النظام المحلي

في الرياضيات ، يُعد النظام المحلي (أو نظام المعاملات المحلية ) على فضاء طوبولوجي X أداةً من الطوبولوجيا الجبرية ، تُستخدم للربط بين علم التماثل ذي المعاملات في زمرة أبيلية ثابتة A ، وعلم التماثل العام للحزم الذي تتغير فيه المعاملات من نقطة إلى أخرى. وقد قدّم نورمان ستينرود أنظمة المعاملات المحلية عام 1943. ^{[ 1 ]}

تُعد الأنظمة المحلية اللبنات الأساسية لأدوات أكثر عمومية، مثل الحزم القابلة للبناء والحزم المنحرفة .

ليكن X فضاءً طوبولوجيًا . النظام المحلي (من الزمر الأبيلية / الوحدات النمطية ...) على X هو حزمة ثابتة محليًا (من الزمر الأبيلية / الوحدات النمطية ...) على X. بعبارة أخرى، حزمة${\displaystyle {\mathcal {L}}}$يُعتبر نظامًا محليًا إذا كانت كل نقطة فيه تحتوي على جوار مفتوح${\displaystyle U}$بحيث تكون الحزمة المقيدة${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{U}}$متماثل مع عملية تحويل حزمة ما قبل الحزمة الثابتة.

• بكرات ثابتة مثل${\displaystyle {\underline {\mathbb {Q} }}_{X}}$تُعد هذه أداة مفيدة لحساب علم التماثل، لأنه في الحالات الجيدة، يوجد تماثل بين علم تماثل الحزم وعلم تماثل المفرد:

$${\displaystyle H^{k}(X,{\underline {\mathbb {Q} }}_{X})\cong H_{\text{sing}}^{k}(X,\mathbb {Q} )}$$

• يترك${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}$. منذ${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {R} ^{2}\setminus \{(0,0)\})=\mathbb {Z} }$، هناك${\displaystyle S^{1}}$عائلة من الأنظمة المحلية على X التي تتوافق مع الخرائط${\displaystyle n\mapsto e^{in\theta }}$:

$${\displaystyle \rho _{\theta }:\pi _{1}(X;x_{0})\cong \mathbb {Z} \to {\text{Aut}}_{\mathbb {C} }(\mathbb {C} )}$$

• مقاطع أفقية من حزم متجهة ذات اتصال مسطح. إذا${\displaystyle E\to X}$هي حزمة متجهات ذات اتصال مسطح${\displaystyle \nabla }$ثم يوجد نظام محلي معطى بواسطة$${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{{\text{sections }}s\in \Gamma (U,E){\text{ which are horizontal: }}\nabla s=0\right\}}$$ على سبيل المثال، خذ${\displaystyle X=\mathbb {C} \setminus 0}$و${\displaystyle E=X\times \mathbb {C} ^{n}}$الحزمة التافهة. مقاطع E هي مجموعات من n من الدوال على X ، لذا${\displaystyle \nabla _{0}(f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})}$يُعرّف اتصالاً مسطحاً على E ، كما يفعل${\displaystyle \nabla (f_{1},\dots ,f_{n})=(df_{1},\dots ,df_{n})-\Theta (x)(f_{1},\dots ,f_{n})^{t}}$لأي مصفوفة من الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى${\displaystyle \Theta }$على X. ثم تكون المقاطع الأفقية

$${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{(f_{1},\dots ,f_{n})\in E_{U}:(df_{1},\dots ,df_{n})=\Theta (f_{1},\dots ,f_{n})^{t}\right\}}$$أي حلول المعادلة التفاضلية الخطية${\displaystyle df_{i}=\sum \Theta _{ij}f_{j}}$.

لو${\displaystyle \Theta }$يمتد إلى شكل واحد على${\displaystyle \mathbb {C} }$سيؤدي ما سبق أيضًا إلى تحديد نظام محلي على${\displaystyle \mathbb {C} }$لذا سيكون الأمر تافهاً لأن${\displaystyle \pi _{1}(\mathbb {C} )=0}$لذا، ولإعطاء مثال مثير للاهتمام، اختر واحداً له قطب عند 0 :

$${\displaystyle \Theta ={\begin{pmatrix}0&dx/x\\dx&e^{x}dx\end{pmatrix}}}$$وفي هذه الحالة لـ${\displaystyle \nabla =d+\Theta }$،$${\displaystyle E_{U}^{\nabla }=\left\{f_{1},f_{2}:U\to \mathbb {C} \ \ {\text{ with }}f'_{1}=f_{2}/x\ \ f_{2}'=f_{1}+e^{x}f_{2}\right\}}$$

• خريطة تغطية مكونة من n ورقة${\displaystyle X\to Y}$هو نظام محلي بألياف معطاة بواسطة المجموعة${\displaystyle \{1,\dots ,n\}}$وبالمثل، فإن حزمة الألياف ذات الألياف المنفصلة هي نظام محلي، لأن كل مسار يرتفع بشكل فريد إلى ارتفاع معين لنقطة الأساس الخاصة به. (يتم تعديل التعريف ليشمل الأنظمة المحلية ذات القيم المتعددة بطريقة واضحة).

• يكافئ نظام محلي من فضاءات المتجهات k على X تمثيلًا خطيًا k لـ${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$.

• إذا كان X عبارة عن مجموعة متنوعة، فإن الأنظمة المحلية هي نفس الشيء مثل وحدات D التي هي بالإضافة إلى وحدات O_X متماسكة (انظر وحدات O ).

• إذا لم يكن الاتصال مسطحًا (أي أن انحنائه غير صفري)، فإن النقل المتوازي للألياف F_x فوق x حول حلقة قابلة للانكماش تستند إلى x _0 قد يعطي تماثلًا غير تافه لـ F_x ، لذلك لا يمكن بالضرورة تعريف الحزم الثابتة محليًا للاتصالات غير المسطحة.

• يُعد اتصال جاوس -مانين مثالاً بارزاً على اتصال يتم دراسة مقاطعه الأفقية فيما يتعلق بتغير هياكل هودج .

هناك عدة طرق لتعريف التماثل لنظام محلي، يسمى التماثل بمعاملات محلية ، والتي تصبح متكافئة في ظل افتراضات معتدلة على X.

• بفرض حزمة ثابتة محليًا${\displaystyle {\mathcal {L}}}$من بين المجموعات الأبيلية على X ، لدينا مجموعات التماثل الحزمي${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {L}})}$بمعاملات في${\displaystyle {\mathcal {L}}}$.

• بفرض حزمة ثابتة محليًا${\displaystyle {\mathcal {L}}}$من الزمر الأبيلية على X ، ليكن${\displaystyle C^{n}(X;{\mathcal {L}})}$لتكن مجموعة جميع الدوال f التي تُسقط كل مُركب n- بسيط منفرد${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to X}$إلى قسم عالمي${\displaystyle f(\sigma )}$من حزمة الصورة المعكوسة${\displaystyle \sigma ^{-1}{\mathcal {L}}}$يمكن تحويل هذه المجموعات إلى مُركّب سلسلة مشتركة مع تفاضلات مبنية كما هو الحال في علم التماثل الفردي المعتاد. عرّف${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})}$أن تكون التماثل المشترك لهذا المركب.

• المجموعة${\displaystyle C_{n}({\widetilde {X}})}$لسلاسل n المفردة على الغطاء الشامل لـ X تأثير من${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$عن طريق تحويلات سطح السفينة . وبشكل أكثر تحديدًا، تحويل سطح السفينة${\displaystyle \gamma \colon {\widetilde {X}}\to {\widetilde {X}}}$يأخذ n -simplex مفرد${\displaystyle \sigma \colon \Delta ^{n}\to {\widetilde {X}}}$ل${\displaystyle \gamma \circ \sigma }$ثم، بالنظر إلى مجموعة أبيلية L مزودة بفعل من${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$يمكن للمرء أن يشكل مركبًا متسلسلًا من المجموعات${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)}$ل${\displaystyle \pi _{1}(X,x)}$التشكلات المتغيرة كما سبق. عرّف${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;L)}$أن تكون التماثل المشترك لهذا المركب.

إذا كان X شبه متراص وقابل للانكماش محليًا ، فإن${\displaystyle H^{j}(X,{\mathcal {L}})\cong H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})}$[ ^{3 ]} إذا^​${\displaystyle {\mathcal {L}}}$إذا كان النظام المحلي المقابل لـ L ، فإنه يوجد تعريف${\displaystyle C^{n}(X;{\mathcal {L}})\cong \operatorname {Hom} _{\pi _{1}(X,x)}(C_{n}({\widetilde {X}}),L)}$متوافق مع التفاضلات، ^{[ 4 ]} لذلك${\displaystyle H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;{\mathcal {L}})\cong H_{\mathrm {sing} }^{j}(X;L)}$.

تتمتع الأنظمة المحلية بتعميم طفيف للحزم القابلة للإنشاء - وهي حزمة قابلة للإنشاء على فضاء طوبولوجي متصل بمسار محلي${\displaystyle X}$هي حزمة${\displaystyle {\mathcal {L}}}$بحيث يوجد تدرج في

${\displaystyle X=\coprod X_{\lambda }}$

أين${\displaystyle {\mathcal {L}}|_{X_{\lambda }}}$هو نظام محلي. ويتم إيجاد هذه الأنظمة عادةً عن طريق أخذ علم التماثل للدفع الأمامي المشتق لبعض الخرائط المتصلة${\displaystyle f:X\to Y}$على سبيل المثال، إذا نظرنا إلى النقاط المعقدة للتشاكل

${\displaystyle f:X={\text{Proj}}\left({\frac {\mathbb {C} [s,t][x,y,z]}{(st\cdot h(x,y,z))}}\right)\to {\text{Spec}}(\mathbb {C} [s,t])}$

ثم الألياف فوق

${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}$

المنحنى المستوي المعطى بواسطة${\displaystyle h}$لكن الألياف فوق${\displaystyle \mathbb {V} =\mathbb {V} (st)}$نكون${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$إذا أخذنا الدفعة الأمامية المشتقة${\displaystyle \mathbf {R} f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})}$ثم نحصل على حزمة قابلة للبناء. انتهى${\displaystyle \mathbb {V} }$لدينا الأنظمة المحلية

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{4}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}}$

بينما فوق${\displaystyle \mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}$لدينا الأنظمة المحلية

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {R} ^{0}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{1}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}^{\oplus 2g}\\\mathbf {R} ^{2}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}\\\mathbf {R} ^{k}f_{!}({\underline {\mathbb {Q} }}_{X})|_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}&={\underline {0}}_{\mathbb {A} _{s,t}^{2}-\mathbb {V} (st)}{\text{ otherwise}}\end{aligned}}}$

أين${\displaystyle g}$هو جنس المنحنى المستوي (وهو${\displaystyle g=(\deg(f)-1)(\deg(f)-2)/2}$).

يمكن استخدام علم التماثل مع المعاملات المحلية في الوحدة النمطية المقابلة لتغطية التوجيه لصياغة ازدواجية بوانكاريه للمشعبات غير القابلة للتوجيه: انظر ازدواجية بوانكاريه الملتوية .

• متسلسلة ليري الطيفية
• اتصال جاوس-مانين
• وحدة D
• التماثل التقاطعي
• حزمة منحرفة

• "ما هو النظام المحلي حقًا؟" - ستاك إكستشينج .
• شنيل، كريستيان. "حساب التماثل للأنظمة المحلية" (PDF) .يناقش هذا البحث حساب علم التماثل باستخدام المعاملات في نظام محلي باستخدام مركب دي رام الملتوي.
• ويليامسون، جوردي . "دليل مصور للحزم المنحرفة" (PDF) .
• ماكفرسون، روبرت (15 ديسمبر 1990). "التشابه التقاطعي والحزم المنحرفة" (PDF) .
• الزين، فؤاد؛ سنوسي، جواد. "الأنظمة المحلية والحزم القابلة للإنشاء" (PDF) .