مجموعة أرخميدس

في الجبر المجرد ، وهو فرع من فروع الرياضيات ، تُعرف المجموعة الأرخميدية بأنها مجموعة مرتبة خطيًا تتحقق فيها خاصية أرخميدس : أي عنصرين موجبين في المجموعة يكونان محصورين بمضاعفات صحيحة لبعضهما البعض. وتُعدّ مجموعة الأعداد الحقيقية R ، بالإضافة إلى عملية الجمع وعلاقة الترتيب المعتادة بين أزواج الأعداد، مجموعة أرخميدية. وبحسب نتيجة أوتو هولدر ، فإن كل مجموعة أرخميدية متماثلة مع مجموعة جزئية من هذه المجموعة. وقد سُميت خاصية أرخميدس بهذا الاسم نسبةً إلى أوتو ستولز ، الذي أطلق عليها هذا الاسم بعد ظهورها في أعمال أرخميدس . ^{[ 1 ]}

تتكون المجموعة الجمعية من مجموعة من العناصر، وعملية جمع تجميعية تجمع أزواجًا من العناصر وتعيد عنصرًا واحدًا، وعنصر محايد (أو عنصر صفري) يكون مجموعه مع أي عنصر آخر هو العنصر الآخر، وعملية جمع عكسية بحيث يكون مجموع أي عنصر ومعكوسه صفرًا. ^{[ 2 ]} تُسمى المجموعة مجموعة مرتبة خطيًا عندما يمكن، بالإضافة إلى ذلك، ترتيب عناصرها خطيًا بطريقة تتوافق مع عملية المجموعة: لكل العناصر x و y و z ، إذا كان x  ≤ y فإن x + z ≤ y + z و z + x ≤ z + y .             

يرمز الرمز na (حيث n عدد طبيعي ) إلى مجموع n نسخة من العنصر a في المجموعة . المجموعة الأرخميدية ( G ,  +,  ≤) هي مجموعة مرتبة خطيًا تخضع للشرط الإضافي التالي، وهو خاصية أرخميدس: لكل عنصرين a و b في G أكبر من 0، يمكن إيجاد عدد طبيعي n يحقق المتباينة b  ≤ na . ^{[ 3 ]} 

التعريف المكافئ هو أن الزمرة الأرخميدية هي زمرة مرتبة خطيًا بدون أي زمر جزئية دورية محدودة : لا توجد زمرة جزئية دورية S وعنصر x بحيث يكون x أكبر من جميع عناصر S. ^{[ 4 ]} من السهل ملاحظة أن هذا يكافئ التعريف الآخر: خاصية أرخميدس لزوج من العناصر a و b هي ببساطة أن الزمرة الجزئية الدورية المولدة بواسطة a غير محدودة بواسطة b . 

تُشكّل مجموعات الأعداد الصحيحة، والأعداد النسبية ، والأعداد الحقيقية، بالإضافة إلى عملية الجمع والترتيب المعتاد (≤)، زمرًا أرخميدية. كل زمرة جزئية من زمرة أرخميدية هي زمرة أرخميدية بحد ذاتها، وبالتالي فإن كل زمرة جزئية من هذه الزمر، مثل الزمرة الجمعية للأعداد الزوجية أو الزمرة النسبية الثنائية ، تُشكّل أيضًا زمرة أرخميدية.

على النقيض من ذلك ، وكما بيّن أوتو هولدر ، فإن كل زمرة أرخميدية متماثلة (كزمرة مرتبة) مع زمرة جزئية من الأعداد الحقيقية. ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ]} ويترتب على ذلك أن كل زمرة أرخميدية هي بالضرورة زمرة تبديلية : إذ يجب أن تكون عملية الجمع فيها تبديلية . ^{[ 5 ]}

المجموعات التي لا يمكن ترتيبها خطيًا، مثل المجموعات المنتهية ، ليست أرخميدية. ولمزيد من الأمثلة، انظر إلى الأعداد p -adic ، وهي نظام من الأعداد يعمم الأعداد النسبية بطريقة مختلفة عن الأعداد الحقيقية.

توجد أيضًا زمر مرتبة غير أرخميدية؛ فالزمرة المرتبة ( G , +, ≤) المعرفة كما يلي ليست أرخميدية. لنفترض أن عناصر G هي نقاط المستوى الإقليدي ، مُعطاة بإحداثياتها الديكارتية : أزواج ( x , y ) من الأعداد الحقيقية. ولتكن عملية جمع الزمرة جمعًا نقطيًا (متجهيًا)، ولنرتب هذه النقاط ترتيبًا معجميًا : إذا كان a = ( u , v ) و b = ( x , y )، فإن a + b = ( u + x , v + y )، ويكون a ≤ b عندما يكون v < y أو v = y و u ≤ x . عندئذٍ نحصل على زمرة مرتبة، ولكنها ليست أرخميدية. ولتوضيح ذلك، لننظر إلى العنصرين (1, 0) و (0, 1)، وكلاهما أكبر من العنصر الصفري للزمرة (نقطة الأصل ). لكل عدد طبيعي n ، يتبين من هذه التعريفات أن n (1, 0) = ( n , 0) < (0, 1)، لذا لا يوجد عدد n يحقق خاصية أرخميدس. ^{[ 9 ]} يمكن اعتبار هذه المجموعة المجموعة الجمعية لأزواج من عدد حقيقي وعدد متناهي الصغر .                               ${\displaystyle (x,y)=x\epsilon +y,}$أين${\displaystyle \epsilon }$وحدة متناهية الصغر:${\displaystyle \epsilon >0}$لكن${\displaystyle \epsilon <y}$لأي عدد حقيقي موجب${\displaystyle y>0}$يمكن تعريف الحقول المرتبة غير الأرخميدية بشكل مماثل ، ومجموعاتها الجمعية هي مجموعات مرتبة غير أرخميدية. تُستخدم هذه المجموعات في التحليل غير القياسي ، وتشمل الأعداد الفائقة الحقيقية والأعداد السريالية .

بينما لا يمكن تضمين المجموعات المرتبة غير الأرخميدية في الأعداد الحقيقية، يمكن تضمينها في قوة من الأعداد الحقيقية، مع الترتيب المعجمي، بواسطة نظرية تضمين هان ؛ المثال أعلاه هو الحالة ثنائية الأبعاد.

تتمتع كل زمرة أرخميدية بالخاصية التالية: لكل قطع ديديكيند في الزمرة، ولكل عنصر زمرة ε  >  0، يوجد عنصر زمرة آخر x يقع x على الجانب السفلي من القطع و x  + ε على الجانب العلوي منه. مع ذلك، توجد زمر مرتبة غير أرخميدية تتمتع بالخاصية نفسها. ويمكن تعميم كون الزمر الأرخميدية تبديلية: فكل زمرة مرتبة تتمتع بهذه الخاصية هي تبديلية. ^{[ 10 ]} 

يمكن تعميم الزمر الأرخميدية إلى أحاديات أرخميدية ، وهي أحاديات مرتبة خطيًا تخضع لخاصية أرخميدس . ومن الأمثلة على ذلك الأعداد الطبيعية، والأعداد النسبية غير السالبة، والأعداد الحقيقية غير السالبة، مع العملية الثنائية المعتادة.${\displaystyle +}$والطلب${\displaystyle <}$. من خلال برهان مماثل لبرهان مجموعات أرخميدس، يمكن إثبات أن أحاديات أرخميدس تبادلية .

• التكافؤ الأرخميدي