تخمين الالتواء

في الهندسة الجبرية ونظرية الأعداد ، تنص فرضية الالتواء ، أو فرضية التقييد المنتظم لنقاط الالتواء في المتنوعات الأبيلية ، على أن رتبة زمرة الالتواء لمتنوعة أبيلية على حقل عددي يمكن تقييدها بدلالة بُعد المتنوعة والحقل العددي. وهناك صيغة أقوى لهذه الفرضية تنص على أن الالتواء محدود بدلالة بُعد المتنوعة ودرجة الحقل العددي. وقد تم حل فرضية الالتواء حلاً كاملاً في حالة المنحنيات الإهليلجية .

بين عامي 1906 و1911، نشر بيبو ليفي سلسلة من الأبحاث التي تتناول الرتب المحدودة الممكنة للنقاط على المنحنيات الإهليلجية فوق الأعداد النسبية. ^{[ 1 ]} وقد بيّن أن هناك عددًا لا نهائيًا من المنحنيات الإهليلجية فوق الأعداد النسبية ذات مجموعات الالتواء التالية:

• C _n مع 1 ≤ n ≤ 10، حيث تشير C _n إلى المجموعة الدورية من الرتبة n ؛
• ج ₁₂ ؛
• C _2n × C ₂ حيث 1 ≤ n ≤ 4، حيث × يرمز إلى المجموع المباشر .

في المؤتمر الرياضي الدولي الذي عُقد في روما عام 1908، افترض ليفي أن هذه قائمة كاملة بمجموعات الالتواء للمنحنيات الإهليلجية فوق الأعداد النسبية. ^{[ 1 ]} وقد أعاد تريغف ناجيل ( 1952 ) صياغة فرضية الالتواء للمنحنيات الإهليلجية فوق الأعداد النسبية بشكل مستقل ، ثم أعاد أندرو أوج ( 1971 ) صياغتها مرة أخرى، وأصبحت تُعرف باسم فرضية أوج . ^{[ 1 ]}  

ربط أندرو أوج ( 1971 ) بين حدسية الالتواء للمنحنيات الإهليلجية على الأعداد النسبية ونظرية المنحنيات النمطية الكلاسيكية . ^{[ 1 ]} في أوائل سبعينيات القرن العشرين، أظهرت أعمال جيرار ليجوزات، ودانيال كوبرت ، وباري مازور ، وجون تيت أن العديد من القيم الصغيرة لـ n لا تظهر كرتب لنقاط الالتواء على المنحنيات الإهليلجية على الأعداد النسبية. ^{[ 1 ]} أثبت باري مازور ( 1977 ، 1978 ) حدسية الالتواء الكاملة للمنحنيات الإهليلجية على الأعداد النسبية. عُممت تقنياته بواسطة كاميني (1992) وكاميني ومازور ( 1995) ، اللذين حصلا على التقييد المنتظم للحقول التربيعية وحقول الأعداد من الدرجة 8 على الأكثر على التوالي. وأخيرًا، أثبت لويك ميريل ( 1996 ) الحدسية للمنحنيات الإهليلجية على أي حقل عددي. ^{[ 1 ]} أثبت أن K حقل عددي من الدرجة   ${\displaystyle d=[K:\mathbb {Q} ]}$ومنحنى إهليلجي${\displaystyle E/K}$أن هناك حدًا لرتبة مجموعة الالتواء يعتمد فقط على الدرجة${\displaystyle |E(K)_{\text{tors}}|\leq B(d)}$علاوة على ذلك إذا ${\displaystyle P\in E(K)_{\text{tors}}}$هي نقطة ترتيب أولي${\displaystyle p}$لدينا${\displaystyle p\leq d^{3d^{2}}.}$

قدّم بارنت (1999) حدًا فعالًا لحجم مجموعة الالتواء بدلالة درجة حقل الأعداد . وأثبت بارنت أنه بالنسبة لـ${\displaystyle P\in E(K)_{\text{tors}}}$نقطة ترتيب السلطة الرئيسية${\displaystyle p^{n}}$لدينا $${\displaystyle p^{n}\leq B(d,p)={\begin{cases}129(3^{d}-1)(3d)^{6}&{\text{إذا كان }}p=2,\\65(5^{d}-1)(2d)^{6}&{\text{إذا كان }}p=3,\\65(3^{d}-1)(2d)^{6}&{\text{إذا كان }}p>3.\end{cases}}}$$ جلسة${\displaystyle B_{\text{max}}(d)=129(5^{d}-1)(3d)^{6}}$نحصل من البنية على النتيجة الكامنة وراء نظرية مورديل-ويل ، أي أن هناك عددين صحيحين${\displaystyle n_{1},n_{2}}$بحيث${\displaystyle E(K)_{\text{tors}}\cong \mathbb {Z} /n_{1}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /n_{2}\mathbb {Z} }$، حدٌّ تقريبي ولكنه فعال${\displaystyle B(d)=\left(B_{\text{max}}(d)^{B_{\text{max}}(d)}\right)^{2}.}$

قدّم جوزيف أوسترلي في مذكرات خاصة من عام 1994 حدًا أفضل قليلاً لنقاط الترتيب الأولي${\displaystyle p}$ل${\displaystyle p\leq (3^{d/2}+1)^{2}}$، وهو ما تبين أنه مفيد للحسابات على الحقول ذات الرتبة الصغيرة، ولكنه وحده لا يكفي لإعطاء حد فعال لـ${\displaystyle |E(K)_{\text{tors}}|}$. يقدم ديريكس وآخرون (2023) نسخة منشورة من نتيجة أوسترلي.

بالنسبة لحقول الأعداد ذات الدرجات الصغيرة، توجد نتائج أكثر دقة ( ساذرلاند 2012 ) . وقد تم تقديم قوائم كاملة بمجموعات الالتواء الممكنة للمنحنيات الإهليلجية على حقول الأعداد حتى الدرجة 4 (انظر أعلاه للقائمة الكاملة الصريحة في الدرجة 1، أي على${\displaystyle \mathbb {Q} }$في الدرجات 1 و2 و4، تظهر جميع الزمر التي تنشأ بتكرار لا نهائي. وينطبق الأمر نفسه على الحقول المكعبة ^{[ 2 ]} باستثناء الزمرة C ₂₁ التي تظهر فقط في منحنى إهليلجي واحد فوق${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{9})^{+}}$بالإضافة إلى ذلك، تم تحديد جميع مجموعات الالتواء التي تنشأ بشكل متكرر بلا حدود حتى الدرجة 7 - وقد لُخِّصت أحدث التقنيات في عام 2026 في كتاب نجمان (2026) . يوضح الجدول التالي مجموعة جميع الأعداد الأولية.${\displaystyle S(d)}$والتي تنشأ في الواقع كترتيب لنقطة الالتواء${\displaystyle P\in E(K)_{\text{tors}}}$ومجموعة جميع الأعداد الأولية${\displaystyle S'(d)}$التي تنشأ بشكل متكرر بلا حدود، حيث${\displaystyle {\text{الأوليات}}(q)}$يشير إلى مجموعة جميع الأعداد الأولية التي لا تتجاوز q ( Derickx et al. (2023) و Khawaja (2024) ).

الأعداد الأولية التي تظهر، أو تظهر، بشكل متكرر لا نهائي كرتب من نقاط الالتواء بدرجة صغيرة${\displaystyle d}$

${\displaystyle d}$	1	2	3	4	5	6	7	8
${\displaystyle S(d)}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(7)}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(13)}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(13)}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(17)}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(19)}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(19)\cup \{37\}}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(23)}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(23)}$
${\displaystyle S'(d)}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(7)}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(13)}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(13)}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(17)}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(19)}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(19)}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(23)}$	${\displaystyle {\text{الأعداد الأولية}}(23)}$

ألقى باري مازور محاضرة استعراضية حول فرضية الالتواء ^{[ 2 ]} بمناسبة إنشاء كرسي أوج للأستاذية ^{[ 3 ]} في معهد الدراسات المتقدمة في أكتوبر 2022.

لا تزال فرضية التقييد المنتظم للأصناف الأبيلية ذات الأبعاد الأعلى غير محسومة إلى حد كبير، حتى في سياق الأسطح الأبيلية. في الحالة الخاصة للأسطح الأبيلية المعرفة على${\displaystyle \mathbb {Q} }$باستخدام حلقة التشكل الهندسي الداخلي التي تساوي رتبة قصوى في جبر رباعي غير منقسم، وضع كل من جيف لاغا، وسيارنا شيمبري، وآري شنيدمان، وجون فويت حدًا صريحًا لـ${\displaystyle 18}$فيما يتعلق بحجم مجموعة الالتواء ( لاغا وآخرون، 2024) . في المقابل، فإن الوضع على حقول الدوال ذات الخاصية الصفرية مفهوم بشكل أفضل. أثبت بنجامين باكر وجاكوب تسيمرمان التخمين للأسطح الأبيلية ( باكر وتسيمرمان ، 2018) باستخدام تقنيات من الهندسة الزائدية، وتدعي ورقة بحثية حديثة من تأليف نيكول لوبر وجيت وو ياب برهانًا في عمومية تامة ( لوبر وياب ، 2026 ) .

• تخمين بومبيري-لانغ
• تخمين التقييد المنتظم للنقاط ما قبل الدورية
• تخمين التقييد المنتظم للنقاط النسبية

• كاميني، شيلدون (1992). "نقاط الالتواء على المنحنيات الإهليلجية و${\displaystyle q}$-معاملات الأشكال المعيارية ". اختراعات الرياضيات . 109 (2): 221– 229. بيب كود : 1992InMat.109..221K . دوى : 10.1007 / BF01232025 . السيد 1172689 . S2CID 118750444 .  
• كاميني، شيلدون؛ مازور، باري (1995). "الالتواء النسبي للرتبة الأولية في المنحنيات الإهليلجية فوق حقول الأعداد". أستيريسك . 228. مع ملحق بقلم أ. جرانفيل: 81-100 . MR 1330929 . 
• مازور، باري (1977). "المنحنيات المعيارية ومثالية آيزنشتاين" . منشورات Mathématiques de l'IHÉS . 47 (1): 33– 186. دوى : 10.1007/BF02684339 . السيد 0488287 . S2CID 122609075 .  
• مازور، باري (1978)، "التماثلات العقلانية من الدرجة الأولية"، Inventiones Mathematicae ، 44 (2)، مع ملحق بقلم دوريان غولدفليد : 129-162 ، Bibcode : 1978InMat..44..129M ، doi : 10.1007/BF01390348 ، MR 0482230 ، S2CID 121987166  
• ميريل، لويك (1996). "Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres" [ حدود التواء المنحنيات الناقصية على حقول الأرقام ] . اختراعات الرياضيات (بالفرنسية). 124 (1): 437– 449. بيب كود : 1996InMat.124..437M . دوى : 10.1007/s002220050059 . السيد 1369424 . S2CID 3590991 .  
• ناجيل، تريجفي (1952). "مشكلات في نظرية النقاط الاستثنائية على المستوى المكعب من الجنس الأول". Den 11te Skandinaviske Matematikerkongress، تروندهايم 1949، أوسلو . يوهان جروندت تانوم فورلاج . ص 71 – 76. OCLC 608098404 .  
• نايمان، فيليب (2026). "مجموعات الالتواء للمنحنيات الإهليلجية التي تظهر بشكل متكرر لا نهائي فوق الحقول الملوثة". arXiv : 2602.03513 [ math.NT ].
• أوج، أندرو (1971). "النقاط العقلانية ذات الرتبة المحدودة على المنحنيات الإهليلجية". Inventiones Mathematicae . 22 (2): 105–111 . Bibcode : 1971InMat..12..105O . doi : 10.1007/BF01404654 . S2CID 121794531 . 
• أوج، أندرو (1973). "النقاط العقلانية على منحنيات إهليلجية نمطية معينة". وقائع ندوة الرياضيات البحتة . وقائع الندوات في الرياضيات البحتة. 24 : 221-231 . doi : 10.1090/pspum/024/0337974 . ISBN 9780821814246.
• الوالد بيير (1999). "Bornes Effects pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres" [ الحدود الفعالة لالتواء المنحنيات الناقصية على حقول الأعداد ] . Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (باللغة الفرنسية). 1999 (506): 85–116 . أرخايف : alg-geom/9611022 . دوى : 10.1515/crll.1999.009 . السيد 1665681 . 
• شاباشر، نوربرت ؛ شوف، رينيه (1996)، "بيبو ليفي وحساب المنحنيات الإهليلجية" (ملف PDF) ، مجلة الرياضيات الذكية ، 18 (1): 57-69 ، doi : 10.1007/bf03024818 ، MR 1381581 ، S2CID 125072148 ، Zbl 0849.01036   
• ساذرلاند، أندرو ف. (2012). "مجموعات الالتواء الفرعية للمنحنيات الإهليلجية فوق حقول الأعداد" (ملف PDF) . math.mit.edu .
• ديريكس، مارتن؛ كاميني، شيلدون؛ شتاين، ويليام؛ ستول، مايكل (2023). "نقاط الالتواء على المنحنيات الإهليلجية فوق حقول الأعداد ذات الدرجة الصغيرة". الجبر ونظرية الأعداد . 17 (2): 267-308 . arXiv : 1707.00364 . doi : 10.2140/ant.2023.17.267 .
• خواجة، مليحة (2024). "الأعداد الأولية للالتواء للمنحنيات الإهليلجية على حقول الأعداد من الدرجة 8". بحث في نظرية الأعداد . 10 (2) 48. arXiv : 2304.14284 . doi : 10.1007/s40993-024-00533-6 .

• لاغا، جيف؛ شيمبري، كياران؛ شنيدمان، آري؛ فويت، جون (2024). "نقاط الالتواء العقلانية على الأسطح الأبيلية مع الضرب الرباعي" . منتدى سيجما للرياضيات . 12 e92. doi : 10.1017/fms.2024.105 .

• باكر، بنيامين؛ تسيمرمان، جاكوب (2018). "تخمين الالتواء الهندسي للأصناف الأبيلية ذات الضرب الحقيقي". مجلة الهندسة التفاضلية . 109 (3): 379-409 . arXiv : 1504.02090 . Bibcode : 2018JDGeo.10988186B . doi : 10.4310/jdg/1531188186 .

• لوبر، نيكول؛ ياب، جيت وو (2026). "التقييد المنتظم للنقاط الصغيرة على الأصناف الأبيلية فوق حقول الدوال". arXiv : 2603.23396 [ math.NT ].