ليماكون

في الهندسة ، يُعرَّف منحنى ليماكون (بالفرنسية: limaçon أو limacon)، المعروف أيضًا باسم ليماكون باسكال أو حلزون باسكال، بأنه منحنى روليت يتشكل من مسار نقطة ثابتة على دائرة عندما تدور هذه الدائرة حول دائرة أخرى لها نفس نصف القطر . ويمكن تعريفه أيضًا بأنه منحنى روليت يتشكل عندما تدور دائرة حول دائرة أخرى نصف قطرها نصف قطرها، بحيث تكون الدائرة الأصغر داخل الدائرة الأكبر. ولذلك، ينتمي هذا المنحنى إلى عائلة المنحنيات المعروفة باسم المنحنيات المركزية ، وتحديدًا المنحنيات فوق المركزية . أما المنحنى القلبي فهو حالة خاصة تقع فيها النقطة المولدة لمنحنى الروليت على الدائرة الدوارة، ويتميز المنحنى الناتج بوجود نقطة مدببة .

اعتمادًا على موضع النقطة التي تولد المنحنى، قد يكون له حلقات داخلية وخارجية (مما يعطي العائلة اسمها)، وقد يكون على شكل قلب ، أو قد يكون بيضاويًا.

الليمكون هو منحنى جبري ثنائي الدائرة ذو مستوى نسبي من الدرجة 4.

يُنسب أقدم بحث رسمي حول المنحنيات الحلزونية (limaçons) عمومًا إلى إتيان باسكال ، والد بليز باسكال . مع ذلك، فقد أجرى الفنان الألماني ألبرخت دورر ، أحد رواد عصر النهضة، دراسات معمقة حولها في وقت سابق . يحتوي كتاب دورر " Underweysung der Messung" (تعليمات القياس) على أساليب هندسية محددة لإنتاج هذه المنحنيات. وقد أطلق جيل دو روبرفال هذا الاسم على المنحنى عندما استخدمه كمثال لإيجاد الخطوط المماسية، مشتقًا الكلمة من الكلمة اللاتينية " limax" التي تعني الحلزون.

معادلة (باستثناء الإزاحة والدوران) لـ limacon في الإحداثيات القطبية تأخذ الشكل التالي:

${\displaystyle r=b+a\cos \theta .}$

يمكن تحويل هذا إلى إحداثيات ديكارتية عن طريق الضرب في r (مما يُدخل نقطة عند نقطة الأصل، والتي قد تكون زائفة في بعض الحالات)، والتعويض.${\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}}$و${\displaystyle r\cos \theta =x}$للحصول على ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}-ax\right)^{2}=b^{2}\left(x^{2}+y^{2}\right).}$

بتطبيق الشكل البارامتري للتحويل من الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية، نحصل أيضًا على ^{[ 2 ]}

${\displaystyle x=(b+a\cos \theta )\cos \theta ={a \over 2}+b\cos \theta +{a \over 2}\cos 2\theta ,}$

${\displaystyle y=(b+a\cos \theta )\sin \theta =b\sin \theta +{a \over 2}\sin 2\theta$ ;}

أثناء الضبط

${\displaystyle z=x+iy=(b+a\cos \theta )(\cos \theta +i\sin \theta )}$

ينتج عن هذه المعلمة منحنى في المستوى المركب :

${\displaystyle z={a \over 2}+be^{i\theta }+{a \over 2}e^{2i\theta }.}$

إذا قمنا بالتحرك أفقيًا بواسطة${\textstyle -{\frac {1}{2}}a}$، أي،

${\displaystyle z=be^{it}+{a \over 2}e^{2it}}$،

بتغيير موقع نقطة الأصل، سنحوّل المعادلة إلى الصيغة المعتادة لمعادلة التروكويد المركزي. لاحظ تغيير المتغير المستقل عند هذه النقطة لتوضيح أننا لم نعد نستخدم تمثيل الإحداثيات القطبية الافتراضي.${\displaystyle \theta =\arg z}$.

متى${\displaystyle b>a}$المنحنى الليماسي هو منحنى مغلق بسيط. ومع ذلك، فإن نقطة الأصل تحقق المعادلة الديكارتية المذكورة أعلاه، لذا فإن الرسم البياني لهذه المعادلة يحتوي على عقدة أو نقطة معزولة.

متى${\displaystyle b>2a}$تكون المنطقة المحصورة بالمنحنى محدبة، وعندما${\displaystyle a<b<2a}$يحتوي المنحنى على انخفاض محصور بين نقطتي انعطاف . عند${\displaystyle b=2a}$النقطة${\displaystyle (-a,0)}$هي نقطة ذات انحناء صفري .

مثل${\displaystyle b}$ينخفض ​​بالنسبة إلى${\displaystyle a}$يصبح الانخفاض أكثر وضوحًا حتى، عند${\displaystyle b=a}$يصبح المنحنى قلبي الشكل، ويصبح الانخفاض حادًا .${\displaystyle 0<b<a}$يتسع الطرف المدبب ليشكل حلقة داخلية، ويتقاطع المنحنى مع نفسه عند نقطة الأصل.${\displaystyle b}$عندما تقترب من الصفر، تملأ الحلقة المنحنى الخارجي، وفي النهاية، يصبح الليمكون دائرة يتم اجتيازها مرتين.

المنطقة المحصورة بالليماكون${\displaystyle r=b+a\cos \theta }$يكون${\textstyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\pi }$. متى${\displaystyle b<a}$هذا يحسب المساحة المحصورة داخل الحلقة الداخلية مرتين. في هذه الحالة، يتقاطع المنحنى مع نقطة الأصل بزوايا${\textstyle \pi \pm \arccos {b \over a}}$المساحة المحصورة داخل الحلقة الداخلية هي

${\displaystyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\arccos {b \over a}-{3 \over 2}b{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},}$

المساحة المحصورة بالحلقة الخارجية هي

${\displaystyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\left(\pi -\arccos {b \over a}\right)+{3 \over 2}b{\sqrt {a^{2}-b^{2}}},}$

والمنطقة الواقعة بين الحلقات هي

${\displaystyle \left(b^{2}+{{a^{2}} \over 2}\right)\left(\pi -2\arccos {b \over a}\right)+3b{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}.}$^{[ 1 ]}

يُعطى محيط الليمكون بواسطة تكامل إهليلجي كامل من النوع الثاني :

${\displaystyle 4(a+b)E\left({{2{\sqrt {ab}}} \over a+b}\right).}$

• يترك${\displaystyle P}$كن نقطة و${\displaystyle C}$كن دائرة مركزها ليس${\displaystyle P}$ثم غلاف تلك الدوائر التي يقع مركزها على${\displaystyle C}$والتي تمر عبر${\displaystyle P}$هو ليماكون.

• نقطة ارتكاز الدائرة هي نقطة ارتكاز. في الواقع، نقطة الارتكاز بالنسبة لنقطة الأصل في الدائرة ذات نصف القطر${\displaystyle b}$والمركز${\displaystyle (a,0)}$لها معادلة قطبية${\displaystyle r=b+a\cos \theta }$.

• المعكوس بالنسبة لدائرة الوحدة لـ${\displaystyle r=b+a\cos \theta }$يكون

${\displaystyle r={1 \over {b+a\cos \theta }}}$

وهي معادلة القطع المخروطي ذي اللامركزية${\displaystyle {\tfrac {a}{b}}}$وتركز عند نقطة الأصل. بالتالي، يمكن تعريف الليمكون بأنه معكوس القطع المخروطي حيث يكون مركز الانعكاس أحد البؤرتين. إذا كان القطع المخروطي مكافئًا، فسيكون معكوسه قلبيًا، وإذا كان القطع المخروطي زائدًا، فسيكون للليمكون المقابل حلقة داخلية، وإذا كان القطع المخروطي ناقصًا، فلن يكون للليمكون المقابل أي حلقة.

• الشكل المحاري للدائرة بالنسبة لنقطة على الدائرة هو شكل محاري.

• يُعدّ الشكل البيضاوي الديكارتي حالة خاصة من حالات الشكل البيضاوي. ^{[ 3 ]}

• لعبة الروليت
• مجسم حلقي مركزي
• قائمة الدوال الدورية

• جين غروسمان ومايكل غروسمان. "غمازة أم لا غمازة" ، مجلة الرياضيات للكليات لمدة عامين ، يناير 1982، الصفحات 52-55.
• هوارد أنطون. حساب التفاضل والتكامل ، الطبعة الثانية، صفحة 708، جون وايلي وأولاده، 1984.
• هوارد أنطون. الصفحات  725 – 726.
• هوارد إيفز. مسح للهندسة ، المجلد 2 (الصفحات 51، 56، 273)، ألين وبيكون، 1965.

• كتاب ليماكون لباسكال في تاريخ الرياضيات على موقع ماك تيوتور
• ليماكون في المنحنيات الرياضية
• Limaçon of Pascal في ENCYCLOPÉDIE DES FORMES MATHÉMATIQUES REMARQUABLES
• ليماكون باسكال في القاموس المرئي للمنحنيات المستوية الخاصة
• "ليماكون باسكال" على موقع PlanetPTC (Mathcad)