خريطة ميلنور

كان أحد الدوافع الأصلية لدراسة هذه الخرائط هو دراسة العقد التي تم إنشاؤها عن طريق أخذ${\displaystyle \varepsilon }$كرةٌ حول نقطةٍ شاذةٍ لمنحنى مستوٍ ، متماثلةٍ مع كرةٍ حقيقيةٍ رباعية الأبعاد، وبالنظر إلى العقدة داخل الحدود، وهي متعددةُ شعبٍ أحاديةِ الأبعاد داخل كرةٍ ثلاثيةِ الأبعاد . ولأن هذا المفهوم قابلٌ للتعميم على الأسطح الفائقة ذات النقاط الشاذة المعزولة، فقد طرح ميلنور الموضوع وأثبت نظريته.

مفهوم آخر ذو صلة وثيقة في الهندسة الجبرية هو ألياف ميلنور لتفرد سطح فائق معزول. وهذا له بنية مماثلة، حيث تكون متعددة الحدود${\displaystyle f}$مع${\displaystyle f=0}$بوجود نقطة تفرد عند الأصل، ولكن الآن متعددة الحدود

${\displaystyle f_{t}\colon \mathbb {C} ^{n+1}\to \mathbb {C} \ {\text{ إرسال }}\ (z_{0},\ldots ,z_{n})\mapsto f(z_{0},\ldots ,z_{n})-t}$

يتم أخذ ذلك في الاعتبار. ثم يتم اعتبار ألياف ميلنور الجبرية كواحدة من كثيرات الحدود${\displaystyle f_{t\neq 0}}$.

إحدى النظريات الأساسية المتعلقة ببنية ألياف ميلنور هي أنها متعددة الشعب قابلة للتوازي ^{[ 1 ] ص 75} .

تتميز ألياف ميلنور بكونها ذات نمط تماثلي يشبه باقة من الكرات ^{[ 1 ] صفحة 78.} عدد هذه الكرات هو عدد ميلنور . في الواقع، يمكن حساب عدد الكرات باستخدام الصيغة التالية:

${\displaystyle \mu (f)={\text{dim}}_{\mathbb {C} }{\frac {\mathbb {C} [[z_{0},\ldots ,z_{n}]]}{\operatorname {Jac} (f)}},}$

حيث يكون المثالي خارج القسمة هو المثالي اليعقوبي ، المعرف بالمشتقات الجزئية${\displaystyle \partial f/\partial z_{i}}$تُشكل هذه الكرات المشوهة إلى ألياف ميلنور الجبرية دورات التلاشي للتليف ^{[ 1 ] صفحة 83.} ويُعد حساب القيم الذاتية لمونودروميتها تحديًا حسابيًا ويتطلب تقنيات متقدمة مثل دوال b ^{[ 2 ] صفحة 23} .

تنص نظرية ميلنور للتليف على أنه لكل${\displaystyle f}$بحيث يكون الأصل نقطة مفردة على السطح الفائق${\displaystyle V_{f}}$(على وجه الخصوص، لكل متعددة حدود غير ثابتة خالية من المربعات)${\displaystyle f}$في حالة متغيرين (كما في حالة المنحنيات المستوية)، ثم بالنسبة لـ${\displaystyle \epsilon }$صغيرة بما فيه الكفاية،

${\displaystyle {\dfrac {f}{|f|}}\colon \left(S_{\varepsilon }^{2n+1}\setminus V_{f}\right)\to S^{1}}$

هو تليف. كل ليف عبارة عن مشعب تفاضلي غير متراص ذي بُعد حقيقي${\displaystyle 2n}$لاحظ أن إغلاق كل ليف هو متعدد شعب مضغوط ذو حدود. هنا، تتوافق الحدود مع تقاطع${\displaystyle V_{f}}$مع${\displaystyle (2n+1)}$كرة (ذات نصف قطر صغير بما فيه الكفاية)، وبالتالي فهي فضاء متعدد الأبعاد حقيقي ذو بُعد${\displaystyle (2n-1)}$علاوة على ذلك، فإن هذا الفضاء المتراص ذو الحدود، والمعروف باسم ألياف ميلنور (للنقطة المفردة المعزولة لـ${\displaystyle V_{f}}$(عند نقطة الأصل)، يكون متماثلاً شكليًا مع تقاطع المغلق${\displaystyle (2n+2)}$الكرة (المحدودة بالصغيرة)${\displaystyle (2n+1)}$-كرة) مع السطح الفائق (غير المنفرد)${\displaystyle V_{g}}$أين${\displaystyle g=fe}$و${\displaystyle e}$أي عدد مركب صغير غير صفري . يُطلق على هذا الجزء الصغير من السطح الفائق أيضًا اسم ليف ميلنور .

لا تُعدّ خرائط ميلنور عند أنصاف أقطار أخرى تليفًا دائمًا، لكنها مع ذلك تتمتع بالعديد من الخصائص المثيرة للاهتمام. بالنسبة لمعظم كثيرات الحدود (وليس جميعها)، تُعدّ خريطة ميلنور عند اللانهاية (أي عند أي نصف قطر كبير بما فيه الكفاية) تليفًا أيضًا.