رباعي الأوجه من نوع رولو

رباعي الأوجه رولو هو تقاطع أربع كرات نصف قطرها s ، متمركزة عند رؤوس رباعي أوجه منتظم طول ضلعه s . ^{[ 1 ]} يمر السطح الكروي للكرة المتمركزة عند كل رأس عبر الرؤوس الثلاثة الأخرى، والتي تُشكل بدورها رؤوس رباعي الأوجه رولو. وبالتالي، يقع مركز كل كرة على أسطح الكرات الثلاث الأخرى. يتميز رباعي الأوجه رولو بنفس بنية أوجه رباعي الأوجه المنتظم، ولكنه ذو أوجه منحنية: أربعة رؤوس، وأربعة أوجه منحنية، متصلة بستة حواف دائرية.

يُعرَّف هذا الشكل ويُسمى قياسًا على مثلث رولو ، وهو منحنى ثنائي الأبعاد ذو عرض ثابت ؛ وكلا الشكلين سُمّيا نسبةً إلى فرانز رولو ، وهو مهندس ألماني من القرن التاسع عشر قام بأعمال رائدة في مجال تحويل الآلات لأنواع الحركة المختلفة. قد نجد في الأدبيات الرياضية ادعاءات متكررة بأن رباعي أوجه رولو هو سطح ذو عرض ثابت ، لكن هذا غير صحيح: إذ تفصل مسافة أكبر بين منتصفي قوسَي الحافة المتقابلين.

${\displaystyle \left({\sqrt {3}}-{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\cdot s\approx 1.0249\,s.}$

حجم رباعي الأوجه من نوع رولو هو ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {s^{3}}{12}}{\big (}3{\sqrt {2}}-49\pi +162\tan ^{-1}{\sqrt {2}}{\big )}={\frac {s^{3}}{12}}\left(32\pi -81\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)+3{\sqrt {2}}\right)\approx 0.422\,s^{3}.}$

مساحة السطح هي ^{[ 1 ]}

${\displaystyle \left[8\pi -18\cos ^{-1}\left({\tfrac {1}{3}}\right)\right]s^{2}\approx 2.975\,s^{2}.}$

بيّن إرنست مايسنر وفريدريش شيلينغ ^{[ 2 ]} كيفية تعديل رباعي الأوجه رولو لتشكيل سطح ذي عرض ثابت ، وذلك باستبدال ثلاثة من أقواسه الطرفية بأجزاء منحنية تُشكّل أسطح دوران قوس دائري. وبناءً على ذلك، عند استبدال ثلاثة أقواس طرفية (ثلاثة لها رأس مشترك أو ثلاثة تُشكّل مثلثًا)، ينتج شكلان غير متطابقين يُطلق عليهما أحيانًا أجسام مايسنر أو رباعيات أوجه مايسنر . ^{[ 3 ]}

افترض بونيسن وفينشل ^{[ 4 ]} أن رباعيات ميسنر هي الأشكال ثلاثية الأبعاد ذات الحجم الأدنى والعرض الثابت، وهو افتراض لا يزال قيد البحث. ^{[ 5 ]} في عام 2011، أثبت أنسيو وجيلفويل ^{[ 6 ]} أن الشكل الأمثل يجب أن يتكون من أجزاء من الكرات والأنابيب فوق المنحنيات، وهو ما يدعم هذا الافتراض، كونه صحيحًا بالنسبة لرباعيات ميسنر.

في سياق هذه المشكلة، أظهر كامبي وكوليسانتي وغرونشي ^{[ 7 ]} أن سطح الدوران ذو الحجم الأدنى بعرض ثابت هو سطح دوران مثلث رولو من خلال أحد محاور التناظر الخاصة به.

استندت لوحة مان راي " هاملت" إلى صورة التقطها لهرم مايسنر الرباعي، ^{[ 8 ]} والذي اعتبره يشبه كلاً من جمجمة يوريك وثدي أوفيليا من مسرحية هاملت لشكسبير . ^{[ 9 ]}

• لاشاند-روبرت، توماس؛ أوديه، إدوارد. "الأشكال الكروية" . مؤرشف من الأصل بتاريخ 2006-10-02 . تم الاطلاع عليه بتاريخ 2006-09-12 .
• ويبر، كريستوف. "أجسام ذات عرض ثابت" .كما توجد أفلام وحتى صور تفاعلية لكلا جسدي مايسنر.
• روبرتس، باتريك. "شكل كروي ذو تناظر رباعي الأوجه" .يتضمن صورًا ثلاثية الأبعاد ورابطًا لورقة بحثية رياضية توضح برهان العرض الثابت.