عامل لورنتز

📅 آخر تحديث: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣١ يوليو ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 29 صور
الموسوعة الحرة
تعريف عامل لورنتز γ

عامل لورنتز أو حد لورنتز (المعروف أيضًا باسم عامل غاما [ 1 ] ) هو كمية لا بُعدية تُعبّر عن مقدار تغير قياسات الزمن والطول والخصائص الفيزيائية الأخرى لجسم ما أثناء حركته. يظهر هذا التعبير في العديد من معادلات النسبية الخاصة ، وينشأ في اشتقاقات تحويلات لورنتز . يعود أصل التسمية إلى ظهوره السابق في الديناميكا الكهربائية اللورنتزية ، نسبةً إلى الفيزيائي الهولندي هندريك لورنتز . [ 2 ]

يُرمز إليه عمومًا بالحرف γ (الحرف اليوناني الصغير غاما ). أحيانًا (خاصة عند مناقشة الحركة فائقة السرعة ) يُكتب العامل بالحرف Γ (الحرف اليوناني الكبير غاما) بدلًا من γ .

تعريف

يُعرَّف عامل لورنتز γ على النحو التالي [ 3 ]γ=11-v2ج2=11-β2=دتدτ،{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\frac {dt}{d\tau }},} أين:

هذا هو الشكل الأكثر استخدامًا في الممارسة العملية، على الرغم من أنه ليس الشكل الوحيد (انظر أدناه للأشكال البديلة).

تم تصوير عامل لورنتز على شكل مثلث قائم الزاوية في ربع دائرة نصف قطرها 1. [ 4 ]

ولإكمال التعريف، يقوم بعض المؤلفين بتعريف المقلوب [ 5 ]α=1γ=1-v2ج2 =1-β2؛{\displaystyle \alpha ={\frac {1}{\gamma }}={\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\ ={\sqrt {1-{\beta }^{2}}};} انظر صيغة جمع السرعات .

حدوث

فيما يلي قائمة بالصيغ من النسبية الخاصة التي تستخدم γ كاختصار: [ 3 ] [ 6 ]

  • تحويل لورنتز : أبسط حالة هي زيادة في اتجاه x (أشكال أكثر عمومية تشمل اتجاهات ودورانات عشوائية غير مدرجة هنا)، والتي تصف كيفية تغير إحداثيات الزمكان من إطار مرجعي قصوري واحد باستخدام الإحداثيات ( x ، y ، z ، t ) إلى آخر ( x ′ ، y ′ ، z ′ ، t ′ ) بسرعة نسبية v :ت′=γ(ت-vxج2)،x′=γ(x-vت).{\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\tfrac {vx}{c^{2}}}\right),\\[1ex]x'&=\gamma \left(x-vt\right).\end{aligned}}}

النتائج المترتبة على التحويلات المذكورة أعلاه هي:

  • تمدد الزمن : يكون الوقت ( ∆t ′ ) بين دقتين كما تم قياسه في الإطار الذي تتحرك فيه الساعة، أطول من الوقت ( ∆t ) بين هاتين الدقاتين كما تم قياسه في إطار سكون الساعة:Δت′=γΔت.{\displaystyle \Delta t'=\gamma \Delta t.}
  • انكماش الطول : يكون طول ( ∆x ′ ) الجسم كما تم قياسه في الإطار الذي يتحرك فيه أقصر من طوله ( ∆x ) في إطار سكونه الخاص:Δx′=Δx/γ.{\displaystyle \Delta x'=\Delta x/\gamma .}

يؤدي تطبيق قانوني حفظ الزخم والطاقة إلى هذه النتائج:

  • الكتلة النسبية : تعتمد الكتلة النسبية m لجسم متحرك علىγ{\displaystyle \gamma }والكتلة السكونية m 0 :م=γم0.{\displaystyle m=\gamma m_{0}.}
  • الزخم النسبي : تأخذ علاقة الزخم النسبينفس شكل علاقة الزخم الكلاسيكي، ولكن باستخدام الكتلة النسبية المذكورة أعلاه:ص→=مv→=γم0v→.{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m_{0}{\vec {v}}.}
  • الطاقة الحركية النسبية : تأخذ علاقة الطاقة الحركية النسبيةالشكل المعدل قليلاً:هـك=هـ-هـ0=(γ-1)م0ج2{\displaystyle E_{k}=E-E_{0}=(\gamma -1)m_{0}c^{2}}مثلγ{\displaystyle \gamma }هي وظيفة منvج{\displaystyle {\tfrac {v}{c}}}، الحد غير النسبي يعطيليمv/ج→0هـك=12م0v2{\textstyle \lim _{v/c\to 0}E_{k}={\tfrac {1}{2}}m_{0}v^{2}}، كما هو متوقع من اعتبارات نيوتن.

القيم العددية

عامل لورنتز γ كدالة للسرعة، معبراً عنه كنسبة من سرعة الضوء (v/c). قيمته الأولية هي 1 (عندما v = 0 )؛ وعندما تقترب السرعة من سرعة الضوء ( v → c ) يزداد γ بلا حدود ( γ → ∞).
α (مقلوب عامل لورنتز) كدالة للسرعة - قوس دائري

في الجدول أدناه، يُظهر العمود الأيسر السرعات ككسور مختلفة من سرعة الضوء (أي بوحدات c ). ويُظهر العمود الأوسط معامل لورنتز المقابل، أما العمود الأخير فهو مقلوبه. القيم المكتوبة بخط غامق هي القيم الدقيقة.

السرعة (بوحدات c )، β = v / cعامل لورنتز، γمقلوب، 1/ γ
011
0.0501.0010.999
0.1001.0050.995
0.1501.0110.989
0.2001.0210.980
0.2501.0330.968
0.3001.0480.954
0.4001.0910.917
0.5001.1550.866
0.6001.250.8
0.7001.4000.714
0.7501.5120.661
0.8001.6670.6
0.86620.5
0.9002.2940.436
0.98050.2
0.9907.0890.141
0.995100.1
0.99922.3660.045
0.99995100.000.010
رسم بياني لوغاريتمي لعامل لورنتز γ (يسار) و 1/ γ (يمين) مقابل جزء من سرعة الضوء β (أسفل) و 1− β (أعلى)

تمثيلات بديلة

توجد طرق أخرى لكتابة العامل. في المثال أعلاه، تم استخدام السرعة v ، ولكن قد تكون المتغيرات ذات الصلة مثل الزخم والسرعة النسبية مناسبة أيضاً.

دَفعَة

يؤدي حل معادلة الزخم النسبي السابقة لـ γ إلىγ=1+(صم0ج)2.{\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m_{0}c}}\right)^{2}}}\,.} نادراً ما يُستخدم هذا الشكل، على الرغم من أنه يظهر في توزيع ماكسويل-جوتنر . [ 7 ]

سرعة

بتطبيق تعريف السرعة على أنها الزاوية الزائديةφ{\displaystyle \varphi }[ 8 ]​tanh⁡φ=β{\displaystyle \tanh \varphi =\beta } ويؤدي أيضًا إلى γ (باستخدام المتطابقات الزائدية ): γ=ضرب بالعصا⁡φ=11-tanh2⁡φ=11-β2.{\displaystyle \gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}

باستخدام خاصية تحويل لورنتز ، يمكن إثبات أن السرعة النسبية خاصية جمعية، وهي خاصية مفيدة لا تمتلكها السرعة المتجهة. وبالتالي، يشكل معامل السرعة النسبية مجموعة ذات معامل واحد ، وهو أساس للنماذج الفيزيائية.

دالة بيسل

تمثل هوية باني عامل لورنتز من حيث سلسلة لانهائية من دوال بيسل : [ 9 ]∑م=1∞(جم-12(مβ)+جم+12(مβ))=11-β2.{\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(J_{m-1}^{2}(m\beta )+J_{m+1}^{2}(m\beta )\right)={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}.}

توسيع المتسلسلة (السرعة)

يحتوي عامل لورنتز على متسلسلة ماكلورين التالية : γ=11-β2=∑ن=0∞β2ن∏ك=1ن(2ك-12ك)=1+12β2+38β4+516β6+35128β8+63256β10+⋯،{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\[1ex]&=\sum _{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod _{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\[1ex]&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+{\tfrac {63}{256}}\beta ^{10}+\cdots ,\end{aligned}}} وهي حالة خاصة من سلسلة ذات الحدين .

التقريبγ≈1+12β2{\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}يمكن استخدامها لحساب التأثيرات النسبية عند السرعات المنخفضة. وهي صالحة في حدود خطأ 1% للسرعات الأقل من 0.4 c ( السرعات الأقل من 120,000 كم/ث)، وفي حدود خطأ 0.1% للسرعات الأقل من 0.22 c ( السرعات الأقل من 66,000 كم/ث).        

تُمكّن النسخ المختصرة من هذه السلسلة الفيزيائيين من إثبات أن النسبية الخاصة تُختزل إلى ميكانيكا نيوتن عند السرعات المنخفضة. على سبيل المثال، في النسبية الخاصة، تتحقق المعادلتان التاليتان:

ص=γمv،هـ=γمج2.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=\gamma m\mathbf {v} ,\\E&=\gamma mc^{2}.\end{aligned}}}

لγ≈1{\displaystyle \gamma \approx 1}وγ≈1+12β2{\textstyle \gamma \approx 1+{\frac {1}{2}}\beta ^{2}}وبالتالي، فإن هذه المعادلات تختزل إلى مكافئاتها النيوتونية:

ص=مv،هـ=مج2+12مv2.{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {p} &=m\mathbf {v} ,\\E&=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}.\end{aligned}}}

يمكن أيضًا عكس معادلة عامل لورنتز للحصول على β=1-1γ2.{\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}.} هذا له شكل تقاربي β=1-12γ-2-18γ-4-116γ-6-5128γ-8+⋯.{\displaystyle \beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots \,.}

يُستخدم الحدّان الأولان أحيانًا لحساب السرعات بسرعة من قيم γ الكبيرة . التقريبβ≈1-12γ-2{\textstyle \beta \approx 1-{\frac {1}{2}}\gamma ^{-2}}يحافظ على التفاوت بنسبة 1٪ لـ γ > 2 ، وبنسبة 0.1٪ لـ γ > 3.5 .

تطبيقات في علم الفلك

يفترض النموذج القياسي لانفجارات أشعة غاما طويلة الأمد أن هذه الانفجارات فائقة النسبية ( قيمة γ الأولية أكبر من 100 تقريبًا)، وهو ما يُستعان به لتفسير ما يُسمى بمشكلة "التراص": فبدون هذا التوسع فائق النسبية، ستكون المقذوفات معتمة بصريًا لإنتاج الأزواج عند طاقات طيفية نموذجية تبلغ بضع مئات من  الكيلو إلكترون فولت، في حين يُلاحظ أن الانبعاث الفوري غير حراري. [ 10 ]

تتحرك الميونات ، وهي جسيمات دون ذرية، بسرعة عالية تجعل معامل لورنتز الخاص بها مرتفعًا نسبيًا، وبالتالي تخضع لتمدد زمني شديد . ونظرًا لأن متوسط ​​عمر الميونات يبلغ 2.2 ميكروثانية فقط ، فمن المفترض ألا تُكتشف الميونات الناتجة عن تصادمات الأشعة الكونية على ارتفاع 10 كيلومترات (6.2 ميل) في الغلاف الجوي للأرض على سطح الأرض بسبب معدل اضمحلالها. ومع ذلك، لا يزال بالإمكان رصد ما يقارب 10% من الميونات الناتجة عن هذه التصادمات على السطح، مما يُظهر تأثير التمدد الزمني على معدل اضمحلالها. [ 11 ]   

انظر أيضاً

مراجع

  1. ↑ "عامل جاما" . webs.morningside.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 14 يناير 2024 .
  2. ↑ تايسون، نيل ديغراس ؛ ليو، تشارلز تسون-تشو ؛ إيريون، روبرت. "النظرية النسبية الخاصة" . كون واحد . الأكاديميات الوطنية للعلوم والهندسة والطب . مؤرشف من الأصل في 25 يوليو 2021. تم الاطلاع عليه في 6 يناير 2024 .
  3. 1 2 فورشو، جيفري؛ سميث، جافين (2014). الديناميكا والنسبية . جون وايلي وأولاده . ص 118. ISBN  978-1-118-93329-9.
  4. ↑ ويرد سميث، SR #X6: التحرك بسرعة الضوء ، لوغوس كون كارني، 9 ديسمبر 2020
  5. ↑ يعقوب فريدمان، التطبيقات الفيزيائية للكرات المتجانسة ، التقدم في الفيزياء الرياضية 40 بيركهاوزر، بوسطن، 2004، الصفحات 1-21.
  6. ↑ يونغ؛ فريدمان (2008). فيزياء الجامعة لسيرز وزيمانسكي ( الطبعة الثانية عشرة). بيرسون إد. وأديسون-ويسلي. ISBN  978-0-321-50130-1.
  7. ↑ سينج، جيه إل (1957). الغاز النسبي. سلسلة في الفيزياء. نورث هولاند. LCCN 57-003567
  8. ↑ علم الحركة مؤرشف في 2014-11-21 في Wayback Machine ، بقلم جيه دي جاكسون ، انظر الصفحة 7 لتعريف السرعة.
  9. ↑ كاميرون آر دي بوني وجورما لوكو فئة 2023. الجاذبية الكمومية. 40155001
  10. ↑ سينكو، إس بي؛ وآخرون (2015). "iPTF14yb: أول اكتشاف لتوهج لاحق لانفجار أشعة غاما مستقل عن محفز عالي الطاقة". رسائل المجلة الفيزيائية الفلكية . 803 (L24): 803. arXiv : 1504.00673 . Bibcode : 2015ApJ...803L..24C . ​​doi : 10.1088/2041-8205/803/2/L24 . 
  11. ↑ "تجربة الميون في النسبية" . HyperPhysics.Phy-Astr.GSU.edu . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2024-01-06 .