مثلث رولو

وبمقاييس مختلفة، يعتبر مثلث رولو أحد أكثر المنحنيات تطرفاً ذات العرض الثابت.

بحسب نظرية بلاشكه-ليبيغ ، فإن مثلث رولو له أصغر مساحة ممكنة لأي منحنى ذي عرض ثابت مُعطى. هذه المساحة هي

${\displaystyle {\frac {1}{2}}(\pi -{\sqrt {3}})s^{2}\approx 0.705s^{2},}$

حيث s هو العرض الثابت. إحدى طرق اشتقاق صيغة المساحة هذه هي تقسيم مثلث رولو إلى مثلث داخلي متساوي الأضلاع وثلاث مناطق منحنية بين هذا المثلث الداخلي والأقواس التي تشكل مثلث رولو، ثم جمع مساحات هذه المجموعات الأربع. في المقابل، فإن المنحنى ذو العرض الثابت الذي له أكبر مساحة ممكنة هو قرص دائري ، مساحته${\displaystyle \pi s^{2}/4\approx 0.785s^{2}}$[ ^{14 ]​}

جميع الزوايا التي يصنعها كل زوج من الأقواس عند رؤوس مثلث رولو تساوي 120 درجة. هذه هي أكبر زاوية ممكنة عند أي رأس من رؤوس أي منحنى ذي عرض ثابت. ^{[ 9 ]} بالإضافة إلى ذلك، من بين المنحنيات ذات العرض الثابت، يُعد مثلث رولو هو المثلث الذي يحتوي على أكبر وأصغر مثلث متساوي الأضلاع مرسوم داخله. ^{[ 15 ]} أكبر مثلث متساوي الأضلاع مرسوم داخل مثلث رولو هو المثلث الواصل بين رؤوسه الثلاثة، وأصغره هو المثلث الواصل بين منتصفات أضلاعه الثلاثة. المجموعة الفرعية من مثلث رولو التي تتكون من نقاط تقع على ثلاثة أقطار أو أكثر هي الجزء الداخلي من أكبر هذين المثلثين؛ وهي ذات مساحة أكبر من مجموعة النقاط التي تقع على ثلاثة أقطار في أي منحنى آخر ذي عرض ثابت. ^{[ 16 ]}

على الرغم من أن مثلث رولو يتمتع بتناظر ثنائي السطوح سداسي ، كما هو الحال في المثلث متساوي الأضلاع ، إلا أنه يفتقر إلى التناظر المركزي . يُعد مثلث رولو أقل المنحنيات تناظرًا ذات العرض الثابت وفقًا لمقياسين مختلفين لعدم التناظر المركزي: مقياس كوفنر-بيسيكوفيتش (نسبة المساحة إلى أكبر شكل متناظر مركزيًا مُحاط بالمنحنى) ومقياس إسترمان (نسبة المساحة إلى أصغر شكل متناظر مركزيًا مُحاط بالمنحنى). في مثلث رولو، يكون الشكلان المتناظران مركزيًا اللذان يُحددان مقياسي عدم التناظر سداسيين ، مع أن الشكل الداخلي منهما ذو جوانب منحنية. ^{[ 17 ]} تتميز أقطار مثلث رولو بتوزيع غير متساوٍ لمساحته مقارنةً بأي منحنى آخر ذي عرض ثابت. أي أن النسبة القصوى للمساحتين على جانبي القطر، وهي مقياس آخر لعدم التناظر، أكبر في مثلث رولو منها في المنحنيات الأخرى ذات العرض الثابت. ^{[ 18 ]}

من بين جميع الأشكال ذات العرض الثابت التي تتجنب جميع نقاط الشبكة الصحيحة ، يُعد مثلث رولو الشكل الأعرض. أحد محاور تناظره موازٍ لمحاور الإحداثيات على خط نصف صحيح. يبلغ عرضه حوالي 1.54، وهو جذر لكثير حدود من الدرجة السادسة بمعاملات صحيحة. ^{[ 17 ] [ 19 ] [ 20 ]}

كما يُمكن أن تُحاط دائرة بست دوائر متطابقة تلامسها، فإنه من الممكن أيضاً ترتيب سبعة مثلثات رولو متطابقة بحيث تتلامس جميعها مع مثلث رولو مركزي من نفس الحجم. هذا هو الحد الأقصى الممكن لأي منحنى ذي عرض ثابت. ^{[ 21 ]}

من بين جميع الأشكال الرباعية ، فإن الشكل الذي يتمتع بأكبر نسبة بين محيطه وقطره هو شكل طائرة ورقية متساوية الأقطار يمكن رسمها داخل مثلث رولو. ^{[ 22 ]}

بحسب نظرية باربييه، فإن جميع المنحنيات ذات العرض الثابت نفسه، بما في ذلك مثلث رولو، لها محيطات متساوية . وعلى وجه الخصوص، فإن هذا المحيط يساوي محيط الدائرة ذات العرض نفسه، وهو${\displaystyle \pi s}$[ ^{23 ] [ 24 ] [ 9 ]​}

نصفا قطر أكبر دائرة داخلية لمثلث رولو عرضه s ، ونصفا قطر الدائرة المحيطة بالمثلث نفسه، هما

${\displaystyle \displaystyle \left(1-{\frac {1}{\sqrt {3}}}\right)s\approx 0.423s\quad {\text{and}}\quad \displaystyle {\frac {s}{\sqrt {3}}}\approx 0.577s}$

على التوالي؛ مجموع هذه الأقطار يساوي عرض مثلث رولو. وبشكل أعم، بالنسبة لكل منحنى ذي عرض ثابت، تكون أكبر دائرة داخلية وأصغر دائرة خارجية متحدة المركز، ومجموع أقطارهما يساوي العرض الثابت للمنحنى. ^{[ 25 ]}

لا تزال الكثافة المثلى لتعبئة مثلث رولو في المستوى غير مثبتة، ولكن يُعتقد أنها

${\displaystyle {\frac {2(\pi -{\sqrt {3}})}{{\sqrt {15}}+{\sqrt {7}}-{\sqrt {12}}}}\approx 0.923,}$

وهي كثافة إحدى طرق التعبئة الشبكية المزدوجة الممكنة لهذه الأشكال. وأفضل حدٍّ مُثبت لكثافة التعبئة هو 0.947 تقريبًا. ^{[ 26 ]} كما يُفترض، ولكن لم يُثبت، أن مثلثات رولو تتمتع بأعلى كثافة تعبئة بين جميع المنحنيات ذات العرض الثابت. ^{[ 27 ]}

يمكن لأي منحنى ذي عرض ثابت أن يشكل دوارًا داخل مربع ، وهو شكل قادر على الدوران دورة كاملة داخل المربع وملامسة جميع جوانبه الأربعة. مع ذلك، يُعد مثلث رولو الدوار ذو أصغر مساحة ممكنة. ^{[ 9 ]} أثناء دورانه، لا يبقى محوره ثابتًا عند نقطة واحدة، بل يتبع منحنىً يتكون من أجزاء أربعة أشكال بيضاوية . ^{[ 28 ]} نظرًا لزواياه البالغة 120 درجة، لا يستطيع مثلث رولو الدوار الوصول إلى بعض النقاط القريبة من الزوايا الحادة عند رؤوس المربع، بل يغطي شكلًا بزوايا مستديرة قليلًا، يتكون أيضًا من أقواس بيضاوية. ^{[ 9 ]}

أحد الأشكال الإهليلجية الأربعة متبوعًا بمركز مثلث رولو الدوار في مربع

شكل بيضاوي يفصل إحدى زوايا المربع (أسفل اليسار) عن المنطقة التي يمسحها مثلث رولو الدوار

في أي لحظة خلال هذه الدورة، تلامس زاويتان من زوايا مثلث رولو ضلعين متجاورين من المربع، بينما ترسم الزاوية الثالثة للمثلث منحنىً بالقرب من الرأس المقابل للمربع. ويغطي الشكل الناتج عن دوران مثلث رولو ما يقارب 98.8% من مساحة المربع. ^{[ 29 ]}

كان الدافع الأصلي لدراسة رولو لمثلث رولو هو تقديم مثال مضاد، يُظهر أن ثلاث نقاط تلامس منفردة قد لا تكفي لتثبيت جسم مستوٍ في موضع واحد. ^{[ 30 ]} يُبين وجود مثلثات رولو وغيرها من المنحنيات ذات العرض الثابت أن قياسات القطر وحدها لا تكفي للتحقق من أن الجسم له مقطع عرضي دائري. ^{[ 31 ]}

في سياق مسألة المربع المحاط بدائرة ، لاحظ إيجلستون (1958) أن مثلث رولو يمثل مثالاً على شكل ذي عرض ثابت لا يمكن رسم أي مضلع منتظم بأكثر من أربعة أضلاع داخله، باستثناء السداسي المنتظم. ووصف تعديلاً بسيطاً لهذا الشكل يحافظ على عرضه الثابت ولكنه يمنع أيضاً رسم السداسيات المنتظمة داخله. وقد عمم هذه النتيجة إلى ثلاثة أبعاد باستخدام أسطوانة لها نفس شكل مقطعها العرضي . ^{[ 32 ]}

تتخذ عدة أنواع من الآلات شكل مثلث رولو، وذلك بناءً على خاصية قدرته على الدوران داخل مربع.

يتميز مثقاب واتس براذرز تول ووركس المربع بشكل مثلث رولو، مع تعديلات تشمل تجاويف لتشكيل أسطح القطع. عند تركيبه في ظرف خاص يسمح بعدم وجود مركز دوران ثابت، يمكنه حفر ثقب شبه مربع. ^{[ 33 ]} على الرغم من حصول هنري واتس على براءة اختراعه عام 1914، إلا أن مثاقب مماثلة اخترعها آخرون استُخدمت قبل ذلك. ^{[ 9 ]} تُستخدم أشكال رولو المضلعة الأخرى لحفر ثقوب خماسية وسداسية وثمانية الأضلاع. ^{[ 9 ] [ 33 ]}

استوحت مكنسة باناسونيك الروبوتية RULO تصميمها من مثلث رولو لتسهيل تنظيف الغبار في زوايا الغرف. ^{[ 34 ] [ 35 ]}

يُستخدم مثلث رولو أيضاً في فئة أخرى من التطبيقات، وهي الأجسام الأسطوانية ذات المقطع العرضي المثلثي. تُصنع العديد من أقلام الرصاص بهذا الشكل، بدلاً من الأشكال الأسطوانية أو السداسية التقليدية. ^{[ 36 ]} وعادةً ما يُروج لها على أنها أكثر راحةً أو تُشجع على الإمساك الصحيح، فضلاً عن كونها أقل عرضةً للتدحرج عن الطاولات (لأن مركز ثقلها يتحرك لأعلى ولأسفل أكثر من الشكل السداسي المتدحرج).

يمكن لمثلث رولو (إلى جانب جميع المنحنيات الأخرى ذات العرض الثابت ) أن يتدحرج، ولكنه لا يُعدّ عجلةً مثاليةً لأنه لا يتدحرج حول مركز دوران ثابت. يتدحرج جسم موضوع فوق بكرات ذات مقاطع عرضية مثلثة الشكل من نوع رولو بسلاسة وثبات، بينما يرتد محور متصل بعجلات مثلثة الشكل من نوع رولو لأعلى ولأسفل ثلاث مرات في كل دورة. ^{[ 9 ] [ 37 ]} استُخدم هذا المفهوم في قصة خيال علمي قصيرة للكاتب بول أندرسون بعنوان "العجلة ثلاثية الزوايا". ^{[ 11 ] [ 38 ]} قام المخترع الصيني غوان بايهوا، الذي استوحى فكرته من أقلام الرصاص ذات الشكل نفسه، ببناء دراجة هوائية ذات محاور عائمة وإطار مدعوم بحافة عجلتها المثلثة الشكل من نوع رولو، وعرضها في عام 2009. ^{[ 39 ]}

يُستخدم مثلث رولو أيضًا في فئة أخرى من التطبيقات، حيث يُستخدم كجزء من وصلة ميكانيكية لتحويل الدوران حول محور ثابت إلى حركة ترددية . ^{[ 10 ]} درس فرانز رولو هذه الآليات. وبمساعدة شركة غوستاف فويغت، بنى رولو ما يقارب 800 نموذجًا للآليات، استخدم العديد منها مثلث رولو. ^{[ 40 ]} استخدم رولو هذه النماذج في أبحاثه العلمية الرائدة حول حركتها. ^{[ 41 ]} على الرغم من فقدان معظم نماذج رولو-فويغت، فقد جُمع 219 نموذجًا منها في جامعة كورنيل ، بما في ذلك تسعة نماذج مبنية على مثلث رولو. ^{[ 40 ] [ 42 ]} مع ذلك، فإن استخدام مثلثات رولو في تصميم الآليات يسبق عمل رولو نفسه؛ فعلى سبيل المثال، احتوت بعض المحركات البخارية التي يعود تاريخها إلى عام 1830 على كامة على شكل مثلث رولو. ^{[ 43 ] [ 44 ]}

يظهر أحد تطبيقات هذا المبدأ في جهاز عرض الأفلام . في هذا التطبيق، من الضروري تحريك الفيلم بحركة متقطعة ومتدرجة، حيث تتوقف كل لقطة من الفيلم لجزء من الثانية أمام عدسة جهاز العرض، ثم يُنقل الفيلم بسرعة أكبر إلى اللقطة التالية. يمكن تحقيق ذلك باستخدام آلية تستخدم دوران مثلث رولو داخل مربع لإنشاء نمط حركة لمشغل يسحب الفيلم بسرعة إلى كل لقطة جديدة، ثم يوقف حركة الفيلم مؤقتًا أثناء عرض اللقطة. ^{[ 45 ]}

يتخذ دوار محرك وانكل شكل مثلث منحني، يُشار إليه غالبًا كمثال على مثلث رولو. ^{[ 3 ] [ 5 ] [ 9 ] [ 44 ]} ومع ذلك، فإن جوانبه المنحنية أقل انحناءً من جوانب مثلث رولو، وبالتالي لا يتمتع بعرض ثابت. ^{[ 46 ] [ 47 ] [ 48 ]}

في العمارة القوطية ، بدءًا من أواخر القرن الثالث عشر أو أوائل القرن الرابع عشر، ^{[ 49 ]} أصبح مثلث رولو أحد الأشكال المنحنية العديدة التي شاع استخدامها في النوافذ، وزخارفها ، وغيرها من العناصر المعمارية. ^{[ 3 ]} فعلى سبيل المثال، في العمارة القوطية الإنجليزية ، ارتبط هذا الشكل بالفترة المزخرفة، سواءً في أسلوبه الهندسي بين عامي 1250 و1290، أو في أسلوبه المنحني بين عامي 1290 و1350. ^{[ 49 ]} كما يظهر أيضًا في بعض نوافذ كاتدرائية ميلانو . ^{[ 50 ]} في هذا السياق، يُطلق على هذا الشكل أحيانًا اسم المثلث الكروي ، ^{[ 49 ] [ 51 ] [ 52 ]} والذي يجب عدم الخلط بينه وبين المثلث الكروي الذي يعني مثلثًا على سطح كرة . في استخدامها في العمارة الكنسية القوطية، يمكن اعتبار الشكل الثلاثي الزوايا لمثلث رولو رمزًا للثالوث ، [ ^{53 ] و} "فعلًا معارضًا لشكل الدائرة". ^{[ 54 ]}

استُخدم مثلث رولو أيضًا في أنماط معمارية أخرى. فعلى سبيل المثال، رسم ليوناردو دافنشي هذا الشكل كخطة لتحصين. ^{[ 42 ]} ومن المباني الحديثة التي يُزعم أنها تستخدم مخططًا أرضيًا على شكل مثلث رولو: قاعة كريسج في معهد ماساتشوستس للتكنولوجيا ، ومثلث كولن ، وبرج الدانوب ، وبرج كولسيرولا ، ومتحف مرسيدس بنز . ^{[ 55 ]} مع ذلك، في كثير من الحالات، تكون هذه مجرد مثلثات مستديرة، ذات هندسة مختلفة عن مثلث رولو.

ومن التطبيقات المبكرة الأخرى لمثلث رولو، خريطة العالم التي وضعها دافنشي حوالي عام 1514، والتي قُسِّم فيها سطح الأرض الكروي إلى ثمانية أجزاء ثمانية، كل منها مُسطَّح على شكل مثلث رولو. ^{[ 56 ] [ 57 ] [ 58 ]}

وقد نشر أورونس فينه خرائط مماثلة تستند أيضًا إلى مثلث رولو في عام 1551 وجون دي في عام 1580. ^{[ 58 ]}

تستخدم العديد من ريش العزف على الغيتار مثلث رولو، إذ يجمع شكله بين طرف حاد لتوفير وضوح قوي، وطرف عريض لإنتاج نغمة دافئة. ولأن جميع نقاط الشكل الثلاث قابلة للاستخدام، فإنه أسهل في التوجيه وأقل عرضة للتآكل مقارنةً بريشة ذات طرف واحد. ^{[ 59 ]}

الاستخدام غير المشروع لصنبور إطفاء الحريق، فيلادلفيا، 1996، وصنبور إطفاء حريق فيلادلفيا الأحدث مع صامولة على شكل مثلث من نوع رولو لمنع هذا الاستخدام.

استُخدم مثلث رولو كشكل للمقطع العرضي لصامولة صمام صنبور إطفاء الحريق . يُصعّب عرض هذا الشكل الثابت فتح صنبور إطفاء الحريق باستخدام مفاتيح الربط القياسية ذات الفكين المتوازيين؛ لذا يلزم استخدام مفتاح ربط ذي شكل خاص. تُمكّن هذه الخاصية رجال الإطفاء فقط (الذين يمتلكون مفتاح الربط الخاص) من فتح صنابير إطفاء الحريق، وليس أي شخص آخر يحاول استخدامها كمصدر للمياه لأغراض أخرى. ^{[ 60 ]}

Following a suggestion of Keto (1997),^[61] the antennae of the Submillimeter Array, a radio-wave astronomical observatory on Mauna Kea in Hawaii, are arranged on four nested Reuleaux triangles.^[62][63] Placing the antennae on a curve of constant width causes the observatory to have the same spatial resolution in all directions, and provides a circular observation beam. As the most asymmetric curve of constant width, the Reuleaux triangle leads to the most uniform coverage of the plane for the Fourier transform of the signal from the array.^[61][63] The antennae may be moved from one Reuleaux triangle to another for different observations, according to the desired angular resolution of each observation.^[62][63] The precise placement of the antennae on these Reuleaux triangles was optimized using a neural network. In some places the constructed observatory departs from the preferred Reuleaux triangle shape because that shape was not possible within the given site.^[63]

The shield shapes used for many signs and corporate logos feature rounded triangles. However, only some of these are Reuleaux triangles.

The corporate logo of Petrofina (Fina), a Belgian oil company with major operations in Europe, North America and Africa, used a Reuleaux triangle with the Fina name from 1950 until Petrofina's merger with Total S.A. (today TotalEnergies) in 2000.^[64][65] Another corporate logo framed in the Reuleaux triangle, the south-pointing compass of Bavaria Brewery, was part of a makeover by design company Total Identity that won the SAN 2010 Advertiser of the Year award.^[66] The Reuleaux triangle is also used in the logo of Colorado School of Mines.^[67]

In the United States, the National Trails System and United States Bicycle Route System both mark routes with Reuleaux triangles on signage.^[68]

According to Plateau's laws, the circular arcs in two-dimensional soap bubble clusters meet at 120° angles, the same angle found at the corners of a Reuleaux triangle. Based on this fact, it is possible to construct clusters in which some of the bubbles take the form of a Reuleaux triangle.^[69]

The shape was first isolated in crystal form in 2014 as Reuleaux triangle disks.^[70] Basic bismuth nitrate disks with the Reuleaux triangle shape were formed from the hydrolysis and precipitation of bismuth nitrate in an ethanol–water system in the presence of 2,3-bis(2-pyridyl)pyrazine.

The intersection of four balls of radius s centered at the vertices of a regular tetrahedron with side length s is called the Reuleaux tetrahedron, but its surface is not a surface of constant width.^[72] It can, however, be made into a surface of constant width, called Meissner's tetrahedron, by replacing three of its edge arcs by curved surfaces, the surfaces of rotation of a circular arc. Alternatively, the surface of revolution of a Reuleaux triangle through one of its symmetry axes forms a surface of constant width, with minimum volume among all known surfaces of revolution of given constant width.^[73]

Reuleaux polygons

Gambian dalasi Reuleaux heptagon coin

The Reuleaux triangle can be generalized to regular or irregular polygons with an odd number of sides, yielding a Reuleaux polygon, a curve of constant width formed from circular arcs of constant radius. The constant width of these shapes allows their use as coins that can be used in coin-operated machines.^[9] Although coins of this type in general circulation usually have more than three sides, a Reuleaux triangle has been used for a commemorative coin from Bermuda.^[55]

Similar methods can be used to enclose an arbitrary simple polygon within a curve of constant width, whose width equals the diameter of the given polygon. The resulting shape consists of circular arcs (at most as many as sides of the polygon), can be constructed algorithmically in linear time, and can be drawn with compass and straightedge.^[74] Although the Reuleaux polygons all have an odd number of circular-arc sides, it is possible to construct constant-width shapes with an even number of circular-arc sides of varying radii.^[75]

The Yanmouti sets are defined as the convex hulls of an equilateral triangle together with three circular arcs, centered at the triangle vertices and spanning the same angle as the triangle, with equal radii that are at most equal to the side length of the triangle. Thus, when the radius is small enough, these sets degenerate to the equilateral triangle itself, but when the radius is as large as possible they equal the corresponding Reuleaux triangle. Every shape with width w, diameter d, and inradius r (the radius of the largest possible circle contained in the shape) obeys the inequality

${\displaystyle w-r\leq {\frac {d}{\sqrt {3}}},}$

and this inequality becomes an equality for the Yanmouti sets, showing that it cannot be improved.^[76]