نظرية فصل الصناديق المشتركة

لتوضيح فصل الصندوقين في سياق لا تتوفر فيه أصول خالية من المخاطر، باستخدام جبر المصفوفات ، لنفترض${\displaystyle \sigma ^{2}}$ليكن تباين عائد المحفظة، ولتكن${\displaystyle \mu }$ليكن مستوى العائد المتوقع على المحفظة الذي يجب تقليل تباين عائد المحفظة بناءً عليه،${\displaystyle r}$ليكن متجه العوائد المتوقعة على الأصول المتاحة، ولتكن${\displaystyle X}$ليكن متجه المبالغ المراد وضعها في الأصول المتاحة،${\displaystyle W}$ليكن مقدار الثروة التي سيتم تخصيصها في المحفظة، وليكن${\displaystyle 1}$ليكن متجهًا من الواحدات. عندئذٍ، يمكن صياغة مشكلة تقليل تباين عائد المحفظة الاستثمارية، مع مراعاة مستوى معين من العائد المتوقع للمحفظة، على النحو التالي:

التقليل${\displaystyle \sigma ^{2}}$

رهناً بـ

${\displaystyle X^{T}r=\mu }$

و

${\displaystyle X^{T}1=W}$

حيث يكون النص العلوي${\displaystyle ^{T}}$يرمز إلى منقولة المصفوفة. ويمكن كتابة تباين عائد المحفظة في دالة الهدف على النحو التالي:${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX,}$أين${\displaystyle V}$هي مصفوفة التغاير الموجبة المحددة لعوائد الأصول الفردية. دالة لاغرانج لمسألة التحسين المقيد هذه (التي يمكن إثبات استيفاء شروطها من الدرجة الثانية) هي

${\displaystyle L=X^{T}VX+2\lambda (\mu -X^{T}r)+2\eta (WX^{T}1),}$

باستخدام مضاعفات لاغرانج${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \eta }$يمكن حل هذه المسألة لإيجاد المتجه الأمثل${\displaystyle X}$كميات الأصول عن طريق مساواة المشتقات بالنسبة إلى الصفر${\displaystyle X}$،${\displaystyle \lambda }$، و${\displaystyle \eta }$، حل مؤقت لشرط الرتبة الأولى لـ${\displaystyle X}$من ناحية${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \eta }$، بالتعويض في شروط الرتبة الأولى الأخرى، حل المعادلة لـ${\displaystyle \lambda }$و${\displaystyle \eta }$من حيث معلمات النموذج، وبالتعويض مرة أخرى في الحل المؤقت لـ${\displaystyle X}$والنتيجة هي

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {W}{\Delta }}[(r^{T}V^{-1}r)V^{-1}1-(1^{T}V^{-1}r)V^{-1}r]+{\frac {\mu }{\Delta }}[(1^{T}V^{-1}1)V^{-1}r-(r^{T}V^{-1}1)V^{-1}1]}$

أين

${\displaystyle \Delta =(r^{T}V^{-1}r)(1^{T}V^{-1}1)-(r^{T}V^{-1}1)^{2}>0.}$

لتبسيط الأمر، يمكن كتابة ذلك بشكل أكثر إيجازًا على النحو التالي:

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu }$

أين${\displaystyle \alpha }$و${\displaystyle \beta }$هي متجهات معلمات تستند إلى معلمات النموذج الأساسي. لنفترض الآن وجود محفظتين كفؤتين معياريتين تم إنشاؤهما بعوائد متوقعة معيارية.${\displaystyle \mu _{1}}$و${\displaystyle \mu _{2}}$وبالتالي يتم تحديده بواسطة

${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{1}}$

و

${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }=\alpha W+\beta \mu _{2}.}$

المحفظة المثلى عند سعر عشوائي${\displaystyle \mu _{3}}$ويمكن كتابة ذلك كمتوسط ​​مرجح لـ${\displaystyle X_{1}^{\mathrm {opt} }}$و${\displaystyle X_{2}^{\mathrm {opt} }}$على النحو التالي:

${\displaystyle X_{3}^{\mathrm {opt}}=\alpha W+\beta \mu _{3}={\frac {\mu _{3}-\mu _{2}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{1}^{\mathrm {opt} }+{\frac {\mu _{1}-\mu _{3}}{\mu _{1}-\mu _{2}}}X_{2}^{\mathrm {opt} }.}$

تُثبت هذه المعادلة نظرية فصل الصندوقين لتحليل المتوسط ​​والتباين. وللحصول على تفسير هندسي، انظر إلى نقطة ماركويتز .

إذا توفر أصل خالٍ من المخاطر ، فإن نظرية فصل الصندوقين تنطبق مجددًا؛ ولكن في هذه الحالة، يمكن اختيار أحد "الصندوقين" ليكون صندوقًا بسيطًا جدًا يحتوي فقط على الأصل الخالي من المخاطر، بينما يمكن اختيار الصندوق الآخر ليكون صندوقًا لا يحتوي على أي أصول خالية من المخاطر. (يُشار إلى هذا الشكل من النظرية بنظرية الفصل النقدي ، حيث يُشار إلى الأصل الخالي من المخاطر بـ"النقود" ). وبالتالي، يمكن تكوين محافظ استثمارية فعالة من حيث متوسط ​​التباين ببساطة كمزيج من حيازات الأصل الخالي من المخاطر وحيازات صندوق فعال معين يحتوي فقط على أصول خطرة. ومع ذلك، لا ينطبق الاشتقاق أعلاه، لأنه مع وجود أصل خالٍ من المخاطر، فإن مصفوفة التغاير المذكورة أعلاه لجميع عوائد الأصول،${\displaystyle V}$، سيكون لها صف واحد وعمود واحد من الأصفار، وبالتالي لن تكون قابلة للعكس. بدلاً من ذلك، يمكن صياغة المسألة على النحو التالي:

التقليل${\displaystyle \sigma ^{2}}$

رهناً بـ

${\displaystyle (WX^{T}1)r_{f}+X^{T}r=\mu ,}$

أين${\displaystyle r_{f}}$هو العائد المعروف على الأصل الخالي من المخاطر،${\displaystyle X}$يمثل الآن متجه الكميات التي يجب الاحتفاظ بها في الأصول الخطرة ، و${\displaystyle r}$يمثل متجه العوائد المتوقعة على الأصول الخطرة. أما الطرف الأيسر من المعادلة الأخيرة فيمثل العائد المتوقع على المحفظة، لأن${\displaystyle (WX^{T}1)}$تمثل الكمية المحتفظ بها في الأصل الخالي من المخاطر، وبالتالي تتضمن قيد جمع الأصول الذي تطلب في المسألة السابقة تضمين قيد لاغرانجي منفصل. يمكن كتابة دالة الهدف على النحو التالي:${\displaystyle \sigma ^{2}=X^{T}VX}$أين الآن${\displaystyle V}$تمثل مصفوفة التغاير للأصول الخطرة فقط. ويمكن إثبات أن مسألة التحسين هذه تُنتج المتجه الأمثل لحيازات الأصول الخطرة.

${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }={\frac {(\mu -Wr_{f})}{(r-1r_{f})^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

بالطبع هذا يساوي متجهًا صفريًا إذا${\displaystyle \mu =Wr_{f}}$، وهو عائد المحفظة الخالية من المخاطر، وفي هذه الحالة تُستثمر كل الثروة في الأصل الخالي من المخاطر. ويمكن إثبات أن المحفظة التي لا تحتوي على أي أصول خالية من المخاطر تقع عند${\displaystyle \mu ={\tfrac {Wr^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}}$ويُعطى بواسطة

${\displaystyle X^{*}={\frac {W}{1^{T}V^{-1}(r-1r_{f})}}V^{-1}(r-1r_{f}).}$

ويمكن أيضًا إثبات (على غرار البرهان في حالة الصندوقين الاستثماريين المذكورين أعلاه) أن متجه الأصول الخطرة لكل محفظة (أي،${\displaystyle X^{\mathrm {opt} }}$لكل قيمة من${\displaystyle \mu }$يمكن تكوين ) كمزيج مرجح من المتجه الأخير والمتجه الصفري. وللحصول على تفسير هندسي، انظر إلى الحدود الكفؤة بدون أصول خالية من المخاطر .