فئة المجموعات الأبيلية

في الرياضيات ، الفئة${\displaystyle \mathbf {Ab} }$تحتوي على الزمر الأبيلية ككائنات وتشاكلات الزمر كتشاكلات . هذا هو النموذج الأولي للفئة الأبيلية : ^{[ 1} ] في الواقع ^، يمكن تضمين كل فئة أبيلية صغيرة في${\displaystyle \mathbf {Ab} }$[ ^{2 ]​}

الكائن الصفري لـ${\displaystyle \mathbf {Ab} }$هي المجموعة التافهة${\displaystyle \{0\}}$والذي يتكون فقط من عنصره المحايد .

الأشكال الأحادية في${\displaystyle \mathbf {Ab} }$هي التشاكلات الزمرية الحقنية ، والتشاكلات فوقية هي التشاكلات الزمرية الشاملة ، والتشاكلات هي التشاكلات الزمرية التقابلية .

${\displaystyle \mathbf {Ab} }$هي فئة فرعية كاملة من${\displaystyle \mathbf {Grp} }$، فئة جميع المجموعات . الفرق الرئيسي بين${\displaystyle \mathbf {Ab} }$و${\displaystyle \mathbf {Grp} }$هل مجموع تشاكلين${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$بين المجموعات الأبيلية يوجد أيضاً تماثل بين المجموعات:

${\displaystyle (f+g)(x+y)=f(x+y)+g(x+y)=f(x)+f(y)+g(x)+g(y)}$

${\displaystyle =f(x)+g(x)+f(y)+g(y)=(f+g)(x)+(f+g)(y)}$

تتطلب المساواة الثالثة أن تكون المجموعة تبديلية. هذه الإضافة للتشاكل تحول${\displaystyle \mathbf {Ab} }$إلى فئة ما قبل الجمع ، ولأن المجموع المباشر لعدد محدود من المجموعات الأبيلية ينتج عنه منتج ثنائي ، فإننا بالفعل لدينا فئة جمعية .

في${\displaystyle \mathbf {Ab} }$يتطابق مفهوم النواة في نظرية الفئات مع مفهوم النواة في المعنى الجبري ، أي النواة الفئوية للتشاكل${\displaystyle f:A\to B}$هي المجموعة الفرعية${\displaystyle K}$ل${\displaystyle A}$محدد بواسطة${\displaystyle K=\{x\in A:f(x)=0\}}$بالإضافة إلى تماثل الإدراج${\displaystyle i:K\to A}$وينطبق الأمر نفسه على النوى المشتركة ؛ فالنواة المشتركة للدالة f هي زمرة القسمة${\displaystyle C=B/f(A)}$بالإضافة إلى الإسقاط الطبيعي${\displaystyle p:B\to C}$(لاحظ فرقًا جوهريًا آخر بين${\displaystyle \mathbf {Ab} }$و${\displaystyle \mathbf {Grp} }$: في${\displaystyle \mathbf {Grp} }$قد يحدث ذلك${\displaystyle f(A)}$ليست مجموعة فرعية طبيعية من${\displaystyle B}$وبالتالي فإن مجموعة القسمة${\displaystyle B/f(A)}$(لا يمكن تشكيلها.) مع هذه الأوصاف الملموسة للحبوب والحبوب المشتركة، من السهل جدًا التحقق من ذلك.${\displaystyle \mathbf {Ab} }$هي بالفعل فئة أبيلية .

الدالة النسيانية من${\displaystyle \mathbb {Z} {\text{-}}\mathbf {Mod} }$ل${\displaystyle \mathbf {Ab} }$هذا يرسل${\displaystyle \mathbb {Z} }$-وحدة${\displaystyle (M,+,\cdot )}$إلى مجموعتها الأبيلية الأساسية${\displaystyle (M,+)}$والدالة من${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ل${\displaystyle \mathbb {Z} }$وهذا يرسل مجموعة أبيلية${\displaystyle (G,+)}$إلى${\displaystyle \mathbb {Z} }$-وحدة${\displaystyle (G,+,\cdot )}$تم الحصول عليه عن طريق التعيين${\displaystyle k\cdot g:=g^{k}}$تعريف تماثل الفئات .

المنتج في​${\displaystyle \mathbf {Ab} }$يُعطى بضرب المجموعات ، المُشكَّلة بأخذ الضرب الديكارتي للمجموعات الأساسية وإجراء عملية المجموعة على كل عنصر على حدة. لأن${\displaystyle \mathbf {Ab} }$إذا كان يحتوي على نوى، فيمكن للمرء أن يثبت ذلك.${\displaystyle \mathbf {Ab} }$هي فئة كاملة . المنتج الثانوي في${\displaystyle \mathbf {Ab} }$يُعطى بالمجموع المباشر؛ لأن${\displaystyle \mathbf {Ab} }$يحتوي على نوى مشتركة، ويترتب على ذلك أن${\displaystyle \mathbf {Ab} }$وهي أيضًا مكتملة جزئيًا .

لدينا دالة نسيان${\displaystyle \mathbf {Ab} \to \mathbf {Set} }$والذي يُسند إلى كل زمرة أبيلية المجموعة الأساسية ، وإلى كل تشاكل زمر الدالة الأساسية . هذا المؤثر أمين ، وبالتالي${\displaystyle \mathbf {Ab} }$هي فئة ملموسة . للدالة النسيانية مرافق أيسر (يربط بمجموعة معينة المجموعة الأبيلية الحرة التي تستخدم تلك المجموعة كأساس) ولكن ليس لها مرافق أيمن.

اتخاذ حدود مباشرة في${\displaystyle \mathbf {Ab} }$هو دالة تامة . بما أن مجموعة الأعداد الصحيحة${\displaystyle \mathbb {Z} }$يعمل كمولد ، الفئة${\displaystyle \mathbf {Ab} }$وبالتالي فهي فئة غروتينديك ؛ بل إنها المثال النموذجي لفئة غروتينديك.

جسم في${\displaystyle \mathbf {Ab} }$تكون الفئة أحادية إذا وفقط إذا كانت زمرة قابلة للقسمة ؛ وتكون إسقاطية إذا وفقط إذا كانت زمرة أبيلية حرة . للفئة مولد إسقاطي (${\displaystyle \mathbb {Z} }$) ومولد مشترك حقني (${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$).

بافتراض وجود مجموعتين أبيليتيتين${\displaystyle A}$و${\displaystyle B}$، ناتج ضربهما الموتري${\displaystyle A\otimes B}$يتم تعريفها؛ وهي مرة أخرى مجموعة أبيلية. مع هذا المفهوم للمنتج،${\displaystyle \mathbf {Ab} }$هي فئة أحادية متناظرة مغلقة .

${\displaystyle \mathbf {Ab} }$ليس طوبولوجيا لأنه على سبيل المثال يحتوي على كائن صفري.

• فئة الوحدات
• حزمة أبيلية - لا تزال العديد من الحقائق المتعلقة بفئة المجموعات الأبيلية تنطبق على فئة حزم المجموعات الأبيلية

• لانغ، سيرج (2002)، الجبر ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات ، المجلد  211 (الطبعة الثالثة المنقحة  )، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ، ISBN 978-0-387-95385-4MR 1878556​ 
• ماك لين، سوندرز (1998). تصنيفات للرياضي العامل . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات . المجلد  5 (  الطبعة الثانية). سبرينغر. ISBN 0-387-98403-8. Zbl 0906.18001 . 
• بيديكيو، ماريا كريستينا ؛ ثولين، والتر، محرران. (2004). الأسس الفئوية. موضوعات خاصة في الترتيب، والطوبولوجيا، والجبر، ونظرية الحزم . موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها. المجلد  97. مطبعة جامعة كامبريدج . ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001 .