nabla }}\varphi -{\frac {d\mathbf {A} }{dt}}}$

بصورة مماثلة${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} }$يعطي تعبير المجال المغناطيسي المذكور أعلاه: $${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {B} }=&{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} \\[1ex]=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{2}}}{\big (}{\boldsymbol {\nabla }}\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}-\left[\left(|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)\right]{\boldsymbol {\nabla }}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |^{2}\left(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)^{3}}}\cdot \\&\qquad \left[(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})-({\boldsymbol {\beta }}_{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})-{\beta }_{s}^{2}\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}+\left((\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right)(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})+{\big (}|\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} |-(\mathbf {r} -\mathbf {r_{s}} )\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s}{\big )}(\mathbf {n} _{s}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)\right]\\=&-{\frac {q}{4\pi \epsilon _{0}c}}{\frac {1}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|^{2}(1-\mathbf {n} _{s}\cdot {\boldsymbol {\beta }}_{s})^{3}}}\cdot \\&\qquad \left[\left(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s}\right)(1-{\beta _{s}}^{2})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|(\mathbf {n} _{s}\cdot {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c)(\mathbf {n} _{s}\times {\boldsymbol {\beta }}_{s})+|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{s}|{\big (}\mathbf {n} _{s}\cdot (\mathbf {n} _{s}-{\boldsymbol {\beta }}_{s}){\big )}\mathbf {n} _{s}\times {\dot {\boldsymbol {\beta }}}_{s}/c\right]\\[1ex]=&{\frac {\mathbf {n} _{s}}{c}}\times \mathbf {E} \end{aligned}}}$$ مصطلحات المصدر${\displaystyle \mathbf {r} _{s}}$،${\displaystyle \mathbf {n} _{s}}$، و${\displaystyle \mathbf {\beta } _{s}}$يتم تقييمها في الوقت المتأخر.