طريقة كوندورسيه مينيمكس

في أنظمة التصويت ، تُعدّ طريقة كوندورسيه مينيمكس طريقة تصويت ترتيبية تُفضي دائمًا إلى فائز واحد ، حيث يتم انتخاب الفائز بالأغلبية (كوندورسيه) . ^[¹^] تُقارن طريقة مينيمكس جميع المرشحين في دورة روبن ، ثم تُرتّب المرشحين حسب أسوأ نتيجة انتخابية لهم (النتيجة التي يحصلون فيها على أقل عدد من الأصوات). يُعلن فوز المرشح الحاصل على أكبر عدد من الأصوات في أسوأ مواجهة (أقل عدد من الأصوات).

وصف الطريقة

تختار طريقة كوندورسيه المصغرة المرشح الذي يكون أعلى مجموع نقاط ثنائي له مقابل مرشح آخر هو أقل مجموع نقاط من بين جميع المرشحين.

تشبيه كرة القدم

تخيل أن السياسيين يتنافسون كفرق كرة قدم في بطولة بنظام الدوري ، حيث يلعب كل فريق ضد كل فريق آخر مرة واحدة. في كل مباراة، تتساوى نقاط المرشح مع عدد الناخبين الذين يدعمونه على حساب منافسه.

تعتمد خوارزمية مينيمكس على تحديد أسوأ مباراة لكل فريق (أو مرشح) - وهي المباراة التي حصل فيها على أقل عدد من النقاط (الأصوات). ويُحسب مجموع نقاط كل فريق في البطولة بناءً على عدد النقاط التي حصل عليها في أسوأ مباراة له. ويفوز بالمركز الأول في البطولة الفريق صاحب أعلى مجموع نقاط.

التعريف الرسمي

بصورة رسمية، دع $\operatorname {score} (X,Y)$ يشير إلى النتيجة الزوجية لـ $X$ ضد $Y$ ثم المرشح، $W$ يتم اختيار الفائز (الذي يُطلق عليه اسم الفائز) بواسطة:

W=\arg \min _{X}\left(\max _{Y}\operatorname {score} (Y,X)\right)

أنواع مختلفة من نتائج المقارنة الزوجية

عندما يُسمح بترتيب المرشحين بالتساوي، أو عدم ترتيبهم جميعًا، توجد ثلاثة تفسيرات محتملة للقاعدة. أما عندما يُلزم الناخبون بترتيب جميع المرشحين، فإن التفسيرات الثلاثة جميعها متكافئة.

يترك $d(X,Y)$ ليكن عدد الناخبين الذين يفضلون الخيار X على الخيار Y. تحدد المتغيرات النتيجة $\operatorname {score} (X,Y)$ بالنسبة للمرشح س ضد المرشح ص ، كما يلي:

عدد الناخبين الذين يفضلون الخيار X على الخيار Y ، ولكن فقط عندما تتجاوز هذه النتيجة عدد الناخبين الذين يفضلون الخيار Y على الخيار X. إذا لم يكن الأمر كذلك، فإن نتيجة X مقابل Y تساوي صفرًا. يُطلق على هذا المتغير أحيانًا اسم " الأصوات الفائزة" ، وهو الأكثر شيوعًا وتفضيلًا لدى منظري الاختيار الاجتماعي .
- $\operatorname {score} (X,Y):={\begin{cases}d(X,Y),&d(X,Y)>d(Y,X)\\0,&{\text{else}}\end{cases}}$
عدد الناخبين الذين يفضلون الخيار X على الخيار Y مطروحًا منه عدد الناخبين الذين يفضلون الخيار Y على الخيار X. يُطلق على هذا المتغير اسم "الهوامش" ، وهو أقل استخدامًا.
- $\operatorname {score} (X,Y):=d(X,Y)-d(Y,X)$
عدد الناخبين الذين يفضلون الخيار X على الخيار Y ، بغض النظر عما إذا كان عدد الناخبين الذين يفضلون X على Y أكبر أم العكس. يُطلق على هذا النوع من التصويت اسم "المعارضة الثنائية" ، وهو نادر الاستخدام أيضاً.
- $\operatorname {score} (X,Y):=d(X,Y)$

عند استخدام أحد المتغيرين الأولين، يمكن إعادة صياغة الطريقة على النحو التالي: "تجاهل أضعف هزيمة ثنائية حتى يصبح أحد المرشحين بلا هزيمة". يمتلك المرشح "الذي لم يهزم" أعلى درجة ضده وهي صفر أو سالبة.

المعايير المستوفاة والمعايير غير المستوفاة

يُحقق نظام Minimax، باستخدام الأصوات الفائزة أو الهوامش ، معيار كوندورسيه ومعيار الأغلبية ، ولكنه لا يُحقق معيار سميث ، أو معيار الأغلبية المتبادلة ، أو معيار كوندورسيه للخاسر . وعند استخدام الأصوات الفائزة ، يُحقق نظام Minimax أيضًا معيار الأغلبية النسبية .

يفشل Minimax في تحقيق الاستقلال عن البدائل غير ذات الصلة ، والاستقلال عن النسخ ، والاستقلال المحلي عن البدائل غير ذات الصلة ، والاستقلال عن البدائل التي يهيمن عليها سميث .

في نظام المعارضة الثنائية (المعروف أحيانًا باسم MMPO)، لا يحقق نظام minimax سوى معيار كوندورسيه لقوة الأغلبية ؛ إذ لا يجوز انتخاب مرشح يحظى بأغلبية نسبية على جميع المرشحين الآخرين. يُعدّ نظام MMPO نظامًا لا يضرّ بالمرشحين لاحقًا، كما أنه يحقق معيار التفضيل الصادق .

قام نيكولاس تيدمان بتعديل خوارزمية مينيمكس بحيث تحذف فقط الحواف التي تُنشئ دورات كوندورسيه ، مما سمح لطريقته بتحقيق العديد من الخصائص المذكورة أعلاه. وبالمثل، تُختزل طريقة شولتز إلى مينيمكس عندما يكون هناك ثلاثة مرشحين فقط.

أمثلة

مثال مع الفائز وفقًا لمعيار كوندورسيه

42% من الناخبين	26% من الناخبين	15% من الناخبين	17% من الناخبين
ممفيس ناشفيل تشاتانوغا نوكسفيل	ناشفيل تشاتانوغا نوكسفيل ممفيس	تشاتانوغا نوكسفيل ناشفيل ممفيس	نوكسفيل تشاتانوغا ناشفيل ممفيس

لنفترض أن ولاية تينيسي تُجري انتخابات لتحديد موقع عاصمتها . ينقسم السكان بين أربع مدن، ويرغب جميع الناخبين في أن تكون العاصمة أقرب ما يمكن إليهم . الخيارات هي:

ممفيس ، مدينة كبيرة لكنها تقع في أقصى الغرب
ناشفيل ، متوسطة، بالقرب من المركز
تشاتانوغا ، مدينة صغيرة تقع في الشرق
نوكسفيل ، مدينة صغيرة ومعزولة

سيتم جدولة نتائج الدرجات الثنائية على النحو التالي:

نتائج الانتخابات الثنائية
		X
		ممفيس	ناشفيل	تشاتانوغا	نوكسفيل
Y	ممفيس		[X] 58% [Y] 42%	[X] 58% [Y] 42%	[X] 58% [Y] 42%
	ناشفيل	[X] 42% [Y] 58%		[X] 32% [Y] 68%	[X] 32% [Y] 68%
	تشاتانوغا	[X] 42% [Y] 58%	[X] 68% [Y] 32%		[X] 17% [Y] 83%
	نوكسفيل	[X] 42% [Y] 58%	[X] 68% [Y] 32%	[X] 83% [Y] 17%
نتائج الانتخابات الثنائية (فوز - تعادل - خسارة):		0–0–3	3-0-0	2-0-1	1-0-2
أسوأ هزيمة ثنائية (أصوات الفوز):		58%	0%	68%	83%
أسوأ هزيمة ثنائية (الهوامش):		16%	-16%	36%	66%
أسوأ مواجهة ثنائية:		58%	42%	68%	83%

يشير الرمز [X] إلى الناخبين الذين فضلوا المرشح المذكور في عنوان العمود على المرشح المذكور في عنوان الصف
يشير الرمز [Y] إلى الناخبين الذين فضلوا المرشح المذكور في عنوان الصف على المرشح المذكور في عنوان العمود.

النتيجة: في جميع البدائل الثلاثة، تتمتع ناشفيل بأقل قيمة ويتم انتخابها فائزة.

مثال على الفائز وفقًا لمعيار كوندورسيه والذي لم يُنتخب فائزًا (في حالة المعارضة الثنائية)

لنفترض وجود ثلاثة مرشحين أ، ب، وج، وناخبين لديهم التفضيلات التالية:

4% من الناخبين	47% من الناخبين	43% من الناخبين	6% من الناخبين
1. أ و ج	1. أ	1. ج	1. ب
1. أ و ج	2. ج	2. ب	2. أ و ج
3. ب	3. ب	3. أ	2. أ و ج

سيتم تجميع النتائج في جدول على النحو التالي:

نتائج الانتخابات الثنائية
		X
		أ	ب	ج
Y	أ		[X] 49% [Y] 51%	[X] 43% [Y] 47%
	ب	[X] 51% [Y] 49%		[X] 94% [Y] 6%
	ج	[X] 47% [Y] 43%	[X] 6% [Y] 94%
نتائج الانتخابات الثنائية (فوز - تعادل - خسارة):		2-0-0	0–0–2	1-0-1
أسوأ هزيمة ثنائية (أصوات الفوز):		0%	94%	47%
أسوأ هزيمة ثنائية (الهوامش):		-2%	88%	4%
أسوأ مواجهة ثنائية:		49%	94%	47%

يشير الرمز [X] إلى الناخبين الذين فضلوا المرشح المذكور في عنوان العمود على المرشح المذكور في عنوان الصف
يشير الرمز [Y] إلى الناخبين الذين فضلوا المرشح المذكور في عنوان الصف على المرشح المذكور في عنوان العمود.

النتيجة : باستخدام بدائل الأصوات والفروقات الفائزة، يُعلن الفائز وفقًا لمعيار كوندورسيه (أ) فائزًا وفقًا لمعيار مينيمكس. مع ذلك، باستخدام بديل المعارضة الثنائية، يُعلن الفائز (ج) ، نظرًا لأن عدد الناخبين الذين يعارضونه بشدة في أسوأ نتيجة ثنائية له ضد (أ) أقل من عدد الذين يعارضون (أ) بشدة في أسوأ نتيجة ثنائية له ضد (ب).

مثال بدون فائز كوندورسيه

لنفترض وجود أربعة مرشحين A و B و C و D. يُسمح للناخبين بعدم النظر في بعض المرشحين (يشير إلى n/a في الجدول)، بحيث لا يتم أخذ أصواتهم في الاعتبار عند حساب الدرجات الزوجية لهؤلاء المرشحين.

30 ناخبًا	15 ناخبًا	14 ناخبًا	6 ناخبين	4 ناخبين	16 ناخبًا	14 ناخبًا	3 ناخبين
1. أ	1. د	1. د	1. ب	1. د	1. ج	1. ب	1. ج
2. ج	2. ب	2. ب	2. ج	2. ج	2. أ و ب	2. ج	2. أ
3. ب	3. أ	3. ج	3. أ	3. أ و ب	2. أ و ب
4. د	4. ج	4. أ	4. د	3. أ و ب
					غير متوفر D	غير متوفر أ و د	غير متوفر B و D

سيتم تجميع النتائج في جدول على النحو التالي:

نتائج الانتخابات الثنائية
		X
		أ	ب	ج	د
Y	أ		[X] 35 [Y] 30	[X] 43 [Y] 45	[X] 33 [Y] 36
	ب	[X] 30 [Y] 35		[X] 50 [Y] 49	[X] 33 [Y] 36
	ج	[X] 45 [Y] 43	[X] 49 [Y] 50		[X] 33 [Y] 36
	د	[X] 36 [Y] 33	[X] 36 [Y] 33	[X] 36 [Y] 33
نتائج الانتخابات الثنائية (فوز - تعادل - خسارة):		2-0-1	2-0-1	2-0-1	0–0–3
أسوأ هزيمة ثنائية (أصوات الفوز):		35	50	45	36
أسوأ هزيمة ثنائية (الهوامش):		5	1	2	3
أسوأ مواجهة ثنائية:		43	50	49	36

يشير الرمز [X] إلى الناخبين الذين فضلوا المرشح المذكور في عنوان العمود على المرشح المذكور في عنوان الصف
يشير الرمز [Y] إلى الناخبين الذين فضلوا المرشح المذكور في عنوان الصف على المرشح المذكور في عنوان العمود.

النتيجة : كل بديل من البدائل الثلاثة يُنتج فائزًا آخر:

يختار البديل الفائز بالأصوات الخيار أ كفائز، لأنه يمتلك أقل قيمة وهي 35 صوتًا للفائز في أكبر هزيمة له؛
يختار البديل ذو الهامش الخيار "ب" كفائز، لأنه حصل على أقل فرق في الأصوات في أكبر هزيمة له؛
ويختار التنافس الثنائي الخاسر D وفقًا لتصنيف كوندورسيه كفائز، لأنه حصل على أقل عدد من الأصوات من بين أكبر منافس في جميع نتائج التنافس الثنائي.

انظر أيضاً

مينيمكس - المقال الرئيسي حول مينيمكس
التصويت متعدد الفائزين - يحتوي على معلومات حول بعض متغيرات التصويت متعدد الفائزين في نظام كوندورسيه المصغر الأقصى.

مراجع

↑ " [ EM ] اسم الوردة" . lists.electorama.com . تم الاسترجاع في 12-02-2024 .

ليفين، جوناثان، وباري ناليبوف. 1995. "مقدمة في مخططات فرز الأصوات". مجلة وجهات النظر الاقتصادية، 9(1): 3-26.

روابط خارجية

وصف لأساليب التصويت التفضيلي: سيمبسون بقلم روب ليجراند
مكتبة فئة كوندورسيه PHP التي تدعم طرق كوندورسيه المتعددة، بما في ذلك المتغيرات الثلاثة لطريقة مينيمكس.
إلكتورويكي: مينماكس

[1] " [ EM ] اسم الوردة" . lists.electorama.com . تم الاسترجاع في 12-02-2024 .

[

اللغة	العربية (RTL)
روابط موسوعية	30 رابطاً
المصدر الأصلي	ويكيبيديا ↗