مركز الثقل

يمكن تحديد مركز ثقل صفيحة مستوية منتظمة الكثافة ، كما في الشكل (أ) أدناه، تجريبيًا باستخدام خيط رأسي ودبوس لتحديد مركز كتلة جسم رقيق منتظم الكثافة له نفس الشكل. يُثبّت الجسم بالدبوس، الذي يُغرز في نقطة بعيدة عن مركز الثقل المفترض بحيث يمكنه الدوران بحرية حول الدبوس؛ ثم يُسقط الخيط الرأسي من الدبوس (الشكل ب). يُرسم موضع الخيط الرأسي على السطح، وتُكرر العملية مع غرز الدبوس في أي نقطة مختلفة (أو عدة نقاط) بعيدة عن مركز ثقل الجسم. ستكون نقطة التقاطع الوحيدة لهذه الخطوط هي مركز الثقل (الشكل ج). بافتراض أن الجسم منتظم الكثافة، فإن جميع الخطوط المرسومة بهذه الطريقة ستمر بمركز الثقل، وستتقاطع جميع الخطوط في نفس المكان تمامًا.

(أ)	(ب)	(ج)

يمكن توسيع هذه الطريقة (نظريًا) لتشمل الأشكال المقعرة حيث قد يقع مركز الثقل خارج الشكل، وتقريبيًا لتشمل الأجسام الصلبة (ذات الكثافة المنتظمة أيضًا)، حيث قد يقع مركز الثقل داخل الجسم. يجب تسجيل المواضع (التقريبية) لخطوط الشاقول بوسائل أخرى غير رسمها على طول الشكل.

بالنسبة للأشكال ثنائية الأبعاد المحدبة، يمكن إيجاد مركز الثقل عن طريق موازنة الشكل على شكل أصغر، مثل قمة أسطوانة ضيقة. يقع مركز الثقل في مكان ما ضمن نطاق التلامس بين الشكلين (وتحديدًا عند النقطة التي يتوازن عندها الشكل على محور). من حيث المبدأ، يمكن استخدام أسطوانات أضيق تدريجيًا لإيجاد مركز الثقل بدقة متناهية. إلا أن التيارات الهوائية تجعل ذلك غير عملي. مع ذلك، من خلال تحديد نطاق التداخل باستخدام موازين متعددة، يمكن تحقيق مستوى عالٍ من الدقة.

مركز ثقل مجموعة منتهية من${\displaystyle k}$نقاط${\displaystyle \mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{k}}$في${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$هو ^{[ 1 ]}$${\displaystyle \mathbf {C} ={\frac {\mathbf {x} _{1}+\mathbf {x} _{2}+\cdots +\mathbf {x} _{k}}{k}}.}$$ تقلل هذه النقطة من مجموع مربعات المسافات الإقليدية بينها وبين كل نقطة في المجموعة.

مركز ثقل الشكل المستوي${\displaystyle X}$يمكن حسابها بتقسيمها إلى عدد محدود من الأرقام الأبسط${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n},}$حساب مركز الثقل${\displaystyle C_{i}}$والمنطقة${\displaystyle A_{i}}$لكل جزء، ثم حساب

$${\displaystyle C_{x}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{x}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}},\quad C_{y}={\frac {\sum _{i}{C_{i}}_{y}A_{i}}{\sum _{i}A_{i}}}.}$$

ثقوب في الشكل${\displaystyle X,}$يمكن التعامل مع التداخلات بين الأجزاء، أو الأجزاء التي تمتد خارج الشكل، باستخدام المناطق السلبية.${\displaystyle A_{i}.}$أي التدابير${\displaystyle A_{i}}$ينبغي أخذها بإشارات موجبة وسالبة بحيث يكون مجموع إشارات${\displaystyle A_{i}}$لجميع الأجزاء التي تحيط بنقطة معينة${\displaystyle p}$يكون${\displaystyle 1}$لو${\displaystyle p}$ينتمي إلى${\displaystyle X,}$و${\displaystyle 0}$خلاف ذلك.

على سبيل المثال، يمكن تقسيم الشكل أدناه (أ) بسهولة إلى مربع ومثلث، وكلاهما ذو مساحة موجبة؛ وثقب دائري، ذو مساحة سالبة (ب).

(أ) جسم ثنائي الأبعاد

(ب) كائن موصوف باستخدام عناصر أبسط

(ج) مراكز عناصر الجسم

يمكن إيجاد مركز ثقل كل جزء في أي قائمة لمراكز ثقل الأشكال البسيطة (ج). ثم يكون مركز ثقل الشكل هو المتوسط ​​المرجح للنقاط الثلاث. الموضع الأفقي لمركز الثقل، من الحافة اليسرى للشكل هو $${\displaystyle x={\frac {5\times 10^{2}+13.33\times {\frac {1}{2}}10^{2}-3\times \pi (2.5)^{2}}{10^{2}+{\frac {1}{2}}10^{2}-\pi (2.5)^{2}}}\approx 8.5{\text{ units}}.}$$ يتم إيجاد الموضع الرأسي لمركز الثقل بنفس الطريقة.

تنطبق الصيغة نفسها على أي أجسام ثلاثية الأبعاد، باستثناء أن كل${\displaystyle A_{i}}$ينبغي أن يكون حجم${\displaystyle X_{i},}$بدلاً من مساحتها. وينطبق ذلك أيضاً على أي مجموعة فرعية من${\displaystyle \mathbb {R} ^{d},}$لأي بُعد${\displaystyle d,}$مع استبدال المناطق بـ${\displaystyle d}$- قياسات أبعاد الأجزاء.

مركز ثقل مجموعة جزئية${\displaystyle X}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ويمكن حسابها أيضًا باستخدام صيغة المتجهات

$${\displaystyle C={\frac {\int xg(x)\ dx}{\int g(x)\ dx}}={\frac {\int _{X}x\ dx}{\int _{X}dx}}}$$

حيث يتم حساب التكاملات على كامل الفضاء${\displaystyle \mathbb {R} ^{n},}$و${\displaystyle g}$هي الدالة المميزة للمجموعة الجزئية${\displaystyle X}$ل${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\!:\ g(x)=1}$لو${\displaystyle x\in X}$و${\displaystyle g(x)=0}$وإلا. ^{[ 7 ]} لاحظ أن المقام هو ببساطة مقياس المجموعة${\displaystyle X.}$لا يمكن تطبيق هذه الصيغة إذا كانت المجموعة${\displaystyle X}$يكون قياسه صفراً، أو إذا كان أي من التكاملين متباعداً.

أو بدلاً من ذلك، تُعرَّف الصيغة الإحداثية لمركز الثقل على النحو التالي:

$${\displaystyle C_{k}={\frac {\int zS_{k}(z)\ dz}{\int g(x)\ dx}},}$$

أين${\displaystyle C_{k}}$هو${\displaystyle k}$الإحداثي رقم 1 من${\displaystyle C,}$و${\displaystyle S_{k}(z)}$هو مقياس تقاطع${\displaystyle X}$مع المستوى الفائق المحدد بالمعادلة${\displaystyle x_{k}=z.}$ ومرة أخرى، المقام هو ببساطة مقياس${\displaystyle X.}$

بالنسبة للشكل المستوي، على وجه الخصوص، تكون الإحداثيات الباريسنترية هي

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {\int xS_{\mathrm {y} }(x)\ dx}{A}},\quad C_{\mathrm {y} }={\frac {\int yS_{\mathrm {x} }(y)\ dy}{A}},}$$

أين${\displaystyle A}$مساحة الشكل${\displaystyle X,}$${\displaystyle S_{\mathrm {y} }(x)}$هو طول تقاطع${\displaystyle X}$مع الخط العمودي عند المحور السيني${\displaystyle x,}$و${\displaystyle S_{\mathrm {x} }(y)}$هو طول تقاطع${\displaystyle X}$مع الخط الأفقي عند الإحداثي${\displaystyle y.}$

يمكن استخدام جهاز الإنترغراف (وهو جهاز قريب من جهاز قياس المساحة ) لإيجاد مركز ثقل جسم ذي شكل غير منتظم بحدود ملساء (أو شبه ملساء). والمبدأ الرياضي المستخدم هو حالة خاصة من نظرية غرين . ^{[ 11 ]}

هذه طريقة لتحديد مركز ثقل جسم على شكل حرف L.

1. قسّم الشكل إلى مستطيلين، كما هو موضح في الشكل 2. أوجد مركزَي هذين المستطيلين برسم قطريهما. ارسم خطًا يصل بين المركزين. يجب أن يقع مركز الشكل على هذا الخط.${\displaystyle AB.}$
2. قسّم الشكل إلى مستطيلين آخرين، كما هو موضح في الشكل 3. أوجد مركزَي هذين المستطيلين برسم قطريهما. ارسم خطًا يصل بين المركزين. يجب أن يقع مركز شكل حرف L على هذا الخط.${\displaystyle CD.}$
3. بما أن مركز الشكل يجب أن يقع على طول${\displaystyle AB}$وكذلك على طول${\displaystyle CD,}$يجب أن يكون عند تقاطع هذين الخطين، عند${\displaystyle O.}$النقطة${\displaystyle O}$قد يقع داخل أو خارج الجسم على شكل حرف L.

مركز ثقل المثلث هو نقطة تقاطع متوسطاته ( الخطوط الواصلة بين كل رأس ومنتصف الضلع المقابل). ^{[ 6 ]} يقسم مركز الثقل كل متوسط ​​من المتوسطات بنسبة${\displaystyle 2:1,}$أي أنه يقع${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$المسافة من كل جانب إلى الرأس المقابل (انظر الأشكال على اليمين). ^{[ 12 ] [ 13 ]} إحداثياتها الديكارتية هي متوسط ​​إحداثيات الرؤوس الثلاثة. أي، إذا كانت الرؤوس الثلاثة${\displaystyle L=(x_{L},y_{L}),}$${\displaystyle M=(x_{M},y_{M}),}$و${\displaystyle N=(x_{N},y_{N}),}$ثم مركز الثقل (يرمز له بـ${\displaystyle C}$هنا ولكن يُشار إليه عادةً بـ${\displaystyle G}$في الهندسة المثلثية ) هو

$${\displaystyle C={\tfrac {1}{3}}(L+M+N)={\bigl (}{\tfrac {1}{3}}(x_{L}+x_{M}+x_{N}),{\tfrac {1}{3}}(y_{L}+y_{M}+y_{N}){\bigr )}.}$$

وبالتالي فإن مركز الثقل يقع عند${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}:{\tfrac {1}{3}}}$في الإحداثيات الباريسنترية .

في الإحداثيات ثلاثية الخطوط، يمكن التعبير عن مركز الثقل بأي من هذه الطرق المتكافئة بدلالة أطوال الأضلاع${\displaystyle a,b,c}$وزوايا الرأس${\displaystyle L,M,N}$[ ^{14 ]​}

$${\displaystyle {\begin{aligned}C&={\frac {1}{a}}:{\frac {1}{b}}:{\frac {1}{c}}=bc:ca:ab=\csc L:\csc M:\csc N\\[6pt]&=\cos L+\cos M\cdot \cos N:\cos M+\cos N\cdot \cos L:\cos N+\cos L\cdot \cos M.\end{aligned}}}$$

يُعد مركز الثقل أيضًا المركز الفيزيائي للكتلة إذا كان المثلث مصنوعًا من صفيحة متجانسة من المادة؛ أو إذا تركزت الكتلة كلها عند رؤوس المثلث الثلاثة، وتوزعت بالتساوي بينها. من ناحية أخرى، إذا وُزعت الكتلة على طول محيط المثلث، بكثافة خطية منتظمة ، فإن مركز الثقل يقع عند مركز سبيكر ( مركز الدائرة الداخلية للمثلث المتوسط )، والذي لا يتطابق (عمومًا) مع المركز الهندسي للمثلث الكامل.

مساحة المثلث هي${\displaystyle {\tfrac {3}{2}}}$^{[ 15 ]}​

يقع مركز ثقل المثلث على خط أويلر بين مركزي تعامده.${\displaystyle H}$ومركزها المحيط${\displaystyle O,}$أقرب إلى الأخير بمقدار الضعف بالضبط مقارنة بالأول: ^{[ 16 ] [ 17 ]}

$${\displaystyle {\overline {CH}}=2{\overline {CO}}.}$$

بالإضافة إلى ذلك، بالنسبة للمركز${\displaystyle I}$ومركز تسع نقاط${\displaystyle N,}$لدينا $${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {CH}}&=4{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {CO}}&=2{\overline {CN}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IH}}&<{\overline {HC}},\\[5pt]{\overline {IC}}&<{\overline {IO}}.\end{aligned}}}$$

لو${\displaystyle G}$مركز ثقل المثلث${\displaystyle ABC,}$ثم

$${\displaystyle ({\text{Area of }}\triangle ABG)=({\text{Area of }}\triangle ACG)=({\text{Area of }}\triangle BCG)={\tfrac {1}{3}}({\text{Area of }}\triangle ABC).}$$

النقطة المتناظرة هي النقطة المتناظرة لمركز المثلث .

أي من المتوسطات الثلاثة المارة بمركز المثلث يقسم مساحته إلى نصفين. لا ينطبق هذا على الخطوط الأخرى المارة بمركز المثلث؛ ويحدث أكبر انحراف عن التقسيم المتساوي للمساحة عندما يكون الخط المار بمركز المثلث موازيًا لأحد أضلاعه، مما يُنشئ مثلثًا أصغر وشبه منحرف ؛ في هذه الحالة تكون مساحة شبه المنحرف هي${\displaystyle {\tfrac {5}{9}}}$ذلك المثلث الأصلي. ^{[ 18 ]}

يترك${\displaystyle P}$لتكن أي نقطة في مستوى مثلث رؤوسه${\displaystyle A,B,C}$والمركز${\displaystyle G.}$ثم مجموع مربعات المسافات لـ${\displaystyle P}$المسافة من الرؤوس الثلاثة تتجاوز مجموع مربعات المسافات إلى مركز الثقل${\displaystyle G}$من الرؤوس بثلاثة أضعاف مربع المسافة بينهما${\displaystyle P}$و${\displaystyle G}$[ ^{19 ]​}

$${\displaystyle PA^{2}+PB^{2}+PC^{2}=GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}+3PG^{2}.}$$

مجموع مربعات أضلاع المثلث يساوي ثلاثة أضعاف مجموع مربعات المسافات بين مركز المثلث ورؤوسه: ^{[ 19 ]}

$${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2}).}$$

مركز المثلث هو النقطة التي تحقق أقصى قيمة لحاصل ضرب المسافات الموجهة لنقطة ما من أضلاع المثلث. ^{[ 20 ]}

يترك${\displaystyle ABC}$ليكن مثلثًا،${\displaystyle G}$ليكن مركزها، وليكن${\displaystyle D,E,F}$أن تكون نقاط منتصف القطع المستقيمة${\displaystyle BC,CA,AB,}$على التوالي. لأي نقطة${\displaystyle P}$في مستوى${\displaystyle ABC,}$^{[ 21 ]}

$${\displaystyle PA+PB+PC\leq 2(PD+PE+PF)+3PG.}$$

مركز ثقل مضلع مغلق غير متقاطع مع نفسه، مُعرَّف بواسطة${\displaystyle n}$الرؤوس${\displaystyle (x_{0},y_{0}),\;}$${\displaystyle (x_{1},y_{1}),\;\ldots ,\;}$${\displaystyle (x_{n-1},y_{n-1}),}$هذه هي النقطة${\displaystyle (C_{x},C_{y}),}$^{[ 22 ]} حيث

$${\displaystyle C_{\mathrm {x} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}+x_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

و

$${\displaystyle C_{\mathrm {y} }={\frac {1}{6A}}\sum _{i=0}^{n-1}(y_{i}+y_{i+1})(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}),}$$

وأين${\displaystyle A}$هي المساحة الموقعة للمضلع، ^{[ 22 ]} كما هو موضح في صيغة رباط الحذاء :

$${\displaystyle A={\frac {1}{2}}\sum _{i=0}^{n-1}(x_{i}\ y_{i+1}-x_{i+1}\ y_{i}).}$$

في هذه الصيغ، يُفترض أن الرؤوس مرقمة حسب ترتيب ظهورها على طول محيط المضلع؛ علاوة على ذلك، الرأس${\displaystyle (x_{n},y_{n})}$يُفترض أن يكون هو نفسه${\displaystyle (x_{0},y_{0}),}$معنى${\displaystyle i+1}$في الحالة الأخيرة، يجب أن تدور الحلقة حول${\displaystyle i=0.}$(إذا تم ترقيم النقاط بترتيب عقارب الساعة، فإن المساحة${\displaystyle A,}$ستكون القيمة المحسوبة كما سبق سالبة؛ ومع ذلك، ستكون إحداثيات مركز الثقل صحيحة حتى في هذه الحالة.

إن مركز ثقل المضلع غير المثلثي ليس هو نفسه مركز ثقل رؤوسه، مع الأخذ في الاعتبار مجموعة رؤوسه فقط (كمركز ثقل مجموعة محدودة من النقاط ) .

يقع مركز ثقل المخروط أو الهرم على القطعة المستقيمة التي تصل بين قمة المخروط ومركز ثقل قاعدته. أما بالنسبة للمخروط أو الهرم الصلب، فإن مركز الثقل هو${\displaystyle {\tfrac {1}{4}}}$المسافة من القاعدة إلى القمة. بالنسبة للمخروط أو الهرم الذي هو مجرد غلاف (مجوف) بدون قاعدة، فإن مركز الثقل هو${\displaystyle {\tfrac {1}{3}}}$المسافة من مستوى القاعدة إلى القمة.

الهرم الرباعي هو شكل في الفضاء ثلاثي الأبعاد له أربعة مثلثات كأوجه . يُسمى الخط الواصل بين رأس من رؤوس الهرم الرباعي ومركز ثقل الوجه المقابل له بالمتوسط ، ويُسمى الخط الواصل بين منتصفي ضلعين متقابلين بالمتوسط ​​الثنائي . بالتالي، يوجد أربعة متوسطات وثلاثة متوسطات ثنائية. تلتقي هذه الخطوط السبعة جميعها عند مركز ثقل الهرم الرباعي. ^{[ 23 ]} تُقسم المتوسطات على مركز الثقل بنسبة${\displaystyle 3:1.}$مركز ثقل رباعي الأوجه هو نقطة المنتصف بين نقطة مونج ومركز الدائرة المحيطة به (مركز الكرة المحيطة). تحدد هذه النقاط الثلاث خط أويلر لرباعي الأوجه، وهو مماثل لخط أويلر للمثلث.

يمكن تعميم هذه النتائج على أي${\displaystyle n}$يمكن تعريف المعقد البسيط ذي الأبعاد n بالطريقة التالية. إذا كانت مجموعة رؤوس المعقد البسيط هي${\displaystyle {v_{0},\ldots ,v_{n}},}$ثم باعتبار الرؤوس متجهات ، يكون مركز الثقل هو

$${\displaystyle C={\frac {1}{n+1}}\sum _{i=0}^{n}v_{i}.}$$

يتطابق المركز الهندسي مع مركز الكتلة إذا كانت الكتلة موزعة بانتظام على كامل المجسم البسيط، أو مركزة عند الرؤوس كما${\displaystyle n+1}$كتل متساوية.

يقسم مركز نصف الكرة الصلبة (أي نصف كرة صلبة) القطعة المستقيمة الواصلة بين مركز الكرة وقطب نصف الكرة بنسبة${\displaystyle 3:5}$(أي أنها تكذب)${\displaystyle {\tfrac {3}{8}}}$(من المركز إلى القطب). يقسم مركز نصف الكرة المجوفة (أي نصف الكرة المجوفة) القطعة المستقيمة التي تربط مركز الكرة بقطب نصف الكرة إلى نصفين.