تخمين بومبيري-لانغ

في الهندسة الحسابية ، تعتبر تخمينات بومبيري-لانغ مشكلة لم يتم حلها، وقد افترضها إنريكو بومبيري وسيرج لانغ حول كثافة زاريسكي لمجموعة النقاط العقلانية لمجموعة متنوعة جبرية من النوع العام .

تنص فرضية بومبيري-لانغ الضعيفة للأسطح على أنه إذا${\displaystyle X}$هو سطح أملس من النوع العام معرف على حقل عددي${\displaystyle k}$ثم الـ${\displaystyle k}$- نقاط عقلانية لـ${\displaystyle X}$لا تشكل مجموعة كثيفة في طوبولوجيا زاريسكي على${\displaystyle X}$[ ^{1 ]​}

تنص الصيغة العامة لتخمين بومبيري-لانغ على أنه إذا${\displaystyle X}$هو صنف جبري ذو أبعاد موجبة من النوع العام معرف على حقل عددي${\displaystyle k}$ثم الـ${\displaystyle k}$- نقاط عقلانية لـ${\displaystyle X}$لا تُشكّل مجموعة كثيفة في طوبولوجيا زاريسكي. ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]}

تنص الصيغة المنقحة لتخمين بومبيري-لانغ على أنه إذا${\displaystyle X}$هو نوع جبري من النوع العام معرف على حقل عددي${\displaystyle k}$إذن، توجد مجموعة فرعية مفتوحة كثيفة${\displaystyle U}$ل${\displaystyle X}$بحيث يكون ذلك لجميع امتدادات حقل الأرقام${\displaystyle k'}$زيادة${\displaystyle k}$، مجموعة${\displaystyle k'}$- نقاط عقلانية في${\displaystyle U}$محدود. ^{[ 4 ]}

طُرحت فرضية بومبيري-لانغ بشكل مستقل من قِبل إنريكو بومبيري وسيرج لانغ. في محاضرة ألقاها عام 1980 في جامعة شيكاغو ، طرح إنريكو بومبيري مسألة تتعلق بانحلال النقاط العقلانية للأسطح من النوع العام. ^{[ 1 ]} وبشكل مستقل، في سلسلة من الأوراق البحثية بدأت عام 1971، افترض سيرج لانغ وجود علاقة أكثر عمومية بين توزيع النقاط العقلانية والقطع الزائد الجبري ، ^{[ 1 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]} صاغها في "الصيغة المُحسّنة" لفرضية بومبيري-لانغ. ^{[ 4 ]}

تُعتبر حدسية بومبيري-لانغ نظيراً لأسطح نظرية فالتينغز ، التي تنص على أن المنحنيات الجبرية ذات الجنس الأكبر من واحد لا تحتوي إلا على عدد محدود من النقاط العقلانية. ^{[ 8 ]}

إذا صحّت فرضية بومبيري-لانغ، فإنها ستحل مشكلة إردوش-أولام ، إذ ستشير إلى عدم وجود مجموعات جزئية كثيفة من المستوى الإقليدي تكون جميع المسافات بين أزواجها نسبية. ^{[ 8 ] [ 9 ]}

في عام 1997، أثبت كل من لوسيا كابوراسو ، وباري مازور ، وجو هاريس ، وباتريشيا باتشيلي أن حدسية بومبيري-لانغ تستلزم حدسية التقييد المنتظم للنقاط النسبية : يوجد ثابت${\displaystyle B_{g,d}}$بالاعتماد فقط على${\displaystyle g}$و${\displaystyle d}$بحيث يكون عدد النقاط العقلانية لأي جنس${\displaystyle g}$منحنى${\displaystyle X}$على أي درجة${\displaystyle d}$حقل الرقم هو على الأكثر${\displaystyle B_{g,d}}$[ ^{2 ] [ 3 ]​}