مشكلة لحظة الهامبرغر

في الرياضيات ، تُصاغ مسألة هامبرغر ، نسبةً إلى هانز لودفيغ هامبرغر ، على النحو التالي: بالنظر إلى متتالية ( m0 _، m1 _، m2 _، ...) ، هل يوجد مقياس بوريل موجب μ (على سبيل المثال، المقياس المحدد بواسطة دالة التوزيع التراكمي لمتغير عشوائي ) على خط الأعداد الحقيقية بحيث

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$؟

بمعنى آخر، الإجابة الإيجابية على المشكلة تعني أن ( m0 _، m1 _، m2 ، ... ) هي سلسلة من لحظات _قياس بوريل الموجب μ .

تتشابه مسائل عزم ستيلتجس ، وعزم فوروبييف، وعزم هاوسدورف ، لكنها تستبدل خط الأعداد الحقيقية بـ${\displaystyle [0,+\infty )}$(ستيلتيس وفوروبييف؛ لكن فوروبييف يصوغ المشكلة من حيث نظرية المصفوفات)، أو فترة محدودة (هاوسدورف).

تكون مسألة عزم هامبرغر قابلة للحل (أي أن ( mn ₎ عبارة عن متتالية من العزوم ) إذا وفقط إذا كانت نواة هانكل المقابلة على الأعداد الصحيحة غير السالبة

${\displaystyle A=\left({\begin{matrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots \\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots \\m_{2}&m_{3}&m_{4}&\cdots \\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots \end{matrix}}\right)}$

موجبة تمامًا ، أي

${\displaystyle \sum _{j,k\geq 0}m_{j+k}c_{j}{\overline {c_{k}}}\geq 0}$

لكل متتالية عشوائية ( c _j ) _{j ≥ 0} من الأعداد المركبة المنتهية (أي c _j = 0 باستثناء عدد محدود من قيم j ).

بالنسبة لجزء "فقط إذا" من الادعاءات، يُرجى ملاحظة ما يلي:

$//$،

وهو غير سالب إذا${\displaystyle \mu }$غير سالب.

نُقدّم برهانًا موجزًا ​​للعكس. ليكن Z ^{+ مجموعة الأعداد الصحيحة غير السالبة} _، و F0 ( Z ⁺ ) عائلة المتتابعات ذات القيم المركبة ذات الدعم المحدود. تُولّد نواة هانكل الموجبة A جداءً خطيًا (قد يكون مُنحطًا) على عائلة المتتابعات ذات القيم المركبة ذات الدعم المحدود. وهذا بدوره يُعطي فضاء هيلبرت.

${\displaystyle ({\mathcal {H}},\langle \;,\;\rangle )}$

العنصر النموذجي الذي يمثله فئة التكافؤ المشار إليها بـ [ f ] .

ليكن e _{_n} العنصر في F _₀ ( Z ^⁺ ) المعرف بالعلاقة e _{_n} ( m ) = δ _{_nm} . يُلاحظ أن

${\displaystyle \langle [e_{n+1}],[e_{m}]\rangle =A_{m,n+1}=m_{m+n+1}=\langle [e_{n}],[e_{m+1}]\rangle }$.

لذلك، فإن عامل الإزاحة T على${\displaystyle {\mathcal {H}}}$، مع T [ e _n ] = [ e _{n  + 1} ] ، متناظر .

من ناحية أخرى، التعبير المطلوب

${\displaystyle m_{n}=\int _{-\infty }^{\infty }x^{n}\,d\mu (x)}$

يشير ذلك إلى أن μ هو المقياس الطيفي لمؤثر ذاتي الترافق . (بتعبير أدق، μ هو المقياس الطيفي لمؤثر${\displaystyle {\overline {T}}}$(المُعرّف أدناه والمتجه [1]، ( ريد وسيمون 1975 ، ص 145) ). إذا استطعنا إيجاد "نموذج دالة" بحيث يكون المؤثر المتناظر T هو الضرب في x ، فإن التحليل الطيفي لامتداد ذاتي الترافق لـ T يثبت الادعاء. 

يُعطى نموذج الدالة بالتشاكل الطبيعي من _F₀ ( Z⁺ ) ^إلى عائلة كثيرات الحدود ، في متغير حقيقي واحد ومعاملات مركبة: من أجل n ≥ 0، نُعرّف eₙ بـ _xₙ ^. في هذا النموذج، المؤثر T هو الضرب في x ومؤثر متناظر مُعرّف بكثافة. يمكن إثبات أن T يمتلك دائمًا امتدادات ذاتية الترافق. ليكن  ${\displaystyle {\overline {T}}}$ليكن أحدها، وليكن μ مقياسه الطيفي.

${\displaystyle \langle {\overline {T}}^{n[1],[1]\rangle =\int x^{n}d\mu (x)}$.

على الجانب الآخر،

${\displaystyle \langle {\overline {T}}^{n}[1],[1]\rangle =\langle T^{n}[e_{0}],[e_{0}]\rangle =m_{n}}$.

للحصول على برهان بديل على الوجود يستخدم فقط تكاملات ستيلتجس ، انظر أيضًا ^{[ 1 ]} على وجه الخصوص النظرية 3.2.

ترتبط مسألة عزم هامبرغر ارتباطًا وثيقًا بكثيرات الحدود المتعامدة على خط الأعداد الحقيقية. أي، افترض${\displaystyle \{m_{n}\}_{n\in \mathbb {N} _{0}}}$هي متتالية العزوم لمقياس موجب ما${\displaystyle \mu }$على${\displaystyle \mathbb {R} }$ثم لأي متعددة حدود $${\displaystyle p(x)=\sum _{j=0}^{n}a_{j}x^{j}\in \mathbb {R} ,}$$ وهذا يعني أن $${\displaystyle \int p(x)^{2}d\mu =\int \left(\sum _{j,k=0}^{n}a_{j}a_{k}x^{j+k}\right)d\mu =\sum _{j,k=0}^{n}a_{j}a_{k}m_{j+k}\geq 0,\quad \forall n\in \mathbb {N} _{0},}$$ بحيث تكون مصفوفة هانكل شبه موجبة. وهذا شرط ضروري لكي تكون المتتالية متتالية عزم، وشرط كافٍ لوجود مقياس موجب. ^{[ 3 ]}

تُعطي طريقة غرام -شميدت أساسًا لكثيرات الحدود المتعامدة التي يكون فيها المؤثر:${\displaystyle {\overline {T}}}$لها تمثيل مصفوفة جاكوبي ثلاثية الأقطار . وهذا بدوره يؤدي إلى نموذج ثلاثي الأقطار لنوى هانكل الموجبة.

يُظهر حسابٌ صريحٌ لتحويل كايلي لـ T الصلة بما يُسمى فئة نيفانلينا للدوال التحليلية في النصف الأيسر من المستوى المركب. وبالانتقال إلى الحالة غير التبادلية، يُحفز هذا صيغة كرين التي تُحدد معاملات امتدادات التماثلات الجزئية.

يمكن في كثير من الأحيان إيجاد دالة التوزيع التراكمي ودالة كثافة الاحتمال بتطبيق تحويل لابلاس العكسي على دالة توليد العزوم

${\displaystyle m(t)=\sum _{n=0}m_{n}{\frac {t^{n}}{n!}}}$،

بشرط أن تتقارب هذه الدالة.

• تشيهارا، تي إس (1978)، مقدمة في كثيرات الحدود المتعامدة ، غوردون وبريتش، ناشرو العلوم، رقم ISBN 0-677-04150-0
• ريد، مايكل؛ سيمون، باري (1975)، تحليل فورييه، الترافق الذاتي ، أساليب الفيزياء الرياضية الحديثة، المجلد  2، دار النشر الأكاديمية، الصفحات  145، 205، ISBN 0-12-585002-6
• شمودجن، كونراد (2017)، مسألة العزم ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  277، تشام: دار نشر سبرينغر الدولية، doi : 10.1007/978-3-319-64546-9 ، ISBN 978-3-319-64545-2ISSN 0072-5285​ 
• Shohat, J. A.; Tamarkin, J. D. (1943), The Problem of Moments, New York: American mathematical society, ISBN 0-8218-1501-6{{citation}}: ISBN / Date incompatibility (help).