دالة ديراك دلتا

إحدى طرق التعبير بدقة عن مفهوم دالة ديراك دلتا هي تعريف مقياس ، يُسمى مقياس ديراك ، والذي يقبل مجموعة جزئية${\displaystyle A}$خط الواقع${\displaystyle \mathbb {R} }$كوسيط، ويعيد${\displaystyle \delta (A)=1}$لو${\displaystyle 0\in A}$، و${\displaystyle \delta (A)=0}$وإلا. ^{[ 28 ]} إذا تم تصور دالة دلتا على أنها تمثل كتلة نقطية مثالية عند 0، فإن${\displaystyle \delta (A)}$يمثل الكتلة الموجودة في المجموعة${\displaystyle A}$يمكن للمرء بعد ذلك تعريف التكامل مقابل${\displaystyle \delta }$باعتباره تكامل دالة بالنسبة لتوزيع الكتلة هذا. رسميًا، يوفر تكامل لوبيغ الأداة التحليلية اللازمة. تكامل لوبيغ بالنسبة للمقياس${\displaystyle \delta }$يرضي $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=f(0)}$$ لجميع الدوال المتصلة ذات الدعم المضغوط${\displaystyle f}$المقياس${\displaystyle \delta }$ليست دالة دلتا متصلة بشكل مطلق بالنسبة لمقياس ليبيغ ، بل هي في الواقع مقياس شاذ . ونتيجة لذلك، لا يمتلك مقياس دلتا مشتقة رادون-نيكوديم (بالنسبة لمقياس ليبيغ)، أي لا توجد دالة حقيقية تحقق الخاصية المذكورة. $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (x)\,dx=f(0)}$$^{[ 29 ]} ونتيجة لذلك، فإن الترميز الأخير هو إساءة استخدام ملائمة للترميز ، وليس تكاملاً قياسياً ( ريمان أو ليبيغ ). ^{[ 30 ]}

كمقياس احتمالي على${\displaystyle \mathbb {R} }$تتميز دالة دلتا بتوزيعها التراكمي ، وهي دالة الخطوة الوحدوية . ^{[ 31 ]}$${\displaystyle H(x)={\begin{cases}1&{\text{if }}x\geq 0\\0&{\text{if }}x<0.\end{cases}}}$$ هذا يعني أن${\displaystyle H(x)}$هو تكامل دالة المؤشر التراكمي${\displaystyle \mathbb {1} _{(-\infty ,x]}}$فيما يتعلق بالتدبير${\displaystyle \delta }$أي بعبارة أخرى، $${\displaystyle H(x)=\int _{\mathbf {R} }\mathbf {1} _{(-\infty ,x]}(t)\,\delta (dt)=\delta \!\left((-\infty ,x]\right),}$$ وهذا الأخير هو مقياس هذه الفترة. وبالتالي، على وجه الخصوص، يمكن فهم تكامل دالة دلتا مقابل دالة متصلة بشكل صحيح على أنه تكامل ريمان-ستيلتيس : ^{[ 32 ]}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (dx)=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dH(x).}$$

جميع اللحظات العليا من${\displaystyle \delta }$تساوي صفرًا. وعلى وجه الخصوص، فإن الدالة المميزة ودالة توليد العزوم تساويان واحدًا. ^{[ 33 ]}

في نظرية التوزيعات ، لا تُعتبر الدالة المعممة دالة في حد ذاتها، بل تُعتبر كذلك من خلال تأثيرها على الدوال الأخرى عند "تكاملها" معها. ^{[ 34 ]} وتماشياً مع هذه الفلسفة، يكفي لتعريف دالة دلتا تعريفاً صحيحاً، تحديد "تكامل" دالة دلتا مع دالة اختبار "جيدة" بما فيه الكفاية.${\displaystyle \varphi }$^{[ 7 ]} إذا كانت دالة دلتا مفهومة بالفعل على أنها مقياس، فإن تكامل ليبيغ لدالة اختبار مقابل ذلك المقياس يوفر التكامل اللازم. ^{[ 35 ]}

يتكون فضاء نموذجي لدوال الاختبار من جميع الدوال الملساء على${\displaystyle \mathbb {R} }$مع دعم مضغوط يحتوي على عدد من المشتقات حسب الحاجة. كتوزيع، فإن دالة ديراك دلتا هي دالة خطية على فضاء دوال الاختبار، وتُعرَّف بواسطة

${\displaystyle \delta [\varphi ]=\varphi (0)}$

1

لكل دالة اختبار${\displaystyle \varphi }$[ ^{36 ]​}

ل${\displaystyle \delta }$لكي يكون توزيعًا صحيحًا، يجب أن يكون متصلًا في طوبولوجيا مناسبة على فضاء دوال الاختبار. بشكل عام، بالنسبة للدالة الخطية${\displaystyle S}$على فضاء دوال الاختبار لتحديد توزيع، من الضروري والكافي أنه لكل عدد صحيح موجب${\displaystyle N}$يوجد عدد صحيح${\displaystyle M_{N}}$وثابت${\displaystyle C_{N}}$بحيث يكون لكل دالة اختبار${\displaystyle \varphi }$، هناك عدم المساواة $${\displaystyle \left|S[\varphi ]\right|\leq C_{N}\sum _{k=0}^{M_{N}}\sup _{x\in [-N,N]}\left|\varphi ^{(k)}(x)\right|}$$ أين${\displaystyle \sup }$يمثل الحد الأعلى . مع${\displaystyle \delta }$التوزيع، يكون لدى المرء مثل هذه المتباينة (مع${\displaystyle C_{N}=1}$مع${\displaystyle M_{N}=0}$للجميع${\displaystyle N}$. هكذا،${\displaystyle \delta }$هو توزيع من الرتبة الصفرية. وهو كذلك توزيع ذو نطاق محدود؛ النطاق هو${\displaystyle \{0\}}$[ ^{37 ]​}

يمكن تعريف توزيع دلتا بعدة طرق متكافئة. على سبيل المثال، هو المشتق التوزيعي لدالة هيفسايد المتدرجة . هذا يعني أنه لكل دالة اختبار φ ، يكون لدينا $${\displaystyle \delta [\varphi ]=-\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx.}$$

بشكل بديهي، إذا سُمح بالتكامل بالتجزئة ، فإن التكامل الأخير سيتبسط إلى $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,H'(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,\delta (x)\,dx,}$$ وبالفعل، يُسمح بنوع من التكامل بالتجزئة لتكامل ستيلتجس، وفي هذه الحالة، يكون لدى المرء $${\displaystyle -\int _{-\infty }^{\infty }\varphi '(x)\,H(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\varphi (x)\,dH(x).}$$

في سياق نظرية القياس، يُنتج قياس ديراك توزيعًا بالتكامل. وعلى العكس، تُعرّف المعادلة ( 1 ) تكامل دانييل على فضاء جميع الدوال المتصلة ذات الدعم المدمج.${\displaystyle \varphi }$والذي، وفقًا لنظرية تمثيل ريز ، يمكن تمثيله على أنه تكامل ليبيغ لـ${\displaystyle \varphi }$فيما يتعلق ببعض مقاييس رادون . ^{[ 38 ]}

عمومًا، عندما يُستخدم مصطلح دالة ديراك دلتا ، فإنه يُقصد به التوزيعات وليس المقاييس، إذ يُعد مقياس ديراك أحد المصطلحات العديدة المستخدمة للدلالة على المفهوم المقابل في نظرية القياس. وقد تستخدم بعض المصادر أيضًا مصطلح توزيع ديراك دلتا .

يمكن تعريف دالة دلتا في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n ، R ^n، على أنها المقياس الذي يحقق

$${\displaystyle \int _{\mathbf {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\delta (d\mathbf {x} )=f(\mathbf {0} )}$$

لكل دالة متصلة f _ذات دعم مضغوط . كمقياس، دالة دلتا ذات البعد n هي مقياس حاصل ضرب دوال دلتا أحادية البعد في كل متغير على حدة. وبالتالي، رسميًا، مع x = ( _x1 , x2 , _... , xn ) ، يكون لدينا ^{[ 39 ]}

${\displaystyle \delta (\mathbf {x} )=\delta (x_{1})\,\delta (x_{2})\cdots \delta (x_{n}).}$

2

يمكن تعريف دالة دلتا أيضًا بمعنى التوزيعات تمامًا كما سبق في الحالة أحادية البعد. ^{[ 40 ]} ومع ذلك، على الرغم من شيوع استخدامها في السياقات الهندسية، ينبغي التعامل مع المعادلة ( 2 ) بحذر، لأن حاصل ضرب التوزيعات لا يمكن تعريفه إلا في ظروف محددة للغاية. ^{[ 41 ] [ 42 ]}

مفهوم مقياس ديراك منطقي على أي مجموعة. ^{[ 28 ]} وبالتالي ، إذا كانت X مجموعة، و x _∈ X نقطة مميزة، و Σ أي جبر سيجما للمجموعات الجزئية من X ، فإن المقياس المعرف على المجموعات A ∈ Σ بواسطة

$${\displaystyle \delta _{x_{0}}(A)={\begin{cases}1&{\text{if }}x_{0}\in A\\0&{\text{if }}x_{0}\notin A\end{cases}}}$$

هل مقياس دلتا أو وحدة الكتلة مركزة عند x ₀ ؟

من التعميمات الشائعة الأخرى لدالة دلتا تطبيقها على مشعب قابل للتفاضل ، حيث يمكن الاستفادة من معظم خصائصها كتوزيع نظرًا لبنيتها القابلة للتفاضل . تُعرَّف دالة دلتا على مشعب M متمركز عند النقطة x₀ _∈ M على النحو التالي:

${\displaystyle \delta _{x_{0}}[\varphi ]=\varphi (x_{0})}$

3

لجميع الدوال الحقيقية الملساء ذات الدعم المدمج ^{φ على M. [43]} الحالة الخاصة الشائعة ^{لهذا البناء} هي حالة تكون فيها M مجموعة مفتوحة في الفضاء الإقليدي R ⁿ .

في فضاء هاوسدورف X متراص محليًا ، يكون مقياس ديراك دلتا المُركّز عند نقطة x هو مقياس رادون المرتبط بتكامل دانييل ( 3 ) على الدوال المتصلة ذات الدعم المتراص φ . ^{[ 44 ]} عند هذا المستوى من العمومية، لم يعد حساب التفاضل والتكامل ممكنًا بحد ذاته، ولكن تتوفر مجموعة متنوعة من التقنيات من التحليل المجرد. على سبيل المثال، التطبيق${\displaystyle x_{0}\mapsto \delta _{x_{0}}}$هو تضمين مستمر لـ X في فضاء مقاييس رادون المحدودة على X ، مزود بطوبولوجيا غامضة . علاوة على ذلك، فإن الغلاف المحدب لصورة X تحت هذا التضمين كثيف في فضاء مقاييس الاحتمال على X. ^{[ 45 ]}

تحقق دالة دلتا خاصية القياس التالية لعدد قياسي غير صفري${\displaystyle \alpha }$[ ^{46 ]​}$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\alpha x)f(x)\,dx=\int _{-\infty }^{\infty }\delta (u)f(u/\alpha )\,{\frac {du}{|\alpha |}}={\frac {f(0)}{|\alpha |}}}$$

وهكذا

${\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.}$

4

على وجه الخصوص، دالة دلتا هي توزيع متساوٍ (متناظر)، بمعنى أن

$${\displaystyle \delta (-x)=\delta (x)}$$

وهو متجانس من الدرجة -1 .

حاصل الضرب التوزيعي لـ δ مع x يساوي صفرًا:

$${\displaystyle x\,\delta (x)=0.}$$

وبشكل عام،${\displaystyle (x-a)^{n}\delta (x-a)=0}$لجميع الأعداد الصحيحة الموجبة${\displaystyle n}$.

وعلى العكس من ذلك، إذا كان xf ( x ) = xg ( x ) ، حيث f و g توزيعان، فإن

$${\displaystyle f(x)=g(x)+c\delta (x)}$$

لبعض الثوابت c . ^{[ 47 ]}

تكامل أي دالة مضروبة في دالة ديراك دلتا المتأخرة زمنيًا${\displaystyle \delta _{T}(t){=}\delta (t{-}T)}$يكون

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,\delta (t-T)\,dt=f(T).}$$

يُشار إلى هذا أحيانًا بخاصية التصفية ^{[ 48 ]} أو خاصية أخذ العينات ^{[ 49 ]} . ويُقال إن دالة دلتا "تصفّي" قيمة f(t) عند t = T ^{[ 50 ]} .

ويترتب على ذلك أن تأثير إجراء عملية الالتفاف لدالة f ( t ) مع دالة ديراك دلتا المتأخرة زمنيا هو تأخير f ( t ) زمنيا بنفس المقدار: ^{[ 51 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}(f*\delta _{T})(t)\ &{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (t-T-\tau )\,d\tau \\&=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,\delta (\tau -(t-T))\,d\tau \qquad {\text{since}}~\delta (-x)=\delta (x)~~{\text{by (4)}}\\&=f(t-T).\end{aligned}}}$$

تتحقق خاصية التصفية بشرط أن تكون f توزيعًا معتدلًا (انظر مناقشة تحويل فورييه أدناه ). كحالة خاصة، على سبيل المثال، لدينا المتطابقة (بمعنى التوزيع).

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\delta (\xi -x)\delta (x-\eta )\,dx=\delta (\eta -\xi ).}$$

وبشكل أعم، يمكن تكوين توزيع دلتا باستخدام دالة سلسة g ( x ) بحيث تتحقق صيغة تغيير المتغيرات المألوفة (حيث${\displaystyle u=g(x)}$)، الذي - التي

$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} }\delta {\bigl (}g(x){\bigr )}f{\bigl (}g(x){\bigr )}\left|g'(x)\right|dx=\int _{g(\mathbb {R} )}\delta (u)\,f(u)\,du}$$

بشرط أن تكون g دالة قابلة للتفاضل باستمرار وأن تكون g ′ غير صفرية في أي مكان. ^{[ 52 ]} أي أن هناك طريقة فريدة لإضفاء معنى على التوزيع${\displaystyle \delta \circ g}$وبالتالي، فإن هذه المتطابقة صحيحة لجميع دوال الاختبار f ذات الدعم المحدود . لذلك، يجب تقسيم المجال لاستبعاد النقطة g ′ = 0. يحقق هذا التوزيع δ ( g ( x )) = 0 إذا لم تكن g تساوي صفرًا في أي مكان ، وإلا إذا كان لـ g جذر حقيقي عند x₀ _.

$${\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}$$

لذلك، من الطبيعي تعريف التركيب δ ( g ( x )) للدوال g القابلة للتفاضل باستمرار كما يلي:

$${\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}$$

حيث يمتد المجموع على جميع جذور الدالة g ( x ) ، والتي يُفترض أنها بسيطة . على سبيل المثال،

$${\displaystyle \delta \left(x^{2}-\alpha ^{2}\right)={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta \left(x+\alpha \right)+\delta \left(x-\alpha \right){\Big ]}.}$$

في الصيغة التكاملية، يمكن كتابة خاصية القياس المعممة على النحو التالي:

$${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,\delta (g(x))\,dx=\sum _{i}{\frac {f(x_{i})}{|g'(x_{i})|}}.}$$

للحصول على ثبات${\displaystyle a\in \mathbb {R} }$ودالة حقيقية عشوائية "حسنة السلوك" y ( x ) ، $${\displaystyle \displaystyle {\int }y(x)\delta (x-a)dx=y(a)H(x-a)+c,}$$ حيث H ( x ) هي دالة هيفسايد المتدرجة و c هو ثابت التكامل.

بدلاً من ذلك، فإن توزيع دلتا في فضاء ذي أبعاد n يحقق خاصية القياس التالية، $${\displaystyle \delta (\alpha {\boldsymbol {x}})=|\alpha |^{-n}\delta ({\boldsymbol {x}})~,}$$ بحيث يكون δ توزيعًا متجانسًا من الدرجة − n .

تحت أي انعكاس أو دوران ρ ، تظل دالة دلتا ثابتة. $${\displaystyle \delta (\rho {\boldsymbol {x}})=\delta ({\boldsymbol {x}})~.}$$

كما هو الحال في حالة المتغير الواحد، من الممكن تعريف تركيب δ بدالة ثنائية ليبشيتز ^{[ 53 ]} g : R ⁿ → R ⁿ بشكل فريد بحيث يتحقق ما يلي $${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,f(g({\boldsymbol {x}}))\left|\det g'({\boldsymbol {x}})\right|d{\boldsymbol {x}}=\int _{g(\mathbb {R} ^{n})}\delta ({\boldsymbol {u}})f({\boldsymbol {u}})\,d{\boldsymbol {u}}}$$ لجميع الدوال ذات الدعم المحدود f .

باستخدام صيغة المساحة المشتركة من نظرية القياس الهندسي ، يمكن أيضًا تعريف تركيب دالة دلتا مع غمر من فضاء إقليدي إلى آخر ذي بُعد مختلف؛ والنتيجة هي نوع من التيار . في الحالة الخاصة لدالة قابلة للتفاضل باستمرار g  : R ⁿ → R بحيث لا يساوي تدرج g صفرًا في أي مكان، تتحقق المتطابقة التالية ^{[ 54 ]} .$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}f({\boldsymbol {x}})\,\delta (g({\boldsymbol {x}}))\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{g^{-1}(0)}{\frac {f({\boldsymbol {x}})}{|{\boldsymbol {\nabla }}g|}}\,d\sigma ({\boldsymbol {x}})}$$ حيث يكون التكامل على اليمين على g ⁻¹ (0) ، وهو السطح ذو البعد ( n − 1) المعرّف بواسطة g ( x ) = 0 بالنسبة لمقياس محتوى مينكوفسكي . يُعرف هذا باسم التكامل الطبقي البسيط .

بشكل عام، إذا كان S سطحًا فائقًا أملسًا لـ R ⁿ ، فيمكننا ربط S بالتوزيع الذي يكامل أي دالة ملساء ذات دعم مضغوط g على S : $${\displaystyle \delta _{S}[g]=\int _{S}g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}})}$$

حيث σ هو مقياس السطح الفائق المرتبط بـ S. يرتبط هذا التعميم بنظرية الجهد الكامنة للطبقات البسيطة على S. إذا كانت D نطاقًا في R ⁿ بحدود ناعمة S ، فإن δ _S يساوي المشتق الطبيعي لدالة المؤشر لـ D بمعنى التوزيع.

$${\displaystyle -\int _{\mathbb {R} ^{n}}g({\boldsymbol {x}})\,{\frac {\partial 1_{D}({\boldsymbol {x}})}{\partial n}}\,d{\boldsymbol {x}}=\int _{S}\,g({\boldsymbol {s}})\,d\sigma ({\boldsymbol {s}}),}$$

حيث n هو المتجه العمودي الخارجي. ^{[ 55 ] [ 56 ]}

في ثلاثة أبعاد، دالة دلتا عند${\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})=(\sin \theta _{0}\cos \phi _{0},\sin \theta _{0}\sin \phi _{0},\cos \theta _{0})r_{0}}$يتم تمثيلها في الإحداثيات الكروية بواسطة:

$${\displaystyle \delta ({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}_{0})={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0})\delta (\phi -\phi _{0}),&x_{0}^{2}+y_{0}^{2}>0;\\\displaystyle {\frac {1}{2\pi r^{2}\sin \theta }}\delta (r-r_{0})\delta (\theta -\theta _{0}),&x_{0}=y_{0}=0,\ z_{0}=\pm r_{0}\neq 0;\\\displaystyle {\frac {1}{4\pi r^{2}}}\delta (r-r_{0}),&x_{0}=y_{0}=z_{0}=r_{0}=0.\end{cases}}}$$

وبشكل أعم، على مجموعة مفتوحة U في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد n${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$يتم تعريف توزيع ديراك دلتا المتمركز عند نقطة a ∈ U بواسطة ^{[ 61 ]}$${\displaystyle \delta _{a}[\varphi ]=\varphi (a)}$$ للجميع${\displaystyle \varphi \in C_{c}^{\infty }(U)}$، فضاء جميع الدوال الملساء ذات الدعم المضغوط على U. إذا${\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})}$أي فهرس متعدد مع${\displaystyle |\alpha |=\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}}$و${\displaystyle \partial ^{\alpha }}$يشير إلى عامل التفاضل الجزئي المختلط المرتبط ، ثم يتم إعطاء المشتقة α -th ∂ ^α δ _a لـ δ _{a بواسطة} ^{[ 61 ]}

$${\displaystyle \left\langle \partial ^{\alpha }\delta _{a},\,\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\left\langle \delta _{a},\partial ^{\alpha }\varphi \right\rangle =(-1)^{|\alpha |}\partial ^{\alpha }\varphi (x){\Big |}_{x=a}\quad {\text{ for all }}\varphi \in C_{c}^{\infty }(U).}$$

أي أن المشتقة α لـ δ _a هي التوزيع الذي تكون قيمته على أي دالة اختبار φ هي المشتقة α لـ φ عند a (مع الإشارة الموجبة أو السالبة المناسبة).

تُعتبر المشتقات الجزئية الأولى لدالة دلتا بمثابة طبقات مزدوجة على طول مستويات الإحداثيات. وبشكل أعم، فإن المشتق العمودي لطبقة بسيطة مدعومة على سطح ما هو طبقة مزدوجة مدعومة على ذلك السطح، ويمثل قطبًا مغناطيسيًا أحاديًا صفائحيًا. تُعرف المشتقات الأعلى لدالة دلتا في الفيزياء باسم الأقطاب المتعددة . ^{[ 62 ]}

تدخل المشتقات العليا في الرياضيات بشكل طبيعي باعتبارها اللبنات الأساسية للبنية الكاملة للتوزيعات ذات الدعم النقطي. إذا كان S أي توزيع على U مدعومًا بالمجموعة { a } التي ^تتكون من نقطة واحدة، فإنه يوجد عدد صحيح m ومعاملات cα بحيث ^{[ 61 ] [ 63} _]$${\displaystyle S=\sum _{|\alpha |\leq m}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }\delta _{a}.}$$

يمكن إنشاء دالة دلتا تقريبية η _ε بالطريقة التالية. لتكن η دالة قابلة للتكامل المطلق على R ذات تكامل كلي يساوي 1 ، وعرّف $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

في الأبعاد n ، يتم استخدام التحجيم بدلاً من ذلك $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-n}\eta \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right).}$$

ثم يُظهر تغيير بسيط للمتغيرات أن η _ε لها أيضًا التكامل 1. ويمكن إثبات أن ( 5 ) صحيحة لجميع الدوال f المتصلة ذات الدعم المضغوط ، ^{[ 64 ]} وبالتالي فإن η _ε تتقارب تقاربًا ضعيفًا إلى δ بمعنى القياسات.

تُعرف المتتالية η _ε المُنشأة بهذه الطريقة بتقريب للمتطابقة . ^{[ 65 ]} ويعود هذا المصطلح إلى أن فضاء الدوال القابلة للتكامل المطلق L₁ ( R ⁾ مغلق تحت عملية التفاف الدوال: f * g ∈ L₁ ( R ) كلما كانت f و g تنتميان إلى ^L₁ ( R ) . ومع ذلك، لا توجد متطابقة في L₁ ( R ) لحاصل الالتفاف: لا يوجد عنصر ^h بحيث يكون f * h = f لجميع ^قيم f . ومع ذلك ، فإن المتتالية η _ε تُقارب هذه المتطابقة بالمعنى التالي:

$${\displaystyle f*\eta _{\varepsilon }\to f\quad {\text{as }}\varepsilon \to 0.}$$

ينطبق هذا الحد بمعنى التقارب المتوسط ​​(التقارب في L1 ). يلزم وضع شروط إضافية على η _ε ، على سبيل المثال أن تكون دالة تنعيم مرتبطة بدالة ذات دعم مضغوط، ^{[ 66 ] لضمان} التقارب النقطي في كل مكان تقريبًا .

إذا كانت الدالة الأولية η = η ₁ سلسة ومحدودة الدعم، فإن المتتالية تُسمى دالة تنعيم . وتُحصل دالة التنعيم القياسية باختيار η لتكون دالة نتوء مُعَيَّرة بشكل مناسب ، على سبيل المثال

$${\displaystyle \eta (x)={\begin{cases}{\frac {1}{I_{n}}}\exp {\Big (}-{\frac {1}{1-|x|^{2}}}{\Big )}&{\text{if }}|x|<1\\0&{\text{if }}|x|\geq 1.\end{cases}}}$$ (${\displaystyle I_{n}}$(مع ضمان أن يكون التكامل الكلي يساوي 1).

في بعض الحالات، مثل التحليل العددي ، يُفضّل استخدام تقريب خطي متقطع للمعادلة. ويمكن الحصول على ذلك باعتبار η₁ دالة قبعة . وبهذا الاختيار لـ η₁ _{، نحصل} على

$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)=\varepsilon ^{-1}\max \left(1-\left|{\frac {x}{\varepsilon }}\right|,0\right)}$$

وهي جميعها متصلة ومدعومة بشكل مضغوط، على الرغم من أنها ليست ناعمة وبالتالي ليست مادة ملينة.

في سياق نظرية الاحتمالات ، من الطبيعي فرض شرط إضافي يتمثل في أن تكون _{قيمة η₁} الأولية في تقريب دالة التطابق موجبة، لأن هذه الدالة تمثل حينها توزيعًا احتماليًا . يُعدّ الالتفاف مع التوزيع الاحتمالي مفيدًا في بعض الأحيان لأنه لا ينتج عنه تجاوز أو نقص، حيث يكون الناتج عبارة عن توليفة محدبة من قيم المدخلات، وبالتالي يقع بين الحد الأقصى والحد الأدنى لدالة المدخلات. بافتراض أن _{η₁ هو أي توزيع احتمالي، ووضع ηε(x) = η₁} ( x / ε ₎ / ε كما سبق ، نحصل على تقريب لدالة التطابق. بشكل عام، يتقارب هذا التقريب بسرعة أكبر إلى دالة دلتا إذا كان متوسط _​​η₁ يساوي صفرًا وله عزوم عليا صغيرة. على سبيل المثال، إذا كان _η₁ هو التوزيع المنتظم على${\textstyle \left[-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}}\right]}$، والمعروفة أيضًا باسم الدالة المستطيلة ، إذن: ^{[ 67 ]}$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}\operatorname {rect} \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\begin{cases}{\frac {1}{\varepsilon }},&-{\frac {\varepsilon }{2}}<x<{\frac {\varepsilon }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

مثال آخر هو توزيع ويغنر نصف الدائري$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\begin{cases}{\frac {2}{\pi \varepsilon ^{2}}}{\sqrt {\varepsilon ^{2}-x^{2}}},&-\varepsilon <x<\varepsilon ,\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$$

هذا المنتج مستمر ومدعوم بشكل مضغوط، ولكنه ليس مادة ملينة لأنه ليس أملسًا.

غالبًا ما تظهر تقريبات دوال دلتا على شكل أنصاف زمر التفافية . ^{[ 68 ]} وهذا يُعادل قيدًا إضافيًا يتمثل في أن التفاف η _ε مع η _δ يجب أن يُحقق $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }*\eta _{\delta }=\eta _{\varepsilon +\delta }}$$

لكل ε ، δ > 0. إن أنصاف الزمر الالتفافية في L ¹ التي تقارب دالة دلتا هي دائمًا تقريب للهوية بالمعنى المذكور أعلاه، ومع ذلك فإن شرط شبه الزمرة هو قيد قوي للغاية.

عمليًا، تنشأ أنصاف الزمر التي تقارب دالة دلتا كحلول أساسية أو دوال غرين لمعادلات تفاضلية جزئية إهليلجية أو مكافئة ذات دوافع فيزيائية . في سياق الرياضيات التطبيقية ، تنشأ أنصاف الزمر كمخرج لنظام خطي ثابت مع الزمن . بشكل مجرد، إذا كان A مؤثرًا خطيًا يعمل على دوال x ، فإن نصف زمرة الالتفاف تنشأ بحل مسألة القيمة الابتدائية.

$${\displaystyle {\begin{cases}{\dfrac {\partial }{\partial t}}\eta (t,x)=A\eta (t,x),\quad t>0\\[5pt]\displaystyle \lim _{t\to 0^{+}}\eta (t,x)=\delta (x)\end{cases}}}$$

حيث يُفهم الحد، كالمعتاد، بالمعنى الضعيف. بوضع η _ε ( x ) = η ( ε , x ) نحصل على دالة دلتا التقريبية المرتبطة بها.

تتضمن بعض الأمثلة على أنصاف المجموعات الالتفافية ذات الأهمية الفيزيائية والناشئة عن مثل هذا الحل الأساسي ما يلي.

نواة الحرارة

النواة الحرارية ، المحددة بواسطة ^{[ 69 ]}$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \varepsilon }}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x^{2}}{2\varepsilon }}}}$$ تمثل درجة الحرارة في سلك لانهائي عند الزمن t > 0 ، إذا تم تخزين وحدة من الطاقة الحرارية عند نقطة الأصل في السلك عند الزمن t = 0. تتطور هذه المجموعة النصفية وفقًا لمعادلة الحرارة أحادية البعد : $${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}.}$$

في نظرية الاحتمالات ، يُمثل η _ε ( x ) توزيعًا طبيعيًا بتباين ε ومتوسط ​​0. وهو يُمثل كثافة الاحتمال عند الزمن t = ε لموقع جسيم ينطلق من نقطة الأصل ويتبع حركة براونية قياسية . في هذا السياق، يُعد شرط شبه المجموعة تعبيرًا عن خاصية ماركوف للحركة البراونية.

في الفضاء الإقليدي ذي الأبعاد الأعلى R ⁿ ، تكون نواة الحرارة هي $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }={\frac {1}{(2\pi \varepsilon )^{n/2}}}\mathrm {e} ^{-{\frac {x\cdot x}{2\varepsilon }}},}$$ وله نفس التفسير الفيزيائي، مع مراعاة الاختلافات . كما أنه يمثل تقريبًا لدالة دلتا بمعنى أن η _ε → δ في سياق التوزيع عندما ε → 0 .

في مجالات الفيزياء، مثل انتشار الموجات وميكانيكا الموجات ، تكون المعادلات المستخدمة زائدية، وبالتالي قد يكون لها حلول أكثر تفرداً. ونتيجة لذلك، فإن دوال دلتا التقريبية التي تظهر كحلول أساسية لمسائل كوشي المرتبطة بها هي عموماً تكاملات تذبذبية . ومن الأمثلة على ذلك، دالة آيري المُعاد قياسها، والمستمدة من حل معادلة أويلر-تريكومي لديناميكا الغازات فوق الصوتية ^{[ 72 ]} .$${\displaystyle \varepsilon ^{-1/3}\operatorname {Ai} \left(x\varepsilon ^{-1/3}\right).}$$

على الرغم من استخدام تحويل فورييه، فمن السهل ملاحظة أن هذا يُولّد شبه زمرة بمعنى ما - فهو ليس قابلاً للتكامل المطلق، وبالتالي لا يُمكنه تعريف شبه زمرة بالمعنى القوي المذكور أعلاه. العديد من دوال دلتا التقريبية المُنشأة كتكاملات تذبذبية تتقارب فقط بمعنى التوزيعات (مثال على ذلك نواة ديريشليه أدناه)، وليس بمعنى القياسات.

مثال آخر هو مسألة كوشي لمعادلة الموجة في R ¹⁺¹ : ^{[ 73 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}c^{-2}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-\Delta u&=0\\u=0,\quad {\frac {\partial u}{\partial t}}=\delta &\qquad {\text{for }}t=0.\end{aligned}}}$$

يمثل الحل u الإزاحة عن حالة التوازن لسلسلة مرنة لا نهائية، مع وجود اضطراب أولي عند نقطة الأصل.

وتشمل التقريبات الأخرى لهوية هذا النوع دالة sinc (المستخدمة على نطاق واسع في الإلكترونيات والاتصالات السلكية واللاسلكية). $${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\pi x}}\sin \left({\frac {x}{\varepsilon }}\right)={\frac {1}{2\pi }}\int _{-{\frac {1}{\varepsilon }}}^{\frac {1}{\varepsilon }}\cos(kx)\,dk}$$

ودالة بيسل$${\displaystyle \eta _{\varepsilon }(x)={\frac {1}{\varepsilon }}J_{\frac {1}{\varepsilon }}\left({\frac {x+1}{\varepsilon }}\right).}$$

أحد مناهج دراسة المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية $${\displaystyle L[u]=f,}$$

حيث L هو مؤثر تفاضلي على R ⁿ ، فإن البحث أولاً عن حل أساسي، وهو حل للمعادلة $${\displaystyle L[u]=\delta .}$$

عندما يكون L بسيطًا للغاية، يمكن غالبًا حل هذه المشكلة باستخدام تحويل فورييه مباشرةً (كما هو الحال مع نواة بواسون ونواة الحرارة المذكورتين سابقًا). أما بالنسبة للمؤثرات الأكثر تعقيدًا، فمن الأسهل أحيانًا النظر أولًا في معادلة من الشكل التالي: $${\displaystyle L[u]=h}$$

حيث h دالة موجية مستوية ، مما يعني أنها تأخذ الشكل التالي $${\displaystyle h=h(x\cdot \xi )}$$

لبعض المتجهات ξ . يمكن حل هذه المعادلة (إذا كانت معاملات L دوالًا تحليلية ) باستخدام نظرية كوشي-كوفاليفسكايا ، أو (إذا كانت معاملات L ثابتة) باستخدام التكامل العددي. لذا، إذا أمكن تحليل دالة دلتا إلى موجات مستوية، فمن الممكن من حيث المبدأ حل المعادلات التفاضلية الجزئية الخطية.

كان هذا التفكيك لدالة دلتا إلى موجات مستوية جزءًا من تقنية عامة قدمها يوهان رادون في الأساس ، ثم طورها فريتز جون ( 1955 ) بهذا الشكل. ^{[ 74 ]} اختر k بحيث يكون n + k عددًا زوجيًا، وبالنسبة لعدد حقيقي s ، ضع $${\displaystyle g(s)=\operatorname {Re} \left[{\frac {-s^{k}\log(-is)}{k!(2\pi i)^{n}}}\right]={\begin{cases}{\frac {|s|^{k}}{4k!(2\pi i)^{n-1}}}&n{\text{ odd}}\\[5pt]-{\frac {|s|^{k}\log |s|}{k!(2\pi i)^{n}}}&n{\text{ even.}}\end{cases}}}$$

ثم يتم الحصول على δ من خلال تطبيق قوة لابلاس على التكامل بالنسبة لقياس الكرة الوحدة dω لـ g ( x · ξ ) لـ ξ في الكرة الوحدة S ^{n −1} : $${\displaystyle \delta (x)=\Delta _{x}^{(n+k)/2}\int _{S^{n-1}}g(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

يُفسَّر لابلاس هنا على أنه مشتق ضعيف، بحيث تُؤخذ هذه المعادلة على أنها تعني أنه لأي دالة اختبار φ ، $${\displaystyle \varphi (x)=\int _{\mathbf {R} ^{n}}\varphi (y)\,dy\,\Delta _{x}^{\frac {n+k}{2}}\int _{S^{n-1}}g((x-y)\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }.}$$

تُستنتج النتيجة من صيغة الجهد النيوتوني (الحل الأساسي لمعادلة بواسون). وهي في جوهرها شكل من أشكال صيغة الانعكاس لتحويل رادون ، لأنها تستعيد قيمة φ ( x ) من تكاملاتها على المستويات الفائقة. ^{[ 75 ]} على سبيل المثال، إذا كان n فرديًا و k = 1 ، فإن التكامل في الطرف الأيمن هو $${\displaystyle {\begin{aligned}&c_{n}\Delta _{x}^{\frac {n+1}{2}}\iint _{S^{n-1}}\varphi (y)|(y-x)\cdot \xi |\,d\omega _{\xi }\,dy\\[5pt]&\qquad =c_{n}\Delta _{x}^{(n+1)/2}\int _{S^{n-1}}\,d\omega _{\xi }\int _{-\infty }^{\infty }|p|R\varphi (\xi ,p+x\cdot \xi )\,dp\end{aligned}}}$$

حيث Rφ ( ξ , p ) هو تحويل رادون لـ φ : $${\displaystyle R\varphi (\xi ,p)=\int _{x\cdot \xi =p}f(x)\,d^{n-1}x.}$$

التعبير المكافئ البديل لتحليل الموجة المستوية هو: ^{[ 76 ]}$${\displaystyle \delta (x)={\begin{cases}{\frac {(n-1)!}{(2\pi i)^{n}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}(x\cdot \xi )^{-n}\,d\omega _{\xi }&n{\text{ even}}\\{\frac {1}{2(2\pi i)^{n-1}}}\displaystyle \int _{S^{n-1}}\delta ^{(n-1)}(x\cdot \xi )\,d\omega _{\xi }&n{\text{ odd}}.\end{cases}}}$$

دالة دلتا هي توزيع معتدل ، وبالتالي لها تحويل فورييه محدد جيدًا . رسميًا، نجد ^{[ 77 ]}

$${\displaystyle {\widehat {\delta }}(\xi )=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi ix\xi }\,\delta (x)dx=1.}$$

بالمعنى الدقيق للكلمة، يتم تعريف تحويل فورييه للتوزيع من خلال فرض خاصية الترافق الذاتي لتحويل فورييه في ظل اقتران الازدواجية.${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$من التوزيعات المعتدلة ذات دوال شوارتز . وبالتالي${\displaystyle {\widehat {\delta }}}$يُعرَّف بأنه التوزيع المعتدل الفريد الذي يحقق

$${\displaystyle \langle {\widehat {\delta }},\varphi \rangle =\langle \delta ,{\widehat {\varphi }}\rangle }$$

لجميع دوال شوارتز φ . وبالفعل، يترتب على ذلك أن${\displaystyle {\widehat {\delta }}=1.}$

ونتيجةً لهذه المتطابقة، فإن التفاف دالة دلتا مع أي توزيع معتدل آخر S هو ببساطة S :

$${\displaystyle S*\delta =S.}$$

بمعنى آخر، δ هو عنصر محايد لعملية الالتفاف على التوزيعات المعتدلة، وفي الواقع، فإن فضاء التوزيعات ذات الدعم المحدود تحت الالتفاف هو جبر ترابطي ، وعنصره المحايد هو دالة دلتا. هذه الخاصية أساسية في معالجة الإشارات ، لأن الالتفاف مع التوزيع المعتدل هو نظام خطي ثابت زمنيًا ، وتطبيق هذا النظام الخطي الثابت زمنيًا يقيس استجابته النبضية . يمكن حساب الاستجابة النبضية بأي درجة دقة مطلوبة باختيار تقريب مناسب لـ δ ، وبمجرد معرفتها، فإنها تُحدد خصائص النظام بشكل كامل. انظر نظرية الأنظمة الخطية الثابتة زمنيًا، قسم  الاستجابة النبضية والالتفاف .

التحويل العكسي لفورييه للتوزيع المعتدل f ( ξ ) = 1 هو دالة دلتا. ويُعبَّر عنها رسميًا كما يلي: $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }1\cdot e^{2\pi ix\xi }\,d\xi =\delta (x)}$$ وبشكل أكثر دقة، يترتب على ذلك أن $${\displaystyle \langle 1,{\widehat {f}}\rangle =f(0)=\langle \delta ,f\rangle }$$ لجميع دوال شوارتز f .

وبهذا المعنى، تُقدّم دالة دلتا بيانًا مُوحيًا لخاصية التعامد لنواة فورييه على R. رسميًا، لدينا $${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi \xi _{1}t}\left[e^{i2\pi \xi _{2}t}\right]^{*}\,dt=\int _{-\infty }^{\infty }e^{i2\pi (\xi _{1}-\xi _{2})t}\,dt=\delta (\xi _{1}-\xi _{2}).}$$

هذا، بالطبع، اختصار للتأكيد على أن تحويل فورييه للتوزيع المعتدل $${\displaystyle f(t)=e^{i2\pi \xi _{1}t}}$$ يكون $${\displaystyle {\widehat {f}}(\xi _{2})=\delta (\xi _{1}-\xi _{2})}$$ والذي يتبع ذلك مرة أخرى من خلال فرض خاصية الترافق الذاتي لتحويل فورييه.

وباستخدام الاستمرار التحليلي لتحويل فورييه، تم العثور على تحويل لابلاس لدالة دلتا على أنه ^{[ 78 ].}$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }\delta (t-a)\,e^{-st}\,dt=e^{-sa}.}$$

^{تُعدّ دالة} توزيع ديراك دلتا دالة خطية غير محدودة مُعرَّفة بكثافة على فضاء هيلبرت L² للدوال القابلة للتكامل التربيعي . ^{[ 81 ]} في الواقع، الدوال الملساء ذات الدعم المدمج كثيفة في L² ^، وتأثير دالة توزيع دلتا على هذه الدوال مُعرَّف جيدًا. في العديد من التطبيقات، يُمكن تحديد الفضاءات الجزئية من L² وتقديم طوبولوجيا أقوى تُعرِّف عليها دالة دلتا ^دالة خطية محدودة .