الوسيط (الهندسة)

في الهندسة ، يُعرَّف المتوسط ​​في المثلث بأنه قطعة مستقيمة تصل رأس المثلث بمنتصف الضلع المقابل، فتنصّف ذلك الضلع. لكل مثلث ثلاثة متوسطات بالضبط، واحد من كل رأس، وتتقاطع جميعها في مركز المثلث . في حالة المثلثات متساوية الساقين والمثلثات متساوية الأضلاع ، ينصف المتوسط ​​أي زاوية عند رأس يكون ضلعاه المتجاوران متساويين في الطول. وينطبق مفهوم المتوسط ​​أيضًا على رباعيات الأوجه .

يمر كل متوسط ​​من متوسطات المثلث بمركز ثقله ، وهو مركز كتلة جسم رقيق للغاية ذي كثافة منتظمة يقع على المثلث. ^{[ 1 ]} وبالتالي، يتوازن الجسم عند نقطة تقاطع المتوسطات. ويكون مركز الثقل على طول أي متوسط ​​أقرب بمرتين إلى الضلع الذي يتقاطع معه المتوسط ​​مقارنةً بقربه من رأس المثلث الذي ينطلق منه.

يقسم كل متوسط ​​مساحة المثلث إلى نصفين، ومن هنا جاءت التسمية. (لا يضمن هذا التقسيم المتساوي للمساحة بحد ذاته أن تتقارب المتوسطات عند مركز المثلث. فأي خطوط أخرى تقسم مساحة المثلث إلى جزأين متساويين لا تمر بمركز المثلث، وعمومًا لا يتوازن المثلث على خط لمجرد أنه يقسمه إلى جزأين متساويين في المساحة.) ^{[ 2 ] [ 3 ] [ 4 ]} تقسم المتوسطات الثلاثة المثلث إلى ستة مثلثات أصغر متساوية المساحة .

يمكن الحصول على أطوال المتوسطات من نظرية أبولونيوس على النحو التالي:$${\displaystyle m_{a}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}}}$$$${\displaystyle m_{b}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}}}$$$${\displaystyle m_{c}={\frac {1}{2}}{\sqrt {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}}}$$ أين${\displaystyle a,b,}$و${\displaystyle c}$هي أضلاع المثلث مع المتوسطات الخاصة بها${\displaystyle m_{a},m_{b},}$و${\displaystyle m_{c}}$من منتصف نقاطها.

تشير هذه الصيغ إلى العلاقات التالية:^{[ 6 ]}$${\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{a}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{c}^{2}}}}$$$${\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}+2m_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{c}^{2}}}}$$$${\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m_{c}^{2}+2m_{b}^{2}+2m_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m_{a}^{2}}}.}$$

ليكن ABC مثلثًا، وليكن G مركزه، ولتكن D و E و F منتصفات BC و CA و AB على التوالي. لأي نقطة P في مستوى ABC ، فإن ^{[ 7 ]}$${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

يقسم مركز الثقل كل متوسط ​​إلى أجزاء بنسبة 2:1، حيث يكون مركز الثقل أقرب إلى منتصف الضلع بمرتين من قربه من الرأس المقابل.

لأي مثلث له أضلاع${\displaystyle a,b,c}$والوسطيات${\displaystyle m_{a},m_{b},m_{c},}$^{[ 8 ]}$${\displaystyle {\tfrac {3}{4}}(a+b+c)<m_{a}+m_{b}+m_{c}<a+b+c\quad {\text{ and }}\quad {\tfrac {3}{4}}\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)=m_{a}^{2}+m_{b}^{2}+m_{c}^{2}.}$$

المتوسطات من أضلاع الأطوال${\displaystyle a}$و${\displaystyle b}$تكون متعامدة إذا وفقط إذا${\displaystyle a^{2}+b^{2}=5c^{2}.}$^{[ 9 ]}

متوسطات المثلث القائم الزاوية ذي الوتر${\displaystyle c}$مُرضٍ${\displaystyle m_{a}^{2}+m_{b}^{2}=5m_{c}^{2}.}$

يمكن التعبير عن مساحة أي مثلث T بدلالة متوسطاته${\displaystyle m_{a},m_{b}}$، و${\displaystyle m_{c}}$على النحو التالي. إذا كان مجموعهم النصفي${\displaystyle \left(m_{a}+m_{b}+m_{c}\right)/2}$يُرمز إليه بـ${\displaystyle \sigma }$ثم ^{[ 10 ]}$${\displaystyle T={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma \left(\sigma -m_{a}\right)\left(\sigma -m_{b}\right)\left(\sigma -m_{c}\right)}}.}$$

الهرم الرباعي هو جسم ثلاثي الأبعاد له أربعة أوجه مثلثية. يُسمى الخط الواصل بين رأس الهرم الرباعي ومركز ثقل الوجه المقابل متوسطًا للهرم الرباعي. توجد أربعة متوسطات، وتتقاطع جميعها عند مركز ثقل الهرم الرباعي. ^{[ 11 ]} وكما هو الحال في المجسم ثنائي الأبعاد، فإن مركز ثقل الهرم الرباعي هو مركز كتلته . إلا أنه على عكس المجسم ثنائي الأبعاد، يقسم مركز الثقل المتوسطات ليس بنسبة 2:1، بل بنسبة 3:1 ( نظرية كوماندينو ).

• منصف الزاوية
• الارتفاع (مثلث)
• المثلث المتوسط

• الوسيط عند قطع العقدة
• مساحة المثلث المتوسط ​​عند نقطة قطع العقدة
• متوسطات المثلث مع رسوم متحركة تفاعلية
• رسم متوسط ​​المثلث باستخدام الفرجار والمسطرة (عرض توضيحي متحرك)
• وايسشتاين، إريك دبليو. "متوسط ​​المثلث" . عالم الرياضيات .
• مركز ثقل المثلث في أنشطة إعادة التفكير في البرهان ، رسم هندسي تفاعلي؛ التزامن؛ تعميم سيفا؛ البراهين الموجهة.