مسألة العزوم المثلثية

في الرياضيات ، تُصاغ مسألة العزوم المثلثية على النحو التالي: بالنظر إلى متتالية${\displaystyle \{c_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$هل توجد دالة توزيع؟${\displaystyle \sigma }$على الفترة${\displaystyle [0,2\pi ]}$بحيث: ^{[ 1 ] [ 2 ]}$${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-ik\theta }\,d\sigma (\theta ),}$$ مع${\displaystyle c_{-k}={\overline {c}}_{k}}$ل${\displaystyle k\geq 1}$الإجابة بنعم على المشكلة تعني أن ${\displaystyle \{c_{k}\}_{k\in \mathbb {N} _{0}}}$هي معاملات فورييه-ستيلتيس لمقياس رادون فريد (وبالتالي موجب)${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle [0,2\pi ]}$كدالة توزيع. ^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]}

في حالة كون المتتالية منتهية، أي${\displaystyle \{c_{k}\}_{k=0}^{n<\infty }}$ويُشار إليها باسم مسألة العزم المثلثي المقتطع . ^{[ 7 ]}

مسألة العزوم المثلثية قابلة للحل، أي${\displaystyle \{c_{k}\}_{k=0}^{n}}$تكون متتالية من معاملات فورييه، إذا وفقط إذا كانت مصفوفة توبليتز هيرميتية ( n + 1) × ( n + 1)$${\displaystyle T=\left({\begin{matrix}c_{0}&c_{1}&\cdots &c_{n}\\c_{-1}&c_{0}&\cdots &c_{n-1}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\c_{-n}&c_{-n+1}&\cdots &c_{0}\\\end{matrix}}\right)}$$مع${\displaystyle c_{-k}={\overline {c_{k}}}}$ل${\displaystyle k\geq 1}$، موجبة شبه محددة . ^{[ 6 ]}

يمكن التحقق من جزء "فقط إذا" من الادعاءات عن طريق حساب مباشر. نقدم فيما يلي حجةً لعكس ذلك. المصفوفة شبه الموجبة المحددة${\displaystyle T}$يُعرّف هذا التعريف منتجًا خطيًا مزدوجًا على${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$مما ينتج عنه فضاء هيلبرت$${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )}$$ ذات أبعاد لا تتجاوز n + 1. بنية توبليتز لـ${\displaystyle T}$يعني ذلك أن الإزاحة "المقتطعة" هي تماثل جزئي على${\displaystyle {\mathcal {H}}}$وبشكل أكثر تحديداً، دع${\displaystyle \{e_{0},\dotsc ,e_{n}\}}$أن يكون الأساس القياسي لـ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$. يترك${\displaystyle {\mathcal {E}}}$و${\displaystyle {\mathcal {F}}}$تكون فضاءات جزئية مولدة بواسطة فئات التكافؤ${\displaystyle \{[e_{0}],\dotsc ,[e_{n-1}]\}}$على التوالى${\displaystyle \{[e_{1}],\dotsc ,[e_{n}]\}}$عرّف عاملًا $${\displaystyle V:{\mathcal {E}}\rightarrow {\mathcal {F}}}$$ بواسطة $${\displaystyle V[e_{k}]=[e_{k+1}]\quad {\mbox{for}}\quad k=0\ldots n-1.}$$ منذ $${\displaystyle \langle V[e_{j}],V[e_{k}]\rangle =\langle [e_{j+1}],[e_{k+1}]\rangle =T_{j+1,k+1}=T_{j,k}=\langle [e_{j}],[e_{k}]\rangle ,}$$${\displaystyle V}$يمكن توسيعها لتشمل قياسًا متساويًا جزئيًا يؤثر على جميع${\displaystyle {\mathcal {H}}}$خذ امتدادًا وحدويًا أدنى${\displaystyle U}$ل${\displaystyle V}$، على فضاء أكبر محتمل (وهذا موجود دائمًا). وفقًا لنظرية الطيف ، ^{[ 8 ] [ 9 ]} يوجد مقياس بوريل${\displaystyle m}$على دائرة الوحدة${\displaystyle \mathbb {T} }$بحيث يكون لكل عدد صحيح k$${\displaystyle \langle (U^{*})^{k[e_{n+1}],[e_{n+1}]\rangle =\int _{\mathbb {T} }z^{k}dm.}$$ ل${\displaystyle k=0,\dotsc ,n}$الجانب الأيسر هو $$// =T_ {n+1,n+1-k}=c_{-k}={\overline {c_{k}}}.}$$ وبالتالي، هناك${\displaystyle j}$- القياس الذري${\displaystyle m}$على${\displaystyle \mathbb {T} }$، مع${\displaystyle j\leq 2n+1<\infty }$(أي أن المجموعة محدودة)، بحيث ^{[ 10 ]}$${\displaystyle c_{k}=\int _{\mathbb {T} }z^{-k}dm=\int _{\mathbb {T} }{\bar {z}}^{k}dm,}$$ وهو ما يعادل $${\displaystyle c_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int _{0}^{2\pi }e^{-ik\theta }d\mu (\theta ).}$$

كإجراء مناسب${\displaystyle \mu }$.

• نظرية بوخنر
• مشكلة لحظة الهامبرغر
• مشكلة اللحظة
• كثيرات الحدود المتعامدة على دائرة الوحدة
• القياس الطيفي
• فصل شور
• نظريات سيغو الحدية
• معضلة وينر

• أخيزر، ن. إ. (1965). مسألة العزم الكلاسيكي وبعض المسائل ذات الصلة في التحليل . فيلادلفيا، بنسلفانيا: جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية. doi : 10.1137/1.9781611976397 . ISBN 978-1-61197-638-0.
• أخيزر، ن. إ.؛ كرين، م. ج. (1962). بعض المسائل في نظرية العزوم . ترجمات لمؤلفات رياضية. الجمعية الرياضية الأمريكية. ISBN 978-0-8218-1552-6.{{cite book}}عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة )
• كورتو، راؤول إي.؛ فيالكوف، لورانس أ. (1991). "مسائل التكرارية، والإيجابية، والعزوم المقتطعة" (ملف PDF) . مجلة هيوستن للرياضيات . 17 (4): 603-635 . تاريخ الاسترجاع : 10 سبتمبر 2025 .
• إدواردز، ر. إي. (1982). متسلسلات فورييه . المجلد  85. نيويورك، نيويورك: سبرينغر نيويورك. doi : 10.1007/978-1-4613-8156-3 . ISBN 978-1-4613-8158-7.
• جيرونيموس، ج. (1946). "حول مسألة العزوم المثلثية" . حوليات الرياضيات . 47 (4): 742-761 . doi : 10.2307/1969232 . ISSN 0003-486X . JSTOR 1969232 .  
• يوكفيدوف، يوسيف سيمينوفيتش (1982). مصفوفات وأشكال هانكل وتوبليتز . بوسطن: بيركهاوزر. ISBN 978-3-7643-3090-3.
• كاتزنيلسون، يتسحاق (2004). مقدمة في التحليل التوافقي . مطبعة جامعة كامبريدج. doi : 10.1017/cbo9781139165372 . ISBN 978-0-521-83829-0.
• شمودجن، كونراد (2017). مسألة العزوم . نصوص الدراسات العليا في الرياضيات. المجلد  277. تشام: دار نشر سبرينغر الدولية. doi : 10.1007/978-3-319-64546-9 . ISBN 978-3-319-64545-2ISSN 0072-5285​​ 
• سايمون، باري (2005). كثيرات الحدود المتعامدة على دائرة الوحدة. الجزء 1. النظرية الكلاسيكية . منشورات ندوة الجمعية الأمريكية للرياضيات. المجلد  54. بروفيدنس، رود آيلاند: الجمعية الأمريكية للرياضيات . ISBN 978-0-8218-3446-6MR 2105088​​ 
• زيغموند، أ. (2002). المتسلسلات المثلثية (  الطبعة الثالثة). كامبريدج: مطبعة جامعة كامبريدج. ISBN 0-521-89053-5.