السماحية

تعتمد سعة المكثف على تصميمه وبنيته، مما يعني أنها لا تتغير مع الشحن والتفريغ. وتُكتب صيغة سعة المكثف ذي اللوحين المتوازيين على النحو التالي:

$${\displaystyle C=\varepsilon \ {\frac {A}{d}}}$$

أين${\displaystyle A}$هي مساحة صفيحة واحدة،${\displaystyle d}$هي المسافة بين الصفيحتين، و${\displaystyle \varepsilon }$تمثل سماحية الوسط بين اللوحين. بالنسبة لمكثف ذي سماحية نسبية${\displaystyle \kappa }$يمكن القول أن

$${\displaystyle C=\kappa \ \varepsilon _{0}{\frac {A}{d}}}$$

ترتبط السماحية بالتدفق الكهربائي (وبالتالي بالمجال الكهربائي) من خلال قانون جاوس . ينص قانون جاوس على أنه بالنسبة لسطح جاوسي مغلق ، S ،

$${\displaystyle \Phi _{E}={\frac {Q_{\text{enc}}}{\varepsilon _{0}}}=\oint _{S}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {A} \ ,}$$ أين${\displaystyle \Phi _{E}}$يمثل صافي التدفق الكهربائي المار عبر السطح،${\displaystyle Q_{\text{enc}}}$هي الشحنة المحصورة داخل السطح الغاوسي،${\displaystyle \mathbf {E} }$يمثل متجه المجال الكهربائي عند نقطة معينة على السطح، و${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {A} }$هو متجه مساحة تفاضلي على سطح غاوسي.

إذا كان سطح غاوس يحيط بشكل منتظم بترتيب شحنات معزول ومتماثل، فيمكن تبسيط الصيغة إلى

$${\displaystyle E\ A\ \cos \theta ={\frac {\;Q_{\text{enc}}}{\ \varepsilon _{0}\ }}\ ,}$$ أين${\displaystyle \ \theta \ }$يمثل الزاوية بين خطوط المجال الكهربائي والعمودي (المتعامد) على S.

إذا عبرت جميع خطوط المجال الكهربائي السطح بزاوية 90 درجة، فيمكن تبسيط الصيغة أكثر إلى

$${\displaystyle \ E={\frac {\;Q_{\text{enc}}}{\ \varepsilon _{0}\ A\ }}~.}$$

لأن مساحة سطح الكرة هي${\displaystyle \ 4\pi r^{2}\ ,}$المجال الكهربائي على مسافة${\displaystyle r}$بعيدًا عن ترتيب الشحنات الكروية المنتظمة

$${\displaystyle \ E={\frac {Q}{\ \varepsilon _{0}A\ }}={\frac {Q}{\ \varepsilon _{0}\ \left(4\ \pi \ r^{2}\right)\ }}={\frac {Q}{\ 4\pi \ \varepsilon _{0}\ r^{2}\ }}~.}$$

تنطبق هذه الصيغة على المجال الكهربائي الناتج عن شحنة نقطية، خارج كرة أو غلاف موصل، أو خارج كرة عازلة مشحونة بشكل منتظم، أو بين لوحي مكثف كروي.

على عكس استجابة الفراغ، تعتمد استجابة المواد العادية للمجالات الخارجية عمومًا على تردد المجال. ويعكس هذا الاعتماد على التردد حقيقة أن استقطاب المادة لا يتغير لحظيًا عند تطبيق مجال كهربائي. يجب أن تكون الاستجابة دائمًا سببية (تنشأ بعد تطبيق المجال)، ويمكن تمثيلها بفرق في الطور. لهذا السبب، غالبًا ما تُعامل السماحية الكهربائية كدالة مركبة للتردد الزاوي ω للمجال المطبق.

$${\displaystyle \varepsilon \rightarrow {\hat {\varepsilon }}(\omega )}$$

(بما أن الأعداد المركبة تسمح بتحديد المقدار والطور). وبالتالي يصبح تعريف السماحية

$${\displaystyle D_{0}\ e^{-i\omega t}={\hat {\varepsilon }}(\omega )\ E_{0}\ e^{-i\omega t}\ ,}$$ أين

• يمثل كل من D _o و E _o سعة مجالي الإزاحة والكهرباء على التوالي.
• i هي الوحدة التخيلية ، i ² = − 1 .

يتم وصف استجابة الوسط للمجالات الكهربائية الساكنة بواسطة حد التردد المنخفض للنفاذية، والذي يسمى أيضًا النفاذية الساكنة ε _s (وأيضًا ε _DC ):

$${\displaystyle \varepsilon _{\mathrm {s} }=\lim _{\omega \rightarrow 0}{\hat {\varepsilon }}(\omega )~.}$$

عند حد الترددات العالية (أي الترددات الضوئية)، يُشار عادةً إلى السماحية الكهربائية المركبة بالرمز ε∞ ₍ أو أحيانًا εopt ^{[ 11 ]} ). عند تردد البلازما وما دونه، تتصرف المواد العازلة كمعادن مثالية، مع سلوك غاز الإلكترونات. تُعد السماحية الساكنة تقريبًا جيدًا للحقول المتناوبة ذات الترددات المنخفضة، ومع ازدياد التردد، يظهر فرق طور قابل للقياس _δ بين D و E. يعتمد _{التردد الذي يصبح عنده انزياح الطور ملحوظًا على درجة} الحرارة وخصائص الوسط. بالنسبة لشدة مجال متوسطة ( Eo )، يظل D و E متناسبين، و

$${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}={\frac {D_{0}}{E_{0}}}=|\varepsilon |e^{-i\delta }~.}$$

بما أن استجابة المواد للحقول المتناوبة تتميز بسماحية معقدة، فمن الطبيعي فصل أجزائها الحقيقية والخيالية، وهو ما يتم اصطلاحاً بالطريقة التالية:

$${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\omega )=\varepsilon '(\omega )-i\varepsilon ''(\omega )=\left|{\frac {D_{0}}{E_{0}}}\right|\left(\cos \delta -i\sin \delta \right)~.}$$

أين

• ε′ هو الجزء الحقيقي من السماحية؛
• -ε″ هو الجزء التخيلي من السماحية؛
• δ هي زاوية الفقد .

إن اختيار الإشارة للاعتماد الزمني، e ^{− iωt} ، يحدد اصطلاح الإشارة للجزء التخيلي من السماحية.

عادةً ما تكون السماحية الكهربائية المركبة دالةً معقدةً للتردد ω ، لأنها وصفٌ مُركّبٌ لظواهر التشتت التي تحدث عند ترددات متعددة. يجب أن تحتوي دالة العزل الكهربائي ε ( ω ) على أقطاب فقط عند الترددات ذات الأجزاء التخيلية الموجبة، وبالتالي فهي تُحقق علاقات كرامرز-كرونيغ . مع ذلك، في نطاقات التردد الضيقة التي تُدرس غالبًا في التطبيقات العملية، يُمكن تقريب السماحية الكهربائية بأنها مستقلة عن التردد أو باستخدام دوال نموذجية.

عند تردد معين، يؤدي ε″ إلى فقدان امتصاص إذا كانت قيمته موجبة (وفقًا لاتفاقية الإشارة المذكورة أعلاه)، وإلى كسب إذا كانت قيمته سالبة. وبشكل أعم، ينبغي مراعاة الأجزاء التخيلية للقيم الذاتية لموتر العزل الكهربائي غير المتناحي.

في حالة المواد الصلبة، ترتبط دالة العزل الكهربائي المعقدة ارتباطًا وثيقًا ببنية النطاقات. الكمية الأساسية التي تميز البنية الإلكترونية لأي مادة بلورية هي احتمالية امتصاص الفوتون ، والتي ترتبط ارتباطًا مباشرًا بالجزء التخيلي من دالة العزل الكهربائي البصرية ε ( ω ) . تُعطى دالة العزل الكهربائي البصرية بالصيغة الأساسية: ^{[ 12 ]}

$${\displaystyle \varepsilon (\omega )=1+{\frac {8\pi ^{2}e^{2}}{m^{2}}}\sum _{c,v}\int W_{c,v}(E){\bigl (}\varphi (\hbar \omega -E)-\varphi (\hbar \omega +E){\bigr )}\,\mathrm {d} x~.}$$

في هذا التعبير، يُمثل W_{_{c , v} ( E )} حاصل ضرب احتمالية الانتقال المتوسطة في منطقة بريلوين عند الطاقة E مع الكثافة المشتركة للحالات ، ^{[ 13 ] [ 14 ]} J _{_{c , v} ( E )} ؛ وφ دالة توسيع، تُمثل دور التشتت في طمس مستويات الطاقة. ^{[ 15 ]} بشكل عام، يكون التوسيع متوسطًا بين اللورنتزي والغاوسي ؛ ^{[ 16 ] [ 17 ]} بالنسبة للسبائك ، يكون أقرب إلى الغاوسي بسبب التشتت القوي الناتج عن التقلبات الإحصائية في التركيب المحلي على مقياس النانومتر.

وفقًا لنموذج درود للبلازما الممغنطة، فإن التعبير الأكثر عمومية الذي يأخذ في الاعتبار تفاعل حاملات الشحنة مع مجال كهربائي متناوب عند ترددات المليمتر والميكروويف في أشباه الموصلات الممغنطة محوريًا يتطلب التعبير عن السماحية كموتر غير قطري: ^{[ 18 ]}

$${\displaystyle \mathbf {D} (\omega )={\begin{vmatrix}\varepsilon _{1}&-i\varepsilon _{2}&0\\i\varepsilon _{2}&\varepsilon _{1}&0\\0&0&\varepsilon _{z}\\\end{vmatrix}}\;\operatorname {\mathbf {E} } (\omega )}$$

إذا انعدمت قيمة ε ₂ ، فإن الموتر يكون قطريًا ولكنه لا يتناسب مع المتطابقة ويقال أن الوسط هو وسط أحادي المحور، والذي له خصائص مشابهة للبلورة أحادية المحور .

تصنيف المواد بناءً على السماحية

⁠ ε r ″ / ε r ′ ⁠	توصيل التيار	انتشار المجال
0		وسط عازل مثالي عديم الفقد
${\displaystyle \ll 1}$	مادة ذات موصلية منخفضة، موصل رديء	عازل كهربائي متوسط ​​الجودة ذو فقد منخفض
${\displaystyle \approx 1}$	مادة موصلة ذات فقد	وسط انتشار ذو فقد
${\displaystyle \gg 1}$	مادة ذات موصلية عالية، موصل جيد	عازل كهربائي متوسط ​​الفقدان ذو عازل كهربائي متوسط ​​النقص
${\displaystyle \infty }$	موصل مثالي

يمكن تصنيف المواد وفقًا لنفاذيتها الكهربائية المركبة ε ، وذلك بمقارنة مركبتيها الحقيقية ε ′ والخيالية ε ″ (أو، بشكل مكافئ، موصليتها σ ، عند أخذها في الاعتبار في الأخيرة). يتميز الموصل المثالي بموصلية لا نهائية، σ = ∞ ، بينما العازل المثالي هو مادة عديمة الموصلية تمامًا، σ = 0 ؛ وتُعرف هذه الحالة الأخيرة، ذات النفاذية الكهربائية الحقيقية (أو النفاذية الكهربائية المركبة ذات المركبة الخيالية الصفرية)، أيضًا باسم الأوساط عديمة الفقد . ^{[ 19 ]} عمومًا، عندما${\displaystyle {\frac {\sigma }{\omega \epsilon }}\ll 1}$نعتبر المادة عازلاً منخفض الفقد (وإن لم يكن عديم الفقد تماماً)، بينما${\displaystyle {\frac {\sigma }{\omega \epsilon }}\gg 1}$يرتبط هذا بالمواد الموصلة الجيدة ؛ فالمواد ذات الموصلية غير المهملة تُنتج قدرًا كبيرًا من الفقد الذي يعيق انتشار الموجات الكهرومغناطيسية، ولذلك تُسمى أيضًا بالأوساط الفاقدة . أما المواد التي لا تندرج تحت أي من هذين الحدين فتُعتبر أوساطًا عامة.

في حالة الوسط ذي الفقد، أي عندما لا يكون تيار التوصيل مهملاً، فإن كثافة التيار الكلية المتدفقة هي:

$${\displaystyle J_{\text{tot}}=J_{\mathrm {c} }+J_{\mathrm {d} }=\sigma E+i\omega \varepsilon 'E=i\omega {\hat {\varepsilon }}E}$$

أين

• σ هي موصلية الوسط؛
• ${\displaystyle \varepsilon '=\varepsilon _{0}\varepsilon _{\mathsf {r}}}$هو الجزء الحقيقي من السماحية.
• ${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}=\varepsilon '-i\varepsilon ''}$هي السماحية المركبة

لاحظ أن هذا يستخدم اصطلاح الهندسة الكهربائية للغموض المرافق المعقد ؛ أما اصطلاح الفيزياء/الكيمياء فيتضمن المرافق المعقد لهذه المعادلات.

يعتمد حجم تيار الإزاحة على التردد ω للمجال المطبق E ؛ لا يوجد تيار إزاحة في مجال ثابت.

في هذا الشكل، يتم تعريف السماحية المعقدة على النحو التالي: ^{[ 20 ] [ 21 ]}

$${\displaystyle {\hat {\varepsilon }}=\varepsilon '\left(1-i{\frac {\sigma }{\omega \varepsilon '}}\right)=\varepsilon '-i{\frac {\sigma }{\omega }}}$$

بشكل عام، يتم تغطية امتصاص الطاقة الكهرومغناطيسية بواسطة المواد العازلة من خلال عدد قليل من الآليات المختلفة التي تؤثر على شكل السماحية كدالة للتردد:

• أولًا، تأثيرات الاسترخاء المرتبطة بالثنائيات الجزيئية الدائمة والمستحثة . عند الترددات المنخفضة، يتغير المجال ببطء كافٍ ليسمح للثنائيات بالوصول إلى حالة التوازن قبل أن يتغير المجال بشكل ملحوظ. أما عند الترددات التي لا تستطيع فيها اتجاهات الثنائيات مواكبة المجال المطبق بسبب لزوجة الوسط، فإن امتصاص طاقة المجال يؤدي إلى تبديد الطاقة. تُسمى آلية استرخاء الثنائيات بالاسترخاء العازل ، وبالنسبة للثنائيات المثالية، تُوصف باسترخاء ديباي الكلاسيكي .
• ثانياً، هناك تأثيرات الرنين ، التي تنشأ من دوران أو اهتزاز الذرات أو الأيونات أو الإلكترونات . وتُلاحظ هذه العمليات في نطاق ترددات امتصاصها المميزة .

تتضافر التأثيرات المذكورة أعلاه غالبًا لتُسبب تأثيرات غير خطية داخل المكثفات. فعلى سبيل المثال، يُشير امتصاص العازل إلى عدم قدرة المكثف المشحون لفترة طويلة على التفريغ الكامل عند تفريغه لفترة وجيزة. ورغم أن المكثف المثالي يبقى عند جهد صفر فولت بعد تفريغه، فإن المكثفات الحقيقية تُولّد جهدًا صغيرًا، وهي ظاهرة تُعرف أيضًا باسم امتصاص الشحنة أو تأثير البطارية . بالنسبة لبعض المواد العازلة، مثل العديد من الأغشية البوليمرية، قد يكون الجهد الناتج أقل من 1-2% من الجهد الأصلي. ومع ذلك، قد يصل إلى 15-25% في حالة المكثفات الإلكتروليتية أو المكثفات الفائقة .

من منظور ميكانيكا الكم ، يتم تفسير السماحية من خلال التفاعلات الذرية والجزيئية .

عند الترددات المنخفضة، تستقطب جزيئات المواد العازلة القطبية بفعل مجال كهربائي مطبق، مما يحفز دورانًا دوريًا. على سبيل المثال، عند تردد الميكروويف ، يتسبب مجال الميكروويف في دوران دوري لجزيئات الماء، وهو ما يكفي لكسر الروابط الهيدروجينية . يبذل المجال شغلًا ضد الروابط، وتمتص المادة الطاقة على شكل حرارة . لهذا السبب، تعمل أفران الميكروويف بكفاءة عالية مع المواد التي تحتوي على الماء. يوجد قيمتان عظميتان للمكون التخيلي (معامل الامتصاص) للماء، إحداهما عند تردد الميكروويف، والأخرى عند تردد الأشعة فوق البنفسجية البعيدة . كلا الرنينين يقعان عند ترددات أعلى من تردد تشغيل أفران الميكروويف.

عند الترددات المتوسطة، تكون الطاقة عالية جدًا بحيث لا تُسبب دورانًا، ولكنها منخفضة جدًا بحيث لا تؤثر على الإلكترونات بشكل مباشر، ويتم امتصاصها على شكل اهتزازات جزيئية رنانة. في الماء، عند هذه الترددات يبدأ معامل الامتصاص بالانخفاض الحاد، وتكون أدنى قيمة للجزء التخيلي من السماحية عند تردد الضوء الأزرق (النطاق البصري).

عند الترددات العالية (مثل الأشعة فوق البنفسجية وما فوقها)، لا تستطيع الجزيئات الاسترخاء، ويتم امتصاص الطاقة بالكامل بواسطة الذرات، مما يؤدي إلى إثارة مستويات طاقة الإلكترونات . ولذلك، تُصنف هذه الترددات على أنها إشعاع مؤين .

على الرغم من أن إجراء نمذجة كاملة من المبادئ الأولى أصبح ممكنًا حسابيًا، إلا أنه لم يُطبَّق على نطاق واسع بعد. لذا، يُعتبر النموذج الظاهري طريقةً مناسبةً لرصد السلوكيات التجريبية. يستخدم نموذج ديباي ونموذج لورنتز تمثيلًا خطيًا لمعاملات النظام المجمعة من الدرجة الأولى والثانية (على التوالي) (مثل دائرة رنين RC ودائرة رنين LRC).