النظام الخطي

في نظرية النظم ، يُعد النظام الخطي نموذجًا رياضيًا لنظام ما ، يعتمد على استخدام مؤثر خطي . وتتميز الأنظمة الخطية عادةً بخصائص وميزات أبسط بكثير من الأنظمة غير الخطية . وباعتبارها تجريدًا رياضيًا أو نموذجًا مثاليًا، تجد الأنظمة الخطية تطبيقات مهمة في نظرية التحكم الآلي ، ومعالجة الإشارات ، والاتصالات . فعلى سبيل المثال، يمكن غالبًا نمذجة وسط انتشار الإشارات في أنظمة الاتصالات اللاسلكية باستخدام الأنظمة الخطية.

تعريف

{\displaystyle y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)} — مخطط توضيحي لخاصية الجمعية لنظام أحادي المدخل والمخرج حتمي ومستمر الزمن. يحقق النظام خاصية الجمعية، أو يكون جمعيًا، إذا وفقط إذا $y_{3}(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$ إلى الأبد $t$ ولجميع المدخلات $x_{1}(t)$ و $x_{2}(t)$ انقر على الصورة لتكبيرها.

{\displaystyle y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)} — مخطط توضيحي لخاصية التجانس لنظام أحادي المدخل والمخرج (SISO) حتمي ذي زمن مستمر. يحقق النظام خاصية التجانس، أو يكون متجانسًا، إذا وفقط إذا $y_{2}(t)=a\,y_{1}(t)$ إلى الأبد $t$ ، لكل ثابت حقيقي $a$ ولجميع المدخلات $x_{1}(t)$ انقر على الصورة لتكبيرها.

{\displaystyle y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)} — مخطط توضيحي لمبدأ التراكب لنظام أحادي المدخل والمخرج (SISO) حتمي ومستمر الزمن. يحقق النظام مبدأ التراكب، وبالتالي يكون خطيًا إذا وفقط إذا $y_{3}(t)=a_{1}\,y_{1}(t)+a_{2}\,y_{2}(t)$ إلى الأبد $t$ ، لجميع الثوابت الحقيقية $a_{1}$ و $a_{2}$ ولجميع المدخلات $x_{1}(t)$ و $x_{2}(t)$ انقر على الصورة لتكبيرها.

يمكن وصف النظام الحتمي العام بواسطة عامل، $H$ ، الذي يربط المدخل، $x (t)$ ، كدالة لـ $t$ إلى المخرج، $y (t)$ ، وهو نوع من وصف الصندوق الأسود .

يكون النظام خطيًا إذا وفقط إذا كان يحقق مبدأ التراكب ، أو ما يعادله من خصائص الجمع والتجانس، دون قيود (أي لجميع المدخلات، وجميع ثوابت القياس، وجميع الأوقات). ^{[ 1 ]}^{[ 2 ]}^{[ 3 ]}^{[ 4 ]}

يعني مبدأ التراكب أن التركيبة الخطية للمدخلات إلى النظام تُنتج تركيبة خطية للمخرجات الفردية في حالة الصفر (أي المخرجات التي تُعيّن الشروط الابتدائية إلى الصفر) المقابلة للمدخلات الفردية. ^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

في نظام يحقق خاصية التجانس، يؤدي تغيير مقياس المدخلات دائمًا إلى تغيير مقياس استجابة الحالة الصفرية بنفس العامل. ^{[ 6 ]} وفي نظام يحقق خاصية الجمع، يؤدي جمع مدخلين دائمًا إلى جمع استجابتي الحالة الصفرية الناتجتين عن كل مدخل على حدة. ^{[ 6 ]}

رياضياً، بالنسبة لنظام زمني مستمر، مع إعطاء مدخلين عشوائيين ${\begin{aligned}x_{1}(t)\\x_{2}(t)\end{aligned}}$ بالإضافة إلى مخرجات الحالة الصفرية الخاصة بها ${\begin{aligned}y_{1}(t)&=H\left\{x_{1}(t)\right\}\\y_{2}(t)&=H\left\{x_{2}(t)\right\}\end{aligned}}$ عندئذٍ يجب أن يحقق النظام الخطي ما يلي $\alpha y_{1}(t)+\beta y_{2}(t)=H\left\{\alpha x_{1}(t)+\beta x_{2}(t)\right\}$ لأي قيم عددية $α$ و $β$ ، ولأي إشارات إدخال $x 1 (t)$ و $x 2 (t)$ ، ولجميع الأوقات $t$ .

يُعرَّف النظام بالمعادلة $H (x (t)) = y (t)$ ، حيث $y (t)$ دالة زمنية اختيارية، و $x (t)$ حالة النظام. بمعرفة $y (t)$ و $H$ ، يمكن حل النظام لإيجاد $x (t)$ .

يمكن وصف سلوك النظام الناتج عند تعرضه لمدخلات معقدة بأنه مجموع استجابات لمدخلات أبسط. أما في الأنظمة غير الخطية، فلا توجد مثل هذه العلاقة. هذه الخاصية الرياضية تجعل حل معادلات النمذجة أبسط من حلها في العديد من الأنظمة غير الخطية. بالنسبة للأنظمة الثابتة زمنيًا، يُعد هذا أساسًا لطرق استجابة النبضة أو استجابة التردد (انظر نظرية الأنظمة الخطية الثابتة زمنيًا )، والتي تصف دالة إدخال عامة $x (t)$ بدلالة نبضات الوحدة أو مكونات التردد .

تُعد المعادلات التفاضلية النموذجية للأنظمة الخطية الثابتة زمنياً مناسبة تمامًا للتحليل باستخدام تحويل لابلاس في الحالة المستمرة ، وتحويل Z في الحالة المنفصلة (خاصة في تطبيقات الحاسوب).

ومن منظور آخر، فإن حلول الأنظمة الخطية تتألف من نظام من الدوال التي تعمل مثل المتجهات بالمعنى الهندسي.

يتمثل أحد الاستخدامات الشائعة للنماذج الخطية في وصف نظام غير خطي عن طريق التخطيط الخطي . ويتم ذلك عادةً لأغراض رياضية.

ينطبق التعريف السابق للنظام الخطي على أنظمة SISO (نظام ذو مدخل واحد ومخرج واحد). أما بالنسبة لأنظمة MIMO (نظام ذو مداخل متعددة ومخارج متعددة)، فإن متجهات إشارات الإدخال والإخراج ( ${\mathbf {x} }_{1}(t)$ ، ${\mathbf {x} }_{2}(t)$ ، ${\mathbf {y} }_{1}(t)$ ، ${\mathbf {y} }_{2}(t)$ يتم اعتبار ) بدلاً من إشارات الإدخال والإخراج ( $x_{1}(t)$ ، $x_{2}(t)$ ، $y_{1}(t)$ ، $y_{2}(t)$ .) ^{[ 2 ]}^{[ 4 ]}

هذا التعريف للنظام الخطي مماثل لتعريف المعادلة التفاضلية الخطية في حساب التفاضل والتكامل ، والتحويل الخطي في الجبر الخطي .

أمثلة

يخضع المذبذب التوافقي البسيط للمعادلة التفاضلية التالية: $m{\frac {d^{2}(x)}{dt^{2}}}=-kx.$

لو $H(x(t))=m{\frac {d^{2}(x(t))}{dt^{2}}}+kx(t),$ إذن، $H$ مؤثر خطي. بوضع $y (t) = 0$ ، يمكننا إعادة كتابة المعادلة التفاضلية على النحو التالي: $H (x (t)) = y (t)$ ، مما يدل على أن المذبذب التوافقي البسيط هو نظام خطي.

ومن الأمثلة الأخرى على الأنظمة الخطية تلك التي وصفها... $y(t)=k\,x(t)$ ، $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ ، $y(t)=k\,\int _{-\infty }^{t}x(\tau )\mathrm {d} \tau$ وأي نظام موصوف بمعادلات تفاضلية خطية عادية. ^{[ 4 ]} الأنظمة الموصوفة بواسطة $y(t)=k$ ، $y(t)=k\,x(t)+k_{0}$ ، $y(t)=\sin {[x(t)]}$ ، $y(t)=\cos {[x(t)]}$ ، $y(t)=x^{2}(t)$ ، ${\textstyle y(t)={\sqrt {x(t)}}}$ ، $y(t)=|x(t)|$ والنظام ذو المخرجات ذات التناظر الفردي، والذي يتكون من منطقة خطية ومنطقة تشبع (ثابتة)، هو نظام غير خطي لأنه لا يحقق دائمًا مبدأ التراكب. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]}^{[ 10 ]}

لا يشترط أن يكون الرسم البياني للمخرجات مقابل المدخلات لنظام خطي خطًا مستقيمًا يمر بنقطة الأصل. على سبيل المثال، لنفترض نظامًا موصوفًا بـ $y(t)=k\,{\frac {\mathrm {d} x(t)}{\mathrm {d} t}}$ (مثل مكثف ذي سعة ثابتة أو محث ذي حث ثابت ). وهو خطي لأنه يحقق مبدأ التراكب. مع ذلك، عندما يكون الدخل موجة جيبية، يكون الخرج أيضًا موجة جيبية، وبالتالي يكون منحنى الخرج-الدخل عبارة عن قطع ناقص مركزه نقطة الأصل بدلًا من خط مستقيم يمر بها.

كذلك، يمكن أن يحتوي خرج النظام الخطي على توافقيات (ويكون له تردد أساسي أصغر من تردد الدخل) حتى عندما يكون الدخل موجة جيبية. على سبيل المثال، لنفترض نظامًا موصوفًا بـ $y(t)=(1.5+\cos {(t)})\,x(t)$ إنها خطية لأنها تحقق مبدأ التراكب. ومع ذلك، عندما يكون المدخل دالة جيبية من الشكل $x(t)=\cos {(3t)}$ باستخدام متطابقات حساب المثلثات من الضرب إلى الجمع ، يمكن إثبات أن الناتج هو $y(t)=1.5\cos {(3t)}+0.5\cos {(2t)}+0.5\cos {(4t)}$ أي أن الخرج لا يتكون فقط من موجات جيبية بنفس تردد الإدخال ( 3 راديان/ثانية )، بل يتكون أيضًا من موجات جيبية بترددات 2 راديان/ثانية و 4 راديان/ثانية ؛ علاوة على ذلك، بأخذ المضاعف المشترك الأصغر للدورة الأساسية للموجات الجيبية للخرج، يمكن إثبات أن التردد الزاوي الأساسي للخرج هو 1 راديان/ثانية ، وهو يختلف عن تردد الإدخال.

استجابة نبضية متغيرة مع الزمن

يُعرَّف استجابة النبضة المتغيرة $مع$ الزمن $h (t₂, t₁)$ لنظام خطي بأنها استجابة النظام عند الزمن t = t₂ لنبضة واحدة تُطبَّق عند الزمن $t$ $=$ $t₁$ $.$ بعبارة أخرى، إذا كان _مُدخل $x$ $($ $t$ $)$ لنظام $خطي$ هو $x(t)=\delta (t-t_{1})$ حيث تمثل $δ(t)$ دالة ديراك دلتا ، والاستجابة المقابلة $y (t)$ للنظام هي $y(t=t_{2})=h(t_{2},t_{1})$ $إذن ،$ الدالة $h (t2, t1)$ هي استجابة النظام النبضية المتغيرة مع الزمن. وبما أن النظام لا يستطيع الاستجابة قبل تطبيق الإشارة المدخلة، $فيجب$ استيفاء شرط السببية التالي: $h(t_{2},t_{1})=0,t_{2}<t_{1}$

التكامل التلفيفي

يرتبط ناتج أي نظام خطي عام مستمر الزمن بالمدخلات من خلال تكامل يمكن كتابته على مدى لانهائي مزدوج بسبب شرط السببية: $y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(t,t')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(t,t')x(t')dt'$

إذا لم تعتمد خصائص النظام على وقت تشغيله، يُقال إنه ثابت زمنيًا، ويكون $h$ دالةً فقط لفرق الزمن $τ = t - t'،$ والذي يساوي صفرًا عندما $τ < 0$ (أي عندما $t < t'$ ). وبإعادة تعريف $h$ ، يُمكن كتابة علاقة المدخلات والمخرجات بشكل مكافئ بأي من الطرق التالية: $y(t)=\int _{-\infty }^{t}h(tt')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(tt')x(t')dt'=\int _{-\infty }^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau =\int _{0}^{\infty }h(\tau )x(t-\tau )d\tau$

تتميز الأنظمة الخطية الثابتة مع الزمن عادةً بتحويل لابلاس لدالة استجابة النبضة، والتي تسمى دالة التحويل ، وهي: $H(s)=\int _{0}^{\infty }h(t)e^{-st}\,dt.$

في التطبيقات، عادةً ما تكون هذه دالة جبرية كسرية لـ $s$ . ولأن $h (t)$ تساوي صفرًا عند قيم $t$ السالبة ، يمكن كتابة التكامل بنفس الطريقة على المدى اللانهائي المزدوج، وبوضع $s = iω$ نحصل على صيغة دالة استجابة التردد : $H(i\omega )=\int _{-\infty }^{\infty }h(t)e^{-i\omega t}dt$

أنظمة الزمن المنفصل

يرتبط ناتج أي نظام خطي منفصل زمنياً بالمدخلات من خلال مجموع الالتفاف المتغير مع الزمن: $y[n]=\sum _{m=-\infty }^{n}{h[n,m]x[m]}=\sum _{m=-\infty }^{\infty }{h[n,m]x[m]}$ أو بشكل مكافئ لنظام ثابت مع الزمن عند إعادة تعريف $h$ ، $y[n]=\sum _{k=0}^{\infty }{h[k]x[n-k]}=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{h[k]x[n-k]}$ أين $k=n-m$ يمثل هذا الوقت الفاصل بين التحفيز في الوقت m والاستجابة في الوقت n .

انظر أيضاً

مراجع

↑ فيليبس، تشارلز ل.؛ بار، جون م.؛ ريسكين، إيف أ. (2008). الإشارات والأنظمة والتحويلات ( الطبعة الرابعة). بيرسون. ص 74. ISBN 978-0-13-198923-8.
1 2 بيساي، هورست ج. (2005). إشارات وأنظمة MIMO . سبرينغر. ص 27-28 . ISBN 0-387-23488-8.
↑ ألكين، أوكتاي (2014). الإشارات والأنظمة: منهج متكامل باستخدام MATLAB . مطبعة CRC. ص 99. ISBN 978-1-4665-9854-6.
1 2 3 نهفي، محمود (2014). الإشارات والأنظمة . ماكجرو هيل. الصفحات 162-164 ، 166، 183. ISBN 978-0-07-338070-4.
↑ سونداراراجان، د. (2008). مدخل عملي للإشارات والأنظمة . وايلي. ص 80. ISBN 978-0-470-82353-8.
1 2 3 روبرتس، مايكل ج. (2018). الإشارات والأنظمة: التحليل باستخدام طرق التحويل و MATLAB® ( الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل. الصفحات 131، 133-134 . ISBN 978-0-07-802812-0.
↑ ديرغا راو، ك. (2018). الإشارات والأنظمة . سبرينغر. ص 43-44 . ISBN 978-3-319-68674-5.
↑ تشين، تشي تسونغ (2004). الإشارات والأنظمة ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة أكسفورد. الصفحات 55-57 . ISBN 0-19-515661-7.
↑ العلي، تان س.؛ كريم، محمد أ. (2008). الإشارات والأنظمة المستمرة باستخدام MATLAB ( الطبعة الثانية). مطبعة CRC. ص 53. ISBN 978-1-4200-5475-0.
↑ أبتي، شايلا دينكار (2016). الإشارات والأنظمة: المبادئ والتطبيقات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 187. ISBN 978-1-107-14624-2.

[Phillips_2008-1] فيليبس، تشارلز ل.؛ بار، جون م.؛ ريسكين، إيف أ. (2008). الإشارات والأنظمة والتحويلات ( الطبعة الرابعة). بيرسون. ص 74. ISBN 978-0-13-198923-8.

[Bessai_2005-2] 1 2 بيساي، هورست ج. (2005). إشارات وأنظمة MIMO . سبرينغر. ص 27-28 . ISBN 0-387-23488-8.

[Alkin_2014-3] ألكين، أوكتاي (2014). الإشارات والأنظمة: منهج متكامل باستخدام MATLAB . مطبعة CRC. ص 99. ISBN 978-1-4665-9854-6.

[Nahvi_2014-4] 1 2 3 نهفي، محمود (2014). الإشارات والأنظمة . ماكجرو هيل. الصفحات 162-164 ، 166، 183. ISBN 978-0-07-338070-4.

[Sundararajan_2008-5] سونداراراجان، د. (2008). مدخل عملي للإشارات والأنظمة . وايلي. ص 80. ISBN 978-0-470-82353-8.

[Roberts_2018-6] 1 2 3 روبرتس، مايكل ج. (2018). الإشارات والأنظمة: التحليل باستخدام طرق التحويل و MATLAB® ( الطبعة الثالثة). ماكجرو هيل. الصفحات 131، 133-134 . ISBN 978-0-07-802812-0.

[DeerghaRao_2018-7] ديرغا راو، ك. (2018). الإشارات والأنظمة . سبرينغر. ص 43-44 . ISBN 978-3-319-68674-5.

[Chen_2004-8] تشين، تشي تسونغ (2004). الإشارات والأنظمة ( الطبعة الثالثة). مطبعة جامعة أكسفورد. الصفحات 55-57 . ISBN 0-19-515661-7.

[ElAliKarim_2008-9] العلي، تان س.؛ كريم، محمد أ. (2008). الإشارات والأنظمة المستمرة باستخدام MATLAB ( الطبعة الثانية). مطبعة CRC. ص 53. ISBN 978-1-4200-5475-0.

[Apte_2016-10] أبتي، شايلا دينكار (2016). الإشارات والأنظمة: المبادئ والتطبيقات . مطبعة جامعة كامبريدج. ص 187. ISBN 978-1-107-14624-2.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]