هيكل هودج

📅 آخر تحديث: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٣ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 91 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات، تُعرف بنية هودج ، نسبةً إلى دبليو في دي هودج ، بأنها بنية جبرية على مستوى الجبر الخطي ، تُشابه تلك التي تُقدمها نظرية هودج لمجموعات التماثل لمتشعب كاهلر أملس ومتراص . وقد عُممت بنى هودج لتشمل جميع الأصناف العقدية (حتى وإن كانت شاذة وغير كاملة ) في صورة بنى هودج المختلطة ، التي عرّفها بيير ديلين (1970). ومن بين أنواع بنى هودج ، عائلة من بنى هودج المُعَلمة بمتشعب، والتي درسها فيليب غريفيث (1968) لأول مرة. وقد عُممت جميع هذه المفاهيم لاحقًا لتشمل وحدات هودج المختلطة على الأصناف العقدية بواسطة موريهيكو سايتو (1989).

هياكل هودج

تعريف هياكل هودج

تتكون بنية هودج النقية ذات الوزن الصحيح n من مجموعة أبيليةحZ{\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}وتفكيك تعقيدهح{\displaystyle H} إلى مجموع مباشر من الفضاءات الفرعية المعقدةحص،q{\displaystyle H^{p,q}}، أينص+q=ن{\displaystyle p+q=n}، مع خاصية أن المرافق المعقد لـحص،q{\displaystyle H^{p,q}}يكونحq،ص{\displaystyle H^{q,p}}:

ح:=حZ⊗Zج=⨁ص+q=نحص،q،{\displaystyle H:=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {C} =\bigoplus \nolimits _{p+q=n}H^{p,q},}
حص،q¯=حq،ص.{\displaystyle {\overline {H^{p,q}}}=H^{q,p}.}

يمكن الحصول على تعريف مكافئ عن طريق استبدال تحليل المجموع المباشر لـح{\displaystyle H}باستخدام ترشيح هودج ، وهو ترشيح متناقص محدود لـح{\displaystyle H}بواسطة الفضاءات الفرعية المعقدةFصح(ص∈Z)،{\displaystyle F^{p}H(p\in \mathbb {Z} ),}رهناً بالشرط

∀ص،q : ص+q=ن+1،Fصح∩Fqح¯=0وFصح⊕Fqح¯=ح.{\displaystyle \forall p,q\ :\ p+q=n+1,\qquad F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}}=0\quad {\text{و}}\quad F^{p}H\oplus {\overline {F^{q}H}}=H.}

العلاقة بين هذين الوصفين موضحة على النحو التالي:

حص،q=Fصح∩Fqح¯،{\displaystyle H^{p,q}=F^{p}H\cap {\overline {F^{q}H}},}
Fصح=⨁أنا≥صحأنا،ن-أنا.{\displaystyle F^{p}H=\bigoplus \nolimits _{i\geq p}H^{i,n-i}.}

على سبيل المثال، إذاX{\displaystyle X}هو مشعب كاهلر صغير الحجم ،حZ=حن(X،Z){\displaystyle H_{\mathbb {Z} }=H^{n}(X,\mathbb {Z} )}هون{\displaystyle n}إذا كانت لدينا مجموعة التماثل من الرتبة n للمصفوفة X ذات معاملات صحيحة، فإنح=حن(X،ج){\displaystyle H=H^{n}(X,\mathbb {C} )}هون{\displaystyle n}توفر مجموعة التماثل من الرتبة n ذات المعاملات المركبة ونظرية هودج تحليلًا لـح{\displaystyle H}إلى مجموع مباشر كما هو موضح أعلاه، بحيث تحدد هذه البيانات بنية هودج خالصة للوزنن{\displaystyle n}من ناحية أخرى، يوفر تسلسل هودج-دي رام الطيفيحن{\displaystyle H^{n}}مع انخفاض الترشيح بواسطةFصح{\displaystyle F^{p}H}كما في التعريف الثاني. [ 1 ]

بالنسبة للتطبيقات في الهندسة الجبرية ، وتحديداً تصنيف المتنوعات الإسقاطية المعقدة حسب دوراتها ، فإن مجموعة جميع هياكل هودج ذات الوزنن{\displaystyle n}علىحZ{\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}كبير جدًا. باستخدام علاقات ريمان الثنائية الخطية ، والتي تُسمى في هذه الحالة علاقات هودج ريمان الثنائية الخطية ، يمكن تبسيطه بشكل كبير. يتكون هيكل هودج المستقطب ذو الوزن n من هيكل هودج(حZ،حص،q){\displaystyle (H_{\mathbb {Z} },H^{p,q})}وشكل ثنائي خطي صحيح غير منحلسؤال{\displaystyle Q}علىحZ{\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}( الاستقطاب )، والذي يمتد إلىح{\displaystyle H}عن طريق الخطية، واستيفاء الشروط التالية:

سؤال(φ،ψ)=(-1)نسؤال(ψ،φ) ل φ∈حص،q،ψ∈حص′،q′؛سؤال(φ،ψ)=0 ل φ∈حص،q،ψ∈حص′،q′،ص≠q′؛أناص-qسؤال(φ،φ¯)>0 ل φ∈حص،q، φ≠0.{\displaystyle {\begin{aligned}Q(\varphi ,\psi )&=(-1)^{n}Q(\psi ,\varphi )&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'};\\Q(\varphi ,\psi )&=0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\psi \in H^{p',q'},p\neq q';\\i^{p-q}Q\left(\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \in H^{p,q},\ \varphi \neq 0.\end{aligned}}}

فيما يتعلق بترشيح هودج، فإن هذه الشروط تعني أن

سؤال(Fص،Fن-ص+1)=0،سؤال(جφ،φ¯)>0 ل φ≠0،{\displaystyle {\begin{aligned}Q\left(F^{p},F^{n-p+1}\right)&=0,\\Q\left(C\varphi ,{\bar {\varphi }}\right)&>0&&{\text{ for }}\varphi \neq 0,\end{aligned}}}

أينج{\displaystyle C}هل مشغل ويل موجود فيح{\displaystyle H}، مقدمة منج=أناص-q{\displaystyle C=i^{p-q}}علىحص،q{\displaystyle H^{p,q}}.

وهناك تعريف آخر لبنية هودج يعتمد على التكافؤ بينZ{\displaystyle \mathbb {Z} }-التصنيف على فضاء متجهي مركب وتأثير مجموعة الدائرة U(1) . في هذا التعريف، تأثير المجموعة الضربية للأعداد المركبةج*{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}يُعطى على شكل طارة جبرية حقيقية ثنائية الأبعادح{\displaystyle H}[ 2 ] يجب أن يتمتع هذا الفعل بالخاصية التي تجعل العدد الحقيقي a يؤثر بواسطة العدد n . الفضاء الجزئيحص،q{\displaystyle H^{p,q}}هو الفضاء الفرعي الذيz∈ج*{\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{*}}يعمل كعملية ضرب بواسطةzصz¯q.{\displaystyle z^{\,p}{\bar {z}}^{\,q}.}

هيكل هودج أ

في نظرية الدوافع، يصبح من المهم السماح بمعاملات أكثر عمومية للتماثل. يتم تعديل تعريف بنية هودج عن طريق تثبيت حلقة فرعية نوثرية A للحقلR{\displaystyle \mathbb {R} }من الأعداد الحقيقية ، والتيأ⊗ZR{\displaystyle \mathbf {A} \otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }هو حقل. ثم يتم تعريف بنية هودج A النقية ذات الوزن n كما كان من قبل، مع استبدالZ{\displaystyle \mathbb {Z} }مع A. هناك دوال طبيعية لتغيير القاعدة والتقييد التي تربط بين هياكل هودج A وهياكل B لـ A حلقة فرعية من B.

هياكل هودج المختلطة

لاحظ جان بيير سير في ستينيات القرن العشرين، استنادًا إلى حدسيات ويل، أن حتى الأصناف الجبرية الشاذة (التي قد تكون قابلة للاختزال) وغير الكاملة يجب أن تقبل "أعداد بيتي افتراضية". وبشكل أدق، ينبغي أن يكون بالإمكان إسناد متعددة حدود P( X ( t ))، تُسمى متعددة حدود بوانكاريه الافتراضية ، إلى أي صنف جبري X ، تتمتع بالخصائص التالية:

  • إذا كانت X غير منفردة وإسقاطية (أو كاملة)PX(ت)=∑رتبة⁡(حن(X))تن{\displaystyle P_{X}(t)=\sum \operatorname {rank} (H^{n}(X))t^{n}}
  • إذا كانت Y مجموعة جبرية مغلقة جزئية من X و U = X  \ Y PX(ت)=PY(ت)+Pيو(ت){\displaystyle P_{X}(t)=P_{Y}(t)+P_{U}(t)}

إن وجود هذه كثيرات الحدود ينبع من وجود نظير لبنية هودج في تماثلات صنف جبري عام (شاذ وغير كامل). وتكمن السمة الجديدة في أن التماثل النوني لصنف جبري عام يبدو كما لو أنه يحتوي على أجزاء ذات أوزان مختلفة. وقد قاد هذا ألكسندر غروتينديك إلى نظريته التخمينية للدوافع ، وحفز البحث عن توسيع لنظرية هودج، والذي بلغ ذروته في عمل بيير ديلين . فقد قدم مفهوم بنية هودج المختلطة، وطور تقنيات للتعامل معها، وقدم طريقة بنائها (استنادًا إلى حل هيسوك هيروناكا للحالات الشاذة )، وربطها بالأوزان على التماثل l-adic ، مُثبتًا بذلك الجزء الأخير من تخمينات ويل .

مثال على المنحنيات

لتوضيح التعريف، لنأخذ في الاعتبار حالة منحنى جبري معقد قابل للاختزال X يتكون من عنصرين غير منفردين، X1{\displaystyle X_{1}}وX2{\displaystyle X_{2}}والتي تتقاطع بشكل عرضي عند النقاطسؤال1{\displaystyle Q_{1}}وسؤال2{\displaystyle Q_{2}}علاوة على ذلك، افترض أن المكونات ليست متراصة، ولكن يمكن تكثيفها عن طريق إضافة النقاطP1،...،Pن{\displaystyle P_{1},\dots ,P_{n}}تُعدّ مجموعة التماثل الأولى للمنحنى X (ذو الدعم المدمج) ثنائية لمجموعة التماثل الأولى، مما يُسهّل تصورها. يوجد في هذه المجموعة ثلاثة أنواع من الدورات الأحادية. أولًا، هناك عناصرαأنا{\displaystyle \alpha _{i}}تمثل حلقات صغيرة حول الثقوبPأنا{\displaystyle P_{i}}ثم هناك عناصرβج{\displaystyle \beta _{j}}والتي تنشأ من التماثل الأول لتكثيف كل مكون من المكونات. الدورة الواحدة فيXك⊂X{\displaystyle X_{k}\subset X}(ك=1،2{\displaystyle k=1,2}) المقابل لدورة في عملية ضغط هذا المكون، ليس معياريًا: يتم تحديد هذه العناصر بتردد امتدادα1،...،αن{\displaystyle \alpha _{1},\dots ,\alpha _{n}}وأخيرًا، بتردد النوعين الأولين، يتم توليد المجموعة بواسطة دورة توافقيةγ{\displaystyle \gamma }والذي ينتقل منسؤال1{\displaystyle Q_{1}}لسؤال2{\displaystyle Q_{2}}على طول مسار في مكون واحدX1{\displaystyle X_{1}}ويعود على طول مسار في المكون الآخرX2{\displaystyle X_{2}}وهذا يشير إلى أنح1(X){\displaystyle H_{1}(X)}يُقر بزيادة الترشيح

0⊂دبليو0⊂دبليو1⊂دبليو2=ح1(X)،{\displaystyle 0\subset W_{0}\subset W_{1}\subset W_{2}=H^{1}(X),}

تنشأ نواتج القسمة المتتالية W n / W n −1 من علم التماثل للأصناف الكاملة الملساء، وبالتالي تقبل هياكل هودج (الخالصة)، وإن كانت بأوزان مختلفة. يمكن الاطلاع على المزيد من الأمثلة في "دليل مبسط لنظرية هودج المختلطة". [ 3 ]

تعريف بنية هودج المختلطة

بنية هودج مختلطة على مجموعة أبيليةحZ{\displaystyle H_{\mathbb {Z} }}يتألف من ترشيح متناقص محدود F p على فضاء المتجهات المركب H (تحويل فضاء المتجهات المركب إلى فضاء معقد).حZ{\displaystyle H_{\mathbb {Z} }})، والتي تُسمى ترشيح هودج ، وترشيح متزايد محدود W i على فضاء المتجهات العقلانيحسؤال=حZ⊗Zسؤال{\displaystyle H_{\mathbb {Q} }=H_{\mathbb {Z} }\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {Q} }(التي يتم الحصول عليها عن طريق توسيع الكميات القياسية إلى أعداد نسبية)، وتسمى ترشيح الوزن ، وتخضع لشرط أن يكون حاصل القسمة المتدرج المرتبط بها من الرتبة n هوحسؤال{\displaystyle H_{\mathbb {Q} }}فيما يتعلق بترشيح الوزن، بالإضافة إلى الترشيح الناتج عن F على تعقيده، فهو بنية هودج خالصة من الوزن n ، لجميع الأعداد الصحيحة n . هنا الترشيح الناتج على

غرامندبليو⁡ح=دبليون⊗ج/دبليون-1⊗ج{\displaystyle \operatorname {gr} _{n}^{W}H=W_{n}\otimes \mathbb {C} /W_{n-1}\otimes \mathbb {C} }

يتم تعريفها بواسطة

Fصغرامندبليو⁡ح=(Fص∩دبليون⊗ج+دبليون-1⊗ج)/دبليون-1⊗ج.{\displaystyle F^{p}\operatorname {gr} _{n}^{W}H=\left(F^{p}\cap W_{n}\otimes \mathbb {C} +W_{n-1}\otimes \mathbb {C} \right)/W_{n-1}\otimes \mathbb {C} .}

يمكن تعريف مفهوم التشكل لهياكل هودج المختلطة، والذي يجب أن يكون متوافقًا مع الترشيحات F و W وإثبات ما يلي:

نظرية. تشكل هياكل هودج المختلطة فئة أبيلية . تتطابق النوى والنوى المساعدة في هذه الفئة مع النوى والنوى المساعدة المعتادة في فئة الفضاءات المتجهة، مع الترشيحات المستحثة.

تتمتع بنية التماثل الكلي لمتشعب كاهلر المضغوط ببنية هودج مختلطة، حيث يمثل الفضاء النوني لترشيح الوزن W<sub> n</sub> المجموع المباشر لمجموعات التماثل (ذات المعاملات النسبية) من الدرجة n أو أقل . لذلك، يمكن اعتبار نظرية هودج الكلاسيكية في الحالة المضغوطة والمعقدة بمثابة توفير تدرج مزدوج على مجموعة التماثل المعقدة، مما يُعرّف ترشيحًا متزايدًا F<sub> p </sub> وترشيحًا متناقصًا W<sub> n</sub> متوافقين بطريقة معينة. بشكل عام، لا يزال فضاء التماثل الكلي يحتوي على هذين الترشيحين، لكنهما لم يعودا ناتجين عن تحليل المجموع المباشر. فيما يتعلق بالتعريف الثالث لبنية هودج النقية، يمكن القول إنه لا يمكن وصف بنية هودج المختلطة باستخدام فعل المجموعة.ج*.{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}.}تتمثل إحدى الأفكار المهمة التي توصل إليها ديلين في أنه في الحالة المختلطة توجد مجموعة جبرية غير تبادلية أكثر تعقيدًا يمكن استخدامها لتحقيق نفس التأثير باستخدام الشكلية التاناكية .

علاوة على ذلك، تسمح فئة هياكل هودج (المختلطة) بمفهوم جيد للجداء الموتري، الذي يتوافق مع جداء المتنوعات، بالإضافة إلى مفاهيم ذات صلة مثل Hom الداخلي والكائن المزدوج ، مما يجعلها فئة تاناكية . وفقًا لفلسفة تاناكا-كراين ، تُكافئ هذه الفئة فئة التمثيلات ذات الأبعاد المحدودة لمجموعة معينة، والتي وصفها ديلين وميلن وآخرون بشكل صريح، انظر ديلين وميلن (1982) [ 4 ] وديلين (1994) . أعاد كابرانوف ( 2012) صياغة وصف هذه المجموعة بمصطلحات هندسية أكثر . أما التحليل المقابل (الأكثر تعقيدًا) لهياكل هودج العقلانية النقية القابلة للاستقطاب فقد أجراه باتريكيس (2016) .

بنية هودج المختلطة في علم التماثل (نظرية ديلين)

أثبت ديلين أن زمرة التماثل من الرتبة n لأي صنف جبري تمتلك بنية هودج مختلطة أساسية. هذه البنية دالية ، ومتوافقة مع جداءات الأصناف ( تماثل كونيث ) والجداء في التماثل. بالنسبة لصنف كامل غير شاذ X، تكون هذه البنية نقية من الوزن n ، ويمكن تعريف ترشيح هودج من خلال التماثل الفائق لمركب دي رام المقتطع.

يتألف البرهان تقريبًا من جزأين، يتناولان عدم التراص والحالات الشاذة. يستخدم كلا الجزأين حل الحالات الشاذة (بفضل هيروناكا) بشكل أساسي. في حالة الحالات الشاذة، تُستبدل المتنوعات بمخططات تبسيطية، مما يؤدي إلى جبر تماثلي أكثر تعقيدًا، ويُستخدم مفهوم تقني لبنية هودج على المركبات (بدلاً من علم التماثل).

باستخدام نظرية الدوافع ، من الممكن تحسين ترشيح الوزن على علم التماثل ذي المعاملات النسبية إلى واحد ذي معاملات صحيحة. [ 5 ]

أمثلة

  • بنية تيت -هودجZ(1){\displaystyle \mathbb {Z} (1)}هو هيكل هودج ذو البنية الأساسيةZ{\displaystyle \mathbb {Z} }الوحدة المعطاة بواسطة2πأناZ{\displaystyle 2\pi i\mathbb {Z} }(مجموعة فرعية منج{\displaystyle \mathbb {C} })، معZ(1)⊗ج=ح-1،-1.{\displaystyle \mathbb {Z} (1)\otimes \mathbb {C} =H^{-1,-1}.}إذن، فهي نقية من الوزن -2 بحسب التعريف، وهي بنية هودج النقية الوحيدة أحادية البعد من الوزن -2 حتى التشاكلات. وبشكل أعم، يُرمز إلى قوة الموتر النونية لها بـZ(ن)؛{\displaystyle \mathbb {Z} (n);}هو أحادي البعد ونقي الوزن −2 n .
  • تتمتع مجموعة التماثل لشعبة كاهلر المدمجة ببنية هودج، ومجموعة التماثل رقم n نقية من الوزن n .
  • تتمتع نظرية التماثل لتنوع معقد (قد يكون مفردًا أو غير مناسب) ببنية هودج مختلطة. وقد تم إثبات ذلك بالنسبة للتنوعات الملساء بواسطة ديلين (1971) ، وديلين (1971أ) ، وبشكل عام بواسطة ديلين (1974) .
  • لنوع إسقاطيX{\displaystyle X}مع وجود نقاط تفرد طبيعية عند التقاطعات، يوجد تسلسل طيفي ذو صفحة E2 متدهورة، والتي تحسب جميع بنيات هودج المختلطة الخاصة به. تحتوي صفحة E1 على حدود صريحة مع تفاضل ناتج عن مجموعة تبسيطية . [ 6 ]
  • أي صنف أملس X يقبل تكثيفًا أملسًا يكون مكمله قاسمًا طبيعيًا متقاطعًا. يمكن استخدام الصيغ اللوغاريتمية المقابلة لوصف بنية هودج المختلطة على علم التماثل لـ X بشكل صريح. [ 7 ]
  • بنية هودج لسطح فائق إسقاطي أملسX⊂Pن+1{\displaystyle X\subset \mathbb {P} ^{n+1}}درجة علميةد{\displaystyle d}وقد تم توضيح ذلك بشكل صريح من قبل غريفيث في بحثه بعنوان "التكاملات الدورية للمتشعبات الجبرية". إذاو∈ج[x0،...،xن+1]{\displaystyle f\in \mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}هي متعددة الحدود التي تحدد السطح الفائقX{\displaystyle X}ثم حلقة قسمة جاكوبيان المتدرجةR(و)=ج[x0،...،xن+1](∂و∂x0،...،∂و∂xن+1){\displaystyle R(f)={\frac {\mathbb {C} [x_{0},\ldots ,x_{n+1}]}{\left({\frac {\partial f}{\partial x_{0}}},\ldots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n+1}}}\right)}}}يحتوي على جميع معلومات التماثل الأوسط لـX{\displaystyle X}يُظهر ذلكحص،ن-ص(X)بريم≅R(و)(ن+1-ص)د-ن-2{\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{\text{prim}}\cong R(f)_{(n+1-p)d-n-2}}على سبيل المثال، لننظر إلى سطح K3 المعطى بواسطةز=x04+⋯+x34{\displaystyle g=x_{0}^{4}+\cdots +x_{3}^{4}}، لذلكد=4{\displaystyle d=4}ون=2{\displaystyle n=2}ثم، تكون حلقة جاكوبيان المتدرجة هيج[x0،x1،x2،x3](x03،x13،x23،x33){\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x_{0},x_{1},x_{2},x_{3}]}{(x_{0}^{3},x_{1}^{3},x_{2}^{3},x_{3}^{3})}}}ثم يُقرأ التشاكل لمجموعات التماثل الأولية كما يليحص،ن-ص(X)صرأنام≅R(ز)(2+1-ص)4-2-2=R(ز)4(3-ص)-4{\displaystyle H^{p,n-p}(X)_{prim}\cong R(g)_{(2+1-p)4-2-2}=R(g)_{4(3-p)-4}}لذلكح0،2(X)بريم≅R(ز)8=ج⋅x02x12x22x32ح1،1(X)بريم≅R(ز)4ح2،0(X)بريم≅R(ز)0=ج⋅1{\displaystyle {\begin{aligned}H^{0,2}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{8}=\mathbb {C} \cdot x_{0}^{2}x_{1}^{2}x_{2}^{2}x_{3}^{2}\\H^{1,1}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{4}\\H^{2,0}(X)_{\text{prim}}&\cong R(g)_{0}=\mathbb {C} \cdot 1\end{aligned}}}لاحظ أنR(ز)4{\displaystyle R(g)_{4}}الفضاء المتجهي الممتد بواسطةx02x12،x02x1x2،x02x1x3،x02x22،x02x2x3،x02x32،x0x12x2،x0x12x3،x0x1x22،x0x1x2x3،x0x1x32،x0x22x3،x0x2x32،x12x22،x12x2x3،x12x32،x1x22x3،x1x2x32،x22x32{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrrrr}x_{0}^{2}x_{1}^{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{2},&x_{0}^{2}x_{1}x_{3},&x_{0}^{2}x_{2}^{2},&x_{0}^{2}x_{2}x_{3},&x_{0}^{2}x_{3}^{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{2},&x_{0}x_{1}^{2}x_{3},\\x_{0}x_{1}x_{2}^{2},&x_{0}x_{1}x_{2}x_{3},&x_{0}x_{1}x_{3}^{2},&x_{0}x_{2}^{2}x_{3},&x_{0}x_{2}x_{3}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}^{2},&x_{1}^{2}x_{2}x_{3},&x_{1}^{2}x_{3}^{2},\\x_{1}x_{2}^{2}x_{3},&x_{1}x_{2}x_{3}^{2},&x_{2}^{2}x_{3}^{2}\end{array}}}وهو ذو 19 بُعدًا. يوجد متجه إضافي فيح1،1(X){\displaystyle H^{1,1}(X)}مقدمة من فئة ليفشيتز[ل]{\displaystyle [L]}انطلاقًا من نظرية ليفشيتز للمستويات الفائقة وازدواجية هودج، فإن بقية علم التماثل موجود فيحك،ك(X){\displaystyle H^{k,k}(X)}كما هو1{\displaystyle 1}-أبعاد. ومن ثمّ يُقرأ ماسة هودج
    1
    00
    1201
    00
    1
  • يمكننا أيضًا استخدام التماثل السابق للتحقق من جنس درجة معينة.د{\displaystyle d}منحنى مستوٍ. بما أنxد+yد+zد{\displaystyle x^{d}+y^{d}+z^{d}}هو منحنى أملس، وتضمن نظرية إهرسمان للتليف أن كل منحنى أملس آخر من النوعز{\displaystyle g}بما أن المتماثل متماثل، فإن الجنس يكون متماثلاً. لذا، باستخدام تماثل علم التماثل الأولي مع الجزء المتدرج من حلقة جاكوبي، نرى أنح1،0≅R(و)د-3≅ج[x،y،z]د-3{\displaystyle H^{1,0}\cong R(f)_{d-3}\cong \mathbb {C} [x,y,z]_{d-3}}وهذا يعني أن البعد هو(2+د-32)=(د-12)=(د-1)(د-2)2{\displaystyle {2+d-3 \choose 2}={d-1 \choose 2}={\frac {(d-1)(d-2)}{2}}}حسب الرغبة.
  • كما يمكن حساب أعداد هودج للتقاطع الكامل بسهولة: هناك صيغة توافقية وجدها فريدريش هيرزبروش . [ 8 ]

التطبيقات

تُشكّل الآلية القائمة على مفاهيم بنية هودج وبنية هودج المختلطة جزءًا من نظرية الدوافع التي لا تزال في معظمها تخمينية، والتي وضعها ألكسندر غروتينديك . تتشابه المعلومات الحسابية للتنوع الجبري غير المنفرد X ، المُشفّرة بواسطة القيم الذاتية لعناصر فروبينيوس المؤثرة على تماثلها من الرتبة l-adic ، مع بنية هودج الناشئة عن X باعتباره تنوعًا جبريًا معقدًا. وقد لاحظ سيرجي غيلفاند ويوري مانين، حوالي عام 1988، في كتابهما "أساليب الجبر التماثلي "، أنه على عكس تناظرات غالوا المؤثرة على مجموعات التماثل الأخرى، فإن أصل "تناظرات هودج" غامض للغاية، على الرغم من أنها تُعبّر عنها رسميًا من خلال تأثير المجموعة غير المعقدة نسبيًا.Rج/Rج*{\displaystyle R_{\mathbf {C/R} }{\mathbf {C} }^{*}}حول علم التماثل دي رام. ومنذ ذلك الحين، ازداد الغموض مع اكتشاف وصياغة التناظر المرآوي رياضياً.

تنوع بنية هودج

يُعدّ أحد أنواع بنية هودج ( غريفيثس (1968) ، غريفيثس (1968أ) ، غريفيثس (1970) ) عائلة من بنى هودج المُعَلمة بواسطة مشعب معقد X. وبشكل أدق، يتكون أحد أنواع بنية هودج ذات الوزن n على مشعب معقد X من حزمة ثابتة محليًا S من الزمر الأبيلية المولدة نهائيًا على X ، بالإضافة إلى ترشيح هودج متناقص F على S ⊗ O X ، مع مراعاة الشرطين التاليين:

  • تُحدث عملية الترشيح بنية هودج بوزن n على كل ساق من الحزمة S
  • ( التقاطعية لغريفيث ) الاتصال الطبيعي على خرائط S ⊗ O XFن{\displaystyle F^{n}}داخلFن-1⊗ΩX1.{\displaystyle F^{n-1}\otimes \Omega _{X}^{1}.}

هنا، الاتصال الطبيعي (المسطح) على S ⊗ O X الناتج عن الاتصال المسطح على S والاتصال المسطح d على O X ، و O X هي حزمة الدوال التحليلية على X ، وΩX1{\displaystyle \Omega _{X}^{1}}هي حزمة الأشكال التفاضلية من الدرجة الأولى على X. هذا الاتصال المسطح الطبيعي هو اتصال جاوس-مانين ∇ ويمكن وصفه بواسطة معادلة بيكارد-فوكس .

يمكن تعريف شكل مختلف من بنية هودج المختلطة بطريقة مماثلة، وذلك بإضافة عملية تدرج أو ترشيح W إلى S. ويمكن إيجاد أمثلة نموذجية من التشكلات الجبرية.و:جن→ج{\displaystyle f:\mathbb {C} ^{n}\to \mathbb {C} }. على سبيل المثال،

{و:ج2→جو(x،y)=y6-x6{\displaystyle {\begin{cases}f:\mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} \\f(x,y)=y^{6}-x^{6}\end{cases}}}

يحتوي على ألياف

Xت=و-1({ت})={(x،y)∈ج2:y6-x6=ت}{\displaystyle X_{t}=f^{-1}(\{t\})=\left\{(x,y)\in \mathbb {C} ^{2}:y^{6}-x^{6}=t\right\}}

وهي منحنيات مستوية ملساء من النوع 10 لـت≠0{\displaystyle t\neq 0}وتتحول إلى منحنى منفرد عندت=0.{\displaystyle t=0.}ثم حزم التماثل

Rو*أنا(سؤال_ج2){\displaystyle \mathbb {R} f_{*}^{i}\left({\underline {\mathbb {Q} }}_{\mathbb {C} ^{2}}\right)}

أعطِ تنويعات من هياكل هودج المختلطة.

وحدات هودج

وحدات هودج هي تعميم لتغيرات بنى هودج على مشعب معقد. يمكن اعتبارها بشكل غير رسمي بمثابة حزم من بنى هودج على مشعب؛ أما التعريف الدقيق الذي قدمه سايتو (1989) فهو تقني ومعقد نوعًا ما. توجد تعميمات لوحدات هودج المختلطة، وللمشعبات ذات النقاط الشاذة.

لكل صنف معقد أملس، توجد فئة أبيلية من وحدات هودج المختلطة مرتبطة به. تتصرف هذه الوحدات شكليًا مثل فئات الحزم فوق المتشعبات؛ على سبيل المثال، تُنشئ التشكلات f بين المتشعبات دوالًا f * و f* و f ! و f ! بين ( الفئات المشتقة من) وحدات هودج المختلطة المشابهة لتلك الخاصة بالحزم.

انظر أيضاً

ملحوظات

  1. ↑ فيما يتعلق بالتسلسلات الطيفية، انظر الجبر المتماثل ، ويمكن وصف تركيبات هودج على النحو التالي:
    هـ1ص،q=حص+q(غرامندبليو⁡ح)⇒حص+q،{\displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p+q}(\operatorname {gr} _{n}^{W}H)\Rightarrow H^{p+q},}
    باستخدام الرموز الواردة في #تعريف بنية هودج المختلطة . والحقيقة المهمة هي أن هذا متدهور عند الحد E 1 ، مما يعني أن متتالية هودج-دي رام الطيفية، ومن ثم تحليل هودج، تعتمد فقط على البنية المعقدة وليس على مقياس كاهلر على M.
  2. ↑ بتعبير أدق، ليكن S الزمرة الجبرية الحقيقية التبادلية ثنائية الأبعادالمعرفة على أنها تقييد ويل للزمرة الضربية منج{\displaystyle \mathbb {C} }لR؛{\displaystyle \mathbb {R} بمعنى آخر، إذا كانت A جبرًا علىR،{\displaystyle \mathbb {R} ,}إذن، فإن المجموعة S ( A ) من النقاط ذات القيم A في S هي المجموعة الضربية لـأ⊗ج.{\displaystyle A\otimes \mathbb {C} .}ثمS(R){\displaystyle S(\mathbb {R} )}هي المجموعةج*{\displaystyle \mathbb {C} ^{*}}من الأعداد المركبة غير الصفرية.
  3. ↑ دورفي، آلان (1981). "دليل مبسط لنظرية هودج المختلطة". التحليل المركب للحالات الشاذة . 415 : 48-63 . hdl : 2433/102472 .
  4. ↑ ركزت المقالة الثانية بعنوان "فئات تاناكيان" بقلم ديلين وميلن على هذا الموضوع.
  5. ^ جيليت، هنري ؛ سوليه، كريستوف (1996). “النسب والدوافع ونظرية K ”. مجلة für die Reine und Angewandte Mathematik . 1996 (478): 127–176 . أرخايف : alg-geom/9507013 . بيب كود : 1995alg.geom..7013G . دوى : 10.1515/crll.1996.478.127 . السيد 1409056 . S2CID 16441433 .  القسم 3.1
  6. ↑ جونز، بي إف، "بنية هودج المختلطة لديلين للأصناف الإسقاطية ذات نقاط التقاطع العادية فقط" (ملف PDF) ، ندوة عمل نظرية هودج - ربيع 2005
  7. ↑ نيكولايسكو، ليفيو، "بنى هودج المختلطة على أصناف جبرية ملساء" (ملف PDF) ، ندوة عمل نظرية هودج - ربيع 2005
  8. ↑ "معين هودج للتقاطعات الكاملة" . ستاك إكستشينج . 14 ديسمبر 2013.

المراجع التمهيدية

مقالات استطلاعية

مراجع