إشعاع الكبح

في فيزياء الجسيمات bremsstrahlung ( / ˈbrɛmʃtrɑːləŋ / ; ^{[ 1 ]} الألمانية : [ ˈbʁɛms.ʃtʁaːlʊŋ ]​​​​​​​​​​الإشعاعالكهرومغناطيسي(Bremsstrahlung) ^هو إشعاع كهرومغناطيسيينتجعنتباطؤجسيممشحونعندانحرافه بفعل جسيم مشحون آخر، عادةً ما يكونإلكترونًاعنداصطدامهبنواة ذرية. يفقد الجسيم المتحركطاقتهالحركية، التي تتحول إلى إشعاع (أيفوتونات)،ممايحقققانون حفظ الطاقة.يُستخدم المصطلح أيضًا للإشارة إلى عملية إنتاج الإشعاع. يتميز إشعاع الكبح بطيفمتصل، تزداد شدته وتنزاح ذروة شدته نحو ترددات أعلى مع ازدياد تغير طاقة الجسيمات المتباطئة.  

بشكل عام، يُعرف إشعاع الكبح (bremsstrahlung ) بأنه أي إشعاع ينتج عن تسارع (موجب أو سالب) جسيم مشحون. ويشمل ذلك إشعاع السنكروترون (أي انبعاث الفوتونات من جسيم نسبي )، وإشعاع السيكلوترون (أي انبعاث الفوتونات من جسيم غير نسبي)، وانبعاث الإلكترونات والبوزيترونات أثناء تحلل بيتا . كما يُساهم إشعاع الكبح في الظواهر الكامنة وراء بعض ومضات أشعة غاما الأرضية . مع ذلك، يُستخدم المصطلح غالبًا بمعنى أضيق، وهو الإشعاع الناتج عن تباطؤ الإلكترونات (من أي مصدر) في المادة.

يُشار أحيانًا إلى الإشعاع الكابح المنبعث من البلازما باسم الإشعاع الحر-الحر ، أي الإشعاع الناتج عن الإلكترونات الحرة (أي غير المرتبطة بذرة أو جزيء ) قبل انبعاث الفوتون، وتبقى حرة بعده. وبالمثل، يشير الإشعاع المرتبط-المرتبط إلى خطوط طيفية منفصلة (حيث "يقفز" الإلكترون بين حالتين مرتبطتين)، بينما يشير الإشعاع الحر-المرتبط إلى عملية إعادة التركيب الإشعاعي ، حيث يتحد الإلكترون الحر مع أيون. 

تستخدم هذه المقالة وحدات النظام الدولي للوحدات، بالإضافة إلى شحنة الجسيم الواحد المُقاسة.${\displaystyle {\bar {q}}\equiv q/(4\pi \epsilon _{0})^{1/2}}$.

إذا كانت التأثيرات الكمومية ضئيلة، فإن الجسيم المشحون المتسارع يشع طاقة كما هو موضح في صيغة لارمور وتعميمها النسبي.

إنّ المعالجة الكاملة لظاهرة كبح الإشعاع الكمومي معقدة للغاية. فحالة "الفراغ" لتفاعل إلكترون واحد وأيون واحد وفوتون واحد، باستخدام جهد كولوم النقي، لها حل دقيق يُرجّح أن يكون أرنولد سومرفيلد قد نشره لأول مرة عام 1931. ^{[ 5 ]} يتضمن هذا الحل التحليلي رياضيات معقدة، وقد نُشرت العديد من الحسابات العددية، مثل تلك التي أجراها كارزاس ولاتر. ^{[ 6 ]} كما قُدّمت صيغ تقريبية أخرى، كما في أعمال حديثة لوينبرغ ^{[ 7 ]} وبرادلر وسيميلروك. ^{[ 8 ]}

يقدم هذا القسم نظيرًا كميًا للقسم السابق، مع بعض التبسيطات لتوضيح الفيزياء المهمة. وهو معالجة غير نسبية للحالة الخاصة للإلكترون ذي الكتلة${\displaystyle m_{\text{e}}}$، تكلفة${\displaystyle -e}$والسرعة الابتدائية${\displaystyle v}$يتباطأ في مجال كولوم لغاز من الأيونات الثقيلة المشحونة${\displaystyle Ze}$وكثافة العدد${\displaystyle n_{i}}$الإشعاع المنبعث هو فوتون ذو تردد${\displaystyle \nu =c/\lambda }$والطاقة${\displaystyle h\nu }$الهدف هو إيجاد معامل الانبعاثية${\displaystyle j(v,\nu )}$وهي القدرة المنبعثة لكل (زاوية مجسمة في فضاء سرعة الفوتون * تردد الفوتون)، مجموعًا على كلا استقطابي الفوتون المستعرضين. ويتم التعبير عنها كنتيجة كلاسيكية تقريبية مضروبة في عامل غاونت للانبعاث الحر g _ff مع مراعاة التصحيحات الكمومية وغيرها. $${\displaystyle j(v,\nu )={8\pi \over 3{\sqrt {3}}}{Z^{2}{\bar {e}}^{6}n_{i} \over c^{3}m_{\text{e}}^{2}v}g_{\rm {ff}}(v,\nu )}$$${\displaystyle j(\nu ,v)=0}$لو${\displaystyle h\nu >mv^{2}/2}$أي أن الإلكترون لا يملك طاقة حركية كافية لإصدار الفوتون. صيغة عامة في ميكانيكا الكم لـ${\displaystyle g_{\rm {ff}}}$موجودة ولكنها معقدة للغاية، وعادةً ما يتم التوصل إليها عن طريق الحسابات العددية. يمكن استخدام الافتراضات الإضافية التالية لعرض نتائج تقريبية:

• التفاعل في الفراغ: تتجاهل الحسابات أي تأثيرات للوسط المحيط، مثل تأثيرات حجب البلازما. وهذا أمر منطقي عندما يكون تردد الفوتون أكبر بكثير من تردد البلازما.${\displaystyle \nu _{\rm {pe}}\propto n_{\rm {e}}^{1/2}}$مع${\displaystyle n_{\text{e}}}$كثافة الإلكترونات في البلازما . لاحظ أن الموجات الضوئية تتلاشى.${\displaystyle \nu <\nu _{\rm {pe}}}$وسيكون من الضروري اتباع نهج مختلف تماماً.
• الفوتونات اللينة:${\displaystyle h\nu \ll m_{\text{e}}v^{2}/2}$أي أن طاقة الفوتون أقل بكثير من طاقة الحركة الأولية للإلكترون.

بناءً على هذه الافتراضات، يتم تحديد العملية بواسطة معيارين بلا وحدات:${\displaystyle \eta _{Z}\equiv Z{\bar {e}}^{2}/\hbar v}$، الذي يقيس قوة تفاعل كولوم بين الإلكترون والأيون، و${\displaystyle \eta _{\nu }\equiv h\nu /2m_{\text{e}}v^{2}}$، الذي يقيس "ليونة" الفوتون، والذي يُفترض أنه صغير دائمًا (اختيار العامل 2 هو للتسهيل لاحقًا). في النهاية${\displaystyle \eta _{Z}\ll 1}$، ويعطي تقريب بورن الكمومي ما يلي :$${\displaystyle g_{\text{ff,Born}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\ln {1 \over \eta _{\nu }}}$$

في الحد المعاكس${\displaystyle \eta _{Z}\gg 1}$، وتختزل النتيجة الكاملة لميكانيكا الكم إلى النتيجة الكلاسيكية البحتة $${\displaystyle g_{\text{ff,class}}={{\sqrt {3}} \over \pi }\left[\ln \left({1 \over \eta _{Z}\eta _{\nu }}\right)-\gamma \right]}$$ أين${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$هو ثابت أويلر-ماسكيروني . لاحظ أن${\displaystyle 1/\eta _{Z}\eta _{\nu }=m_{\text{e}}v^{3}/\pi Z{\bar {e}}^{2}\nu }$وهو تعبير كلاسيكي بحت بدون ثابت بلانك${\displaystyle h}$.

تتمثل إحدى الطرق شبه الكلاسيكية والتقريبية لفهم عامل غاونت في كتابته على النحو التالي:${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \ln(b_{\text{max}}/b_{\text{min}})}$أين${\displaystyle b_{\max }}$و${\displaystyle b_{\min }}$تمثل هذه القيم الحد الأقصى والحد الأدنى لـ "معاملات التصادم" لتصادم الإلكترون والأيون، في وجود المجال الكهربائي للفوتون. بناءً على افتراضاتنا،${\displaystyle b_{\rm {max}}=v/\nu }$بالنسبة لمعاملات التأثير الأكبر، فإن التذبذب الجيبي لحقل الفوتون يوفر "خلط الطور" الذي يقلل التفاعل بشكل كبير.${\displaystyle b_{\rm {min}}}$ هو الأكبر من بين أطوال موجات دي برولي الكمومية${\displaystyle \approx h/m_{\text{e}}v}$والمسافة الكلاسيكية لأقرب اقتراب${\displaystyle \approx {\bar {e}}^{2}/m_{\text{e}}v^{2}}$حيث تكون طاقة الوضع الكولومبية للإلكترون والأيون قابلة للمقارنة مع الطاقة الحركية الأولية للإلكترون.

تنطبق التقريبات المذكورة أعلاه عمومًا طالما كانت قيمة وسيط اللوغاريتم كبيرة، وتفقد صلاحيتها عندما تكون أقل من واحد. أي أن هذه الصيغ لعامل غاونت تصبح سالبة، وهو أمر غير منطقي. ويمكن تقديم تقريب أولي للحسابات الكاملة، مع مراعاة حدود بورن والحدود الكلاسيكية المناسبة، كما يلي: $${\displaystyle g_{\text{ff}}\approx \max \left[1,{{\sqrt {3}} \over \pi }\ln \left[{1 \over \eta _{\nu }\max(1,e^{\gamma }\eta _{Z})}\right]\right]}$$

يتناول هذا القسم انبعاث أشعة الكبح وعملية الامتصاص العكسي (المسماة أشعة الكبح العكسية) في وسط مجهري. معادلة انتقال الإشعاع ، التي تنطبق على العمليات العامة وليس فقط أشعة الكبح، هي: $${\displaystyle {\frac {1}{c}}\partial _{t}I_{\nu }+{\hat {\mathbf {n} }}\cdot \nabla I_{\nu }=j_{\nu }-k_{\nu }I_{\nu }}$$

${\displaystyle I_{\nu }(t,\mathbf {x} )}$هي شدة الطيف الإشعاعي، أو القدرة لكل (المساحة  × الزاوية المجسمة في فضاء سرعة الفوتون ×  تردد الفوتون) مجموع على كلا الاستقطابين.${\displaystyle j_{\nu }}$الانبعاثية، على غرار${\displaystyle j(v,\nu )}$كما هو موضح أعلاه، و${\displaystyle k_{\nu }}$هي الامتصاصية.${\displaystyle j_{\nu }}$و${\displaystyle k_{\nu }}$هي خصائص المادة، وليست الإشعاع، وهي تمثل جميع الجسيمات في الوسط - وليس مجرد زوج من إلكترون واحد وأيون واحد كما في القسم السابق. إذا${\displaystyle I_{\nu }}$إذا كان التوزيع منتظمًا في المكان والزمان، فإن الطرف الأيسر من معادلة النقل يساوي صفرًا، وبالتالي: $${\displaystyle I_{\nu }={j_{\nu } \over k_{\nu }}}$$

إذا كانت المادة والإشعاع في حالة توازن حراري عند درجة حرارة معينة، فإن${\displaystyle I_{\nu }}$يجب أن يكون طيف الجسم الأسود : $${\displaystyle B_{\nu }(\nu ,T_{\text{e}})={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{h\nu /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}-1}}}$$ منذ${\displaystyle j_{\nu }}$و${\displaystyle k_{\nu }}$مستقلة عن${\displaystyle I_{\nu }}$وهذا يعني أن${\displaystyle j_{\nu }/k_{\nu }}$يجب أن يكون طيف الجسم الأسود هو الطيف الطبيعي عندما تكون المادة في حالة توازن عند درجة حرارة معينة، بغض النظر عن حالة الإشعاع. وهذا يسمح لنا بمعرفة كليهما على الفور.${\displaystyle j_{\nu }}$و${\displaystyle k_{\nu }}$بمجرد معرفة أحدهما - بالنسبة للمادة في حالة توازن.

ملاحظة : يقدم هذا القسم حاليًا صيغًا تنطبق في حدود رايلي-جينز${\displaystyle \hbar \omega \ll k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$ولا يستخدم معالجة كمية (بلانك) للإشعاع. وبالتالي فإن عاملًا عاديًا مثل${\displaystyle \exp(-\hbar \omega /k_{\rm {B}}T_{\text{e}})}$لا يظهر. ظهور${\displaystyle \hbar \omega /k_{\text{B}}T_{\text{e}}}$في${\displaystyle y}$يرجع ما يلي إلى المعالجة الميكانيكية الكمومية للتصادمات.

في البلازما ، تصطدم الإلكترونات الحرة باستمرار بالأيونات، مُنتجةً إشعاع الكبح. يتطلب التحليل الكامل مراعاة كلٍ من تصادمات كولوم الثنائية والسلوك الجماعي (العازل). قدّم بيكيفي ^{[ 9 ]} معالجةً مُفصّلةً، بينما قدّم إيتشيمارو ^{[ 10 ]} معالجةً مُبسّطةً. تتبع هذه الحسابات معالجة بيكيفي العازلة، مع تضمين التصادمات تقريبًا عبر عدد الموجة الحدّي.${\displaystyle k_{\text{max}}}$.

لنفترض وجود بلازما منتظمة، مع توزيع الإلكترونات الحرارية وفقًا لتوزيع ماكسويل-بولتزمان بدرجة الحرارة${\displaystyle T_{\text{e}}}$. وفقًا لبيكفي، فإن كثافة القدرة الطيفية (القدرة لكل فاصل تردد زاوي لكل حجم، متكاملة على كامل${\displaystyle 4\pi }$يتم حساب قيمة sr للزاوية المجسمة (والتي يتم جمعها على جميع الاستقطابات) لإشعاع الكبح المشع، لتكون $${\displaystyle {dP_{\mathrm {Br} } \over d\omega }={\frac {8{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {\pi }}}}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{3/2}}\left[1-{\omega _{\rm {p}}^{2} \over \omega ^{2}}\right]^{1/2}{Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over (k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{1/2}}E_{1}(y),}$$ أين${\displaystyle \omega _{p}\equiv (n_{\text{e}}e^{2}/\varepsilon _{0}m_{\text{e}})^{1/2}}$هو تردد بلازما الإلكترون،${\displaystyle \omega }$تردد الفوتون،${\displaystyle n_{\text{e}},n_{i}}$تمثل كثافة عدد الإلكترونات والأيونات، والرموز الأخرى ثوابت فيزيائية . أما العامل الثاني بين قوسين فهو معامل انكسار الموجة الضوئية في البلازما، ويشير إلى أن الانبعاث مُثبَّط بشدة لـ${\displaystyle \omega <\omega _{\rm {p}}}$(هذا هو شرط القطع لموجة ضوئية في البلازما؛ في هذه الحالة تكون الموجة الضوئية متلاشية ). وبالتالي، تنطبق هذه الصيغة فقط على${\displaystyle \omega >\omega _{\rm {p}}}$يجب جمع هذه الصيغة على أنواع الأيونات في بلازما متعددة الأنواع.

الوظيفة${\displaystyle E_{1}}$هو التكامل الأسي ، والكمية عديمة الأبعاد${\displaystyle y}$يكون $${\displaystyle y={\frac {1}{2}}{\omega ^{2}m_{\text{e}} \over k_{\text{max}}^{2}k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}$$

${\displaystyle k_{\text{max}}}$هو عدد موجي أقصى أو حد فاصل، ينشأ نتيجة تصادمات ثنائية، ويمكن أن يختلف باختلاف أنواع الأيونات. تقريبًا،${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$متى${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}>Z_{i}^{2}E_{\text{h}}}$(وهو أمر شائع في البلازما غير شديدة البرودة)، حيث${\displaystyle E_{\text{h}}\approx 27.2}$eV هي طاقة هارتري ، و${\displaystyle \lambda _{\text{B}}=\hbar /(m_{\text{e}}k_{\text{B}}T_{\text{e}})^{1/2}}$هو طول موجة دي برولي الحرارية للإلكترون . وإلا،${\displaystyle k_{\text{max}}\propto 1/l_{\text{C}}}$أين${\displaystyle l_{\text{C}}}$هي مسافة كولوم الكلاسيكية لأقرب اقتراب.

في الحالة الاعتيادية${\displaystyle k_{m}=1/\lambda _{B}}$، $${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\hbar \omega }{k_{\text{B}}T_{\text{e}}}}\right]^{2}.}$$

صيغة لـ${\displaystyle dP_{\mathrm {Br} }/d\omega }$وهو تقريبي، لأنه يتجاهل الانبعاثات المتزايدة التي تحدث لـ${\displaystyle \omega }$أعلى بقليل${\displaystyle \omega _{\text{p}}}$.

في الحد${\displaystyle y\ll 1}$،${\displaystyle E_{1}}$يمكن تقريبها على النحو التالي${\displaystyle E_{1}(y)\approx -\ln[ye^{\gamma }]+O(y)}$أين${\displaystyle \gamma \approx 0.577}$هو ثابت أويلر-ماسكيروني . يُستخدم الحد اللوغاريتمي الرئيسي بشكل متكرر، وهو يشبه لوغاريتم كولوم الذي يظهر في حسابات البلازما التصادمية الأخرى.${\displaystyle y>e^{-\gamma }}$ the log term is negative, and the approximation is clearly inadequate. Bekefi gives corrected expressions for the logarithmic term that match detailed binary-collision calculations.

The total emission power density, integrated over all frequencies, is $${\displaystyle {\begin{aligned}P_{\mathrm {Br} }&=\int _{\omega _{\text{p}}}^{\infty }{\frac {dP_{\mathrm {Br} }}{d\omega }}\,d\omega ={\frac {16}{3}}{\frac {{\bar {e}}^{6}}{m_{\text{e}}^{2}c^{3}}}Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}k_{\text{max}}G(y_{\text{p}})\\[1ex]G(y_{p})&={\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\int _{y_{\text{p}}}^{\infty }\left[1-{\frac {y_{\text{p}}}{y}}\right]^{1/2}E_{1}(y){\frac {dy}{y^{{1}/{2}}}}\\[1ex]y_{\text{p}}&=y({\omega \!=\!\omega _{\text{p}}})\end{aligned}}}$$${\displaystyle G(y_{\text{p}}=0)=1}$ and decreases with ${\displaystyle y_{\text{p}}}$; it is always positive. For ${\displaystyle k_{\text{max}}=1/\lambda _{\text{B}}}$, $${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }={16 \over 3}{{\bar {e}}^{6} \over (m_{\text{e}}c^{2})^{\frac {3}{2}}\hbar }Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}}(k_{\rm {B}}T_{\text{e}})^{\frac {1}{2}}G(y_{\rm {p}})}$$

Note the appearance of ${\displaystyle \hbar }$ due to the quantum nature of ${\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}$. In practical units, a commonly used version of this formula for ${\displaystyle G=1}$ is ^[11]$${\displaystyle P_{\mathrm {Br} }[\mathrm {W/m^{3}} ]={Z_{i}^{2}n_{i}n_{\text{e}} \over \left[7.69\times 10^{18}\mathrm {m^{-3}} \right]^{2}}T_{\text{e}}[\mathrm {eV} ]^{\frac {1}{2}}.}$$

This formula is 1.59 times the one given above, with the difference due to details of binary collisions. Such ambiguity is often expressed by introducing Gaunt factor${\displaystyle g_{\rm {B}}}$, e.g. in ^[12] one finds $${\displaystyle \varepsilon _{\text{ff}}=1.4\times 10^{-27}T^{\frac {1}{2}}n_{\text{e}}n_{i}Z^{2}g_{\text{B}},\,}$$ where everything is expressed in the CGS units.

Relativistic corrections

For very high temperatures there are relativistic corrections to this formula, that is, additional terms of the order of ${\displaystyle k_{\text{B}}T_{\text{e}}/m_{\text{e}}c^{2}}$.^[13]

Polarizational bremsstrahlung (sometimes referred to as "atomic bremsstrahlung") is the radiation emitted by the target's atomic electrons as the target atom is polarized by the Coulomb field of the incident charged particle.^[14][15] Polarizational bremsstrahlung contributions to the total bremsstrahlung spectrum have been observed in experiments involving relatively massive incident particles,^[16] resonance processes,^[17] and free atoms.^[18] However, there is still some debate as to whether or not there are significant polarizational bremsstrahlung contributions in experiments involving fast electrons incident on solid targets.^[19][20][21]

تجدر الإشارة إلى أن مصطلح "الاستقطابي" لا يعني بالضرورة أن أشعة الكبح المنبعثة مستقطبة. كما أن التوزيع الزاوي لأشعة الكبح الاستقطابية يختلف نظرياً تماماً عن أشعة الكبح العادية. ^{[ 22 ]}

أُجري الوصف الكمومي الكامل لأول مرة بواسطة بيث وهيتلر. ^{[ 34 ]} افترضا موجات مستوية للإلكترونات التي تتشتت عند نواة الذرة، واستنتجا مقطعًا عرضيًا يربط الهندسة الكاملة لتلك العملية بتردد الفوتون المنبعث. المقطع العرضي التفاضلي الرباعي، الذي يُظهر تناظرًا كموميًا لإنتاج الأزواج ، هو $${\displaystyle {\begin{aligned}d^{4}\sigma ={}&{\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}\hbar ^{2}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {d\omega }{\omega }}{\frac {d\Omega _{i}\,d\Omega _{f}\,d\Phi }{\left|\mathbf {q} \right|^{4}}}\\&{}\times \left[{\frac {\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)^{2}}}\left(4E_{i}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)+{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}\left(4E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right.\\&{}\qquad +2\hbar ^{2}\omega ^{2}{\frac {\mathbf {p} _{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}+\mathbf {p} _{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{f}}{(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f})\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\\&{}\qquad -2\left.{\frac {\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\sin \Theta _{i}\sin \Theta _{f}\cos \Phi }{\left(E_{f}-c\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{f}\right)\left(E_{i}-c\left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i}\right)}}\left(2E_{i}^{2}+2E_{f}^{2}-c^{2}\mathbf {q} ^{2}\right)\right],\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle Z}$هو العدد الذري ،${\displaystyle \alpha _{\text{fine}}\approx 1/137}$ثابت البنية الدقيقة ،${\displaystyle \hbar }$ثابت بلانك المختزل و${\displaystyle c}$سرعة الضوء . الطاقة الحركية${\displaystyle E_{{\text{kin}},i/f}}$يرتبط وضع الإلكترون في الحالة الابتدائية والنهائية بطاقته الكلية${\displaystyle E_{i,f}}$أو لحظتها${\displaystyle \mathbf {p} _{i,f}}$عبر $${\displaystyle E_{i,f}=E_{{\text{kin}},i/f}+m_{\text{e}}c^{2}={\sqrt {m_{\text{e}}^{2}c^{4}+\mathbf {p} _{i,f}^{2}c^{2}}},}$$ أين${\displaystyle m_{\text{e}}}$هي كتلة الإلكترون . ينص قانون حفظ الطاقة على أن$${\displaystyle E_{f}=E_{i}-\hbar \omega ,}$$ أين${\displaystyle \hbar \omega }$هي طاقة الفوتون. وتُحدد اتجاهات الفوتون المنبعث والإلكترون المتشتت بواسطة $${\displaystyle {\begin{aligned}\Theta _{i}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ),\\\Theta _{f}&=\sphericalangle (\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\\\Phi &={\text{Angle between the planes }}(\mathbf {p} _{i},\mathbf {k} ){\text{ and }}(\mathbf {p} _{f},\mathbf {k} ),\end{aligned}}}$$ أين${\displaystyle \mathbf {k} }$هو زخم الفوتون.

تُعطى التفاضلات على النحو التالي $${\displaystyle {\begin{aligned}d\Omega _{i}&=\sin \Theta _{i}\ d\Theta _{i},\\d\Omega _{f}&=\sin \Theta _{f}\ d\Theta _{f}.\end{aligned}}}$$

القيمة المطلقة للفوتون الافتراضي بين النواة والإلكترون هي $${\displaystyle {\begin{aligned}-\mathbf {q} ^{2}={}&-\left|\mathbf {p} _{i}\right|^{2}-\left|\mathbf {p} _{f}\right|^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{i}-2\left|\mathbf {p} _{f}\right|{\frac {\hbar }{c}}\omega \cos \Theta _{f}\\&{}+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\left(\cos \Theta _{f}\cos \Theta _{i}+\sin \Theta _{f}\sin \Theta _{i}\cos \Phi \right).\end{aligned}}}$$

يُحدد نطاق الصلاحية بواسطة تقريب بورن. $${\displaystyle v\gg {\frac {Zc}{137}}}$$ حيث يجب أن تتحقق هذه العلاقة بالنسبة للسرعة${\displaystyle v}$للإلكترون في الحالة الابتدائية والنهائية.

بالنسبة للتطبيقات العملية (مثل برامج مونت كارلو )، قد يكون من المثير للاهتمام التركيز على العلاقة بين التردد${\displaystyle \omega }$للفوتون المنبعث والزاوية بين هذا الفوتون والإلكترون الساقط. قام كوهن وإيبرت بتكامل المقطع العرضي التفاضلي الرباعي بواسطة بيث وهيتلر على${\displaystyle \Phi }$و${\displaystyle \Theta _{f}}$وتم الحصول على: ^{[ 35 ]}$${\displaystyle {\frac {d^{2}\sigma (E_{i},\omega ,\Theta _{i})}{d\omega \,d\Omega _{i}}}=\sum \limits _{j=1}^{6}I_{j}}$$ مع $${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\ln \left({\frac {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}{-\Delta _{2}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}-{\sqrt {\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)+\Delta _{1}\Delta _{2}}}\right)\\&{}\times \left[1+{\frac {c\Delta _{2}}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {p_{i}^{2}c^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}}}-{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}\Delta _{2}}{c\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{2}={}&-{\frac {2\pi Ac}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}\ln \left({\frac {E_{f}+p_{f}c}{E_{f}-p_{f}c}}\right),\\I_{3}={}&{\frac {2\pi A}{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{4}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}}\times \ln \left[\left(\left[E_{f}+p_{f}c\right]\right.\right.\\&\left.\left[4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{f}-p_{f}c\right)+\left(\Delta _{1}+\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right)\right]\right)\\&\left[\left(E_{f}-p_{f}c\right)\left(4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[-E_{f}-p_{f}c\right]\right.\right.\\&{}+\left.\left.\left(\Delta _{1}-\Delta _{2}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]-{\sqrt {\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right]\right)\right]^{-1}\\&{}\times \left[-{\frac {\left(\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(E_{f}^{3}+E_{f}p_{f}^{2}c^{2}\right)+p_{f}c\left(2\left[\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right]E_{f}p_{f}c+\Delta _{1}\Delta _{2}\left[3E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\right.\\&{}-{\frac {c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{p_{f}\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)}}-{\frac {4E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}-4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\Delta _{1}E_{f}+\Delta _{2}p_{f}c\right)}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}m^{2}c^{4}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)-2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}p_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)+2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}m^{2}c^{3}\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\right],\\I_{4}={}&{}-{\frac {4\pi Ap_{f}c\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}-{\frac {16\pi E_{i}^{2}p_{f}^{2}A\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}}{\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)^{2}}},\\I_{5}={}&{\frac {4\pi A}{\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)\left(\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}}\\&{}\times \left[{\frac {\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{f}^{2}}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right.\\&{}\times {\frac {E_{f}\left(2\Delta _{2}^{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}\right]\right)+p_{f}c\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]+16\Delta _{1}\Delta _{2}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}{\Delta _{2}^{2}+4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2\hbar ^{2}\omega ^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(2\Delta _{1}\Delta _{2}p_{f}c+2\Delta _{2}^{2}E_{f}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\\&{}+{\frac {2E_{i}^{2}p_{f}^{2}\left(2\left[\Delta _{2}^{2}-\Delta _{1}^{2}\right]\left[\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right]^{2}+8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left[\left(\Delta _{1}^{2}+\Delta _{2}^{2}\right)\left(E_{f}^{2}+p_{f}^{2}c^{2}\right)+4\Delta _{1}\Delta _{2}E_{f}p_{f}c\right]\right)}{\left(\Delta _{2}E_{f}+\Delta _{1}p_{f}c\right)^{2}+4m^{2}c^{4}p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}}}\\&{}+\left.{\frac {8p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\left(E_{i}^{2}+E_{f}^{2}\right)\left(\Delta _{2}p_{f}c+\Delta _{1}E_{f}\right)}{E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}}}\right],\\I_{6}={}&{\frac {16\pi E_{f}^{2}p_{i}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}A}{\left(E_{i}-cp_{i}\cos \Theta _{i}\right)^{2}\left(-\Delta _{2}^{2}+\Delta _{1}^{2}-4p_{i}^{2}p_{f}^{2}\sin ^{2}\Theta _{i}\right)}},\end{aligned}}}$$ و $${\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {Z^{2}\alpha _{\text{fine}}^{3}}{(2\pi )^{2}}}{\frac {\left|\mathbf {p} _{f}\right|}{\left|\mathbf {p} _{i}\right|}}{\frac {\hbar ^{2}}{\omega }}\\\Delta _{1}&=-\mathbf {p} _{i}^{2}-\mathbf {p} _{f}^{2}-\left({\frac {\hbar }{c}}\omega \right)^{2}+2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{i}\right|\cos \Theta _{i},\\\Delta _{2}&=-2{\frac {\hbar }{c}}\omega \left|\mathbf {p} _{f}\right|+2\left|\mathbf {p} _{i}\right|\left|\mathbf {p} _{f}\right|\cos \Theta _{i}.\end{aligned}}}$$

ومع ذلك، يمكن إيجاد تعبير أبسط بكثير لنفس التكامل في ^{[ 36 ]} (المعادلة 2BN) وفي ^{[ 37 ]} (المعادلة 4.1).

يُظهر تحليل المقطع العرضي التفاضلي المزدوج أعلاه أن الإلكترونات التي تكون طاقتها الحركية أكبر من طاقة السكون (511  كيلو إلكترون فولت) تُصدر فوتونات في الاتجاه الأمامي بينما تُصدر الإلكترونات ذات الطاقة الصغيرة فوتونات بشكل متساوي الخواص.

إحدى الآليات، التي تعتبر مهمة للأعداد الذرية الصغيرة${\displaystyle Z}$يُعرف تشتت الإلكترون الحر عند اصطدامه بإلكترونات الغلاف الإلكتروني للذرة أو الجزيء. ^{[ 38 ]} وبما أن إشعاع الكبح الإلكتروني هو دالة لـ${\displaystyle Z}$ونواة الإلكترون المعتادة bremsstrahlung هي وظيفة${\displaystyle Z^{2}}$إن إشعاع الكبح الناتج عن تفاعل الإلكترونات مع بعضها البعض ضئيل بالنسبة للمعادن. أما بالنسبة للهواء، فإنه يلعب دورًا مهمًا في إنتاج ومضات أشعة غاما الأرضية . ^{[ 39 ]}