اللوغاريتم

• log ₂ 16 = 4 ، لأن 2 ⁴ = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 .
• يمكن أن تكون اللوغاريتمات سالبة أيضًا:${\textstyle \log _{2}\!{\frac {1}{2}}=-1}$منذ${\textstyle 2^{-1}={\frac {1}{2^{1}}}={\frac {1}{2}}.}$
• log ₁₀ 150 يساوي تقريبًا 2.176، وهو يقع بين 2 و 3، تمامًا كما يقع 150 بين 10 ² = 100 و 10 ³ = 1000 .
• لأي أساس b ، log _b b = 1 و log _b 1 = 0 ، لأن b ¹ = b و b ⁰ = 1 على التوالي. 

لوغاريتم حاصل ضرب عددين هو مجموع لوغاريتمات العددين المضروبين؛ ولوغاريتم نسبة عددين هو الفرق بين لوغاريتميهما. ولوغاريتم القوة p لعدد ما يساوي p  مضروبًا في لوغاريتم العدد نفسه؛ ولوغاريتم الجذر p يساوي لوغاريتم العدد مقسومًا على p . يوضح الجدول التالي هذه المتطابقات مع أمثلة. ويمكن اشتقاق كل متطابقة منها بالتعويض بتعريفات اللوغاريتمات.${\displaystyle x=b^{\,\log _{b}x}}$أو${\displaystyle y=b^{\,\log _{b}y}}$في الجانب الأيسر. في الصيغ التالية، ⁠${\displaystyle x}$و​​${\displaystyle y}$⁠ أعداد حقيقية موجبةو ⁠${\displaystyle p}$هو عدد صحيح أكبر من 1.

متطابقات الضرب والقسمة والقوة والجذر للوغاريتمات

هوية	صيغة	مثال
منتج	${\textstyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y}$	${\textstyle \log _{3}243=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}9+\log _{3}27=2+3=5}$
حاصل القسمة	${\textstyle \log _{b}\!{\frac {x}{y}}=\log _{b}x-\log _{b}y}$	${\textstyle \log _{2}16=\log _{2}\!{\frac {64}{4}}=\log _{2}64-\log _{2}4=6-2=4}$
قوة	${\textstyle \log _{b}\left(x^{p}\right)=p\log _{b}x}$	${\textstyle \log _{2}64=\log _{2}\left(2^{6}\right)=6\log _{2}2=6}$
جذر	${\textstyle \log _{b}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log _{b}x}{p}}}$	${\textstyle \log _{10}{\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\log _{10}1000={\frac {3}{2}}=1.5}$

يمكن حساب اللوغاريتم log _b x من لوغاريتمات x و b بالنسبة إلى أساس اختياري k باستخدام الصيغة التالية: ^{[ nb 2 ]} 

$${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{k}x}{\log _{k}b}}.}$$

تحسب الآلات الحاسبة العلمية النموذجية اللوغاريتمات للأساسين 10 و e . ^{[ 5 ]} يمكن تحديد اللوغاريتمات بالنسبة لأي أساس b باستخدام أي من هذين اللوغاريتمين من خلال الصيغة السابقة: 

$${\displaystyle \log _{b}x={\frac {\log _{10}x}{\log _{10}b}}={\frac {\log _{e}x}{\log _{e}b}}.}$$

بفرض وجود عدد x ولوغاريتمه y = log _b x لأساس غير معروف b ، فإن الأساس يُعطى بالصيغة التالية: 

$${\displaystyle b=x^{\frac {1}{y}},}$$

ويمكن ملاحظة ذلك من خلال أخذ المعادلة المحددة${\displaystyle x=b^{\,\log _{b}x}=b^{y}}$إلى قوة${\displaystyle {\tfrac {1}{y}}.}$

كانت جداول اللوغاريتمات أداةً أساسيةً مكّنت من الاستخدام العملي للوغاريتمات . ^{[ 30 ]} قام هنري بريغز بتجميع أول جدول من هذا النوع عام 1617، مباشرةً بعد اختراع نابيير، ولكن مع ابتكار استخدام 10 كأساس. احتوى جدول بريغز الأول على اللوغاريتمات العشرية لجميع الأعداد الصحيحة في النطاق من 1 إلى 1000، بدقة 14  رقمًا. لاحقًا، كُتبت جداول ذات نطاق متزايد. سردت هذه الجداول قيم log₁₀ x لأي عدد x في نطاق معين، بدقة معينة. استُخدمت اللوغاريتمات ذات الأساس ₁₀ على نطاق واسع في الحسابات، ومن هنا جاء اسم اللوغاريتم العشري، لأن الأعداد التي تختلف بعوامل العدد 10 يكون لوغاريتمها مختلفًا بأعداد صحيحة. يمكن فصل اللوغاريتم العشري لـ x إلى جزء صحيح وجزء كسري ، يُعرفان بالخاصية والكسر العشري . لا تحتاج جداول اللوغاريتمات إلا إلى تضمين الجزء الكسري، إذ يمكن تحديد الخاصية بسهولة عن طريق عدّ الأرقام من الفاصلة العشرية. ^{[ 31 ]} الخاصية للوغاريتم 10 × س تساوي واحدًا زائد الخاصية لـ س ، وجزآهما الكسريان متساويان. وبالتالي، باستخدام جدول لوغاريتمات مكون من ثلاثة أرقام، يُقارب لوغاريتم 3542 بالقيمة التالية: 

$${\displaystyle {\begin{aligned}\log _{10}3542&=\log _{10}(1000\cdot 3.542)\\&=3+\log _{10}3.542\\&\approx 3+\log _{10}3.54\end{aligned}}}$$

يمكن الحصول على دقة أكبر عن طريق الاستيفاء :

$${\displaystyle \log _{10}3542\approx {}3+\log _{10}3.54+0.2(\log _{10}3.55-\log _{10}3.54)}$$

يمكن تحديد قيمة 10 ^x عن طريق البحث العكسي في نفس الجدول، لأن اللوغاريتم دالة رتيبة .

كان يُحسب حاصل ضرب وقسمة عددين موجبين c و d بشكل روتيني كمجموع وفرق لوغاريتماتهما. وكان حاصل الضرب cd أو حاصل القسمة c / d يُستخرج من البحث عن معكوس لوغاريتم المجموع أو الفرق، باستخدام الجدول نفسه.  

$${\displaystyle cd=10^{\,\log _{10}c}\,10^{\,\log _{10}d}=10^{\,\log _{10}c\,+\,\log _{10}d}}$$

و

$${\displaystyle {\frac {c}{d}}=cd^{-1}=10^{\,\log _{10}c\,-\,\log _{10}d}.}$$

بالنسبة للحسابات اليدوية التي تتطلب دقة ملحوظة، فإن إجراء عمليات البحث عن اللوغاريتمين، وحساب مجموعهما أو فرقهما، والبحث عن اللوغاريتم العكسي أسرع بكثير من إجراء عملية الضرب بالطرق السابقة مثل prosthaphaeresis ، والتي تعتمد على المتطابقات المثلثية .

تُختزل حسابات القوى والجذور إلى عمليات ضرب أو قسمة وعمليات بحث بواسطة

$${\displaystyle c^{d}=\left(10^{\,\log _{10}c}\right)^{d}=10^{\,d\log _{10}c}}$$

و

$${\displaystyle {\sqrt[{d}]{c}}=c^{\frac {1}{d}}=10^{{\frac {1}{d}}\log _{10}c}.}$$

تم تسهيل الحسابات المثلثية بواسطة جداول تحتوي على اللوغاريتمات العشرية للدوال المثلثية .

كان من التطبيقات المهمة الأخرى المسطرة الحاسبة، وهي عبارة عن مقياسين لوغاريتميين يُستخدمان في العمليات الحسابية. وقد اختُرع المقياس اللوغاريتمي الثابت، المعروف بقاعدة غونتر ، بعد فترة وجيزة من اختراع نابيير. ثم قام ويليام أوتريد بتطويره ليُصبح المسطرة الحاسبة، وهي عبارة عن مقياسين لوغاريتميين متحركين بالنسبة لبعضهما البعض. تُوضع الأرقام على المقياسين المنزلقين بمسافات تتناسب مع الفروق بين لوغاريتماتها. ويُعادل تحريك المقياس العلوي جمع اللوغاريتمات ميكانيكيًا، كما هو موضح هنا:

على سبيل المثال، ينتج عن جمع المسافة من 1 إلى 2 على المقياس السفلي مع المسافة من 1 إلى 3 على المقياس العلوي ناتجٌ قدره 6، والذي يُقرأ من الجزء السفلي. كانت المسطرة الحاسبة أداة حسابية أساسية للمهندسين والعلماء حتى سبعينيات القرن العشرين، لأنها تتيح، على حساب الدقة، إجراء حسابات أسرع بكثير من التقنيات القائمة على الجداول. ^{[ 32 ]}

ليكن b عددًا حقيقيًا موجبًا لا يساوي${\displaystyle 1}$ودع${\displaystyle f(x)=b^{x}}$.

من النتائج الأساسية في التحليل الحقيقي أن أي دالة متصلة رتيبة تمامًا تكون تقابلية بين مجالها ومداها. وتستند هذه الحقيقة إلى نظرية القيمة المتوسطة . ^{[ 34 ]} الآن،${\displaystyle f}$يتزايد بشكل صارم (لـ)${\displaystyle b>1}$أو متناقصة بشكل صارم (لـ${\displaystyle 0<b<1}$), ^{[ 35 ]} متصلة، ولها مجال${\displaystyle \mathbb {R} }$وله نطاق${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$. لذلك،${\displaystyle f}$هو تقابل من${\displaystyle \mathbb {R} }$ل${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$بمعنى آخر، لكل عدد حقيقي موجب${\displaystyle y}$يوجد عدد حقيقي واحد فقط${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle b^{x}=y}$.

لقد سمحنا${\displaystyle \log _{b}\colon \mathbb {R} _{>0}\to \mathbb {R} }$يرمز إلى معكوس${\displaystyle f}$. إنه،${\displaystyle \log _{b}y}$هو العدد الحقيقي الفريد${\displaystyle x}$بحيث${\displaystyle b^{x}=y}$تُسمى هذه الدالة بالدالة الأساسية.${\displaystyle b}$دالة اللوغاريتم أو الدالة اللوغاريتمية (أو ببساطة اللوغاريتم ).

يمكن أيضًا وصف الدالة log _b x بشكل أساسي بواسطة صيغة الضرب

$${\displaystyle \log _{b}(xy)=\log _{b}x+\log _{b}y.}$$

وبشكل أدق، فإن اللوغاريتم لأي أساس b > 1 هو الدالة المتزايدة الوحيدة f من الأعداد الحقيقية الموجبة إلى الأعداد الحقيقية التي تحقق f ( b ) = 1 و ^{[ 36 ].}

$${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y).}$$

كما نوقش أعلاه، فإن الدالة log _b هي الدالة العكسية للدالة الأسية${\displaystyle x\mapsto b^{x}}$لذا، تتطابق منحنياتهما عند تبديل إحداثيات x و y (أو عند الانعكاس حول الخط القطري x = y )، كما هو موضح على اليمين: النقطة ( t , u = bt ) على منحنى الدالة f تُنتج النقطة ( u , t = log ^bu ) على منحنى _{اللوغاريتم} ، والعكس صحيح. ونتيجةً لذلك، يتباعد log b(x ) إلى ما لا نهاية (يصبح أكبر من أي عدد مُعطى) إذا تزايدت x إلى ما لا نهاية، بشرط أن يكون b أكبر من واحد. في هذه الحالة، يكون log _b ( x ) دالة متزايدة . أما إذا كان b _< 1 ، فإن log _b ( x ) يؤول إلى سالب ما لا نهاية. وعندما تقترب x من الصفر، يؤول log _bx إلى سالب ما لا نهاية إذا كان b > 1 (وإلى موجب ما لا نهاية إذا كان b < 1 ).

تنتقل الخصائص التحليلية للدوال إلى معكوساتها. ^{[ 34 ]} وبالتالي، بما أن f ( x ) = bx دالة متصلة وقابلة للتفاضل ، فإن log( _b) y ^{دالة متصلة وقابلة للتفاضل أيضًا} . باختصار، تكون الدالة المتصلة قابلة للتفاضل إذا لم يكن لمنحنى تمثيلها البياني زوايا حادة. علاوة على ذلك، بما أن مشتقة f ( x ) تساوي ln( b ) bx وفقًا لخصائص الدالة الأسية ، فإن قاعدة السلسلة تُشير إلى أن مشتقة log( _b) x تُعطى بالعلاقة التالية ^{[ 35 ] [ 37 ]} .

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log _{b}x={\frac {1}{x\ln b}}.}$$

أي أن ميل المماس الذي يلامس الرسم البياني للوغاريتم ذي الأساس b عند النقطة ( x , log _b ( x )) يساوي 1/( x ln( b )) .

مشتقة ln( x ) هي 1/ x ؛ وهذا يعني أن ln( x ) هي الدالة الأصلية الوحيدة لـ 1/ x التي تساوي صفرًا عندما x = 1. هذه الصيغة البسيطة هي التي دفعت إلى وصف اللوغاريتم الطبيعي بأنه "طبيعي"؛ وهذا أيضًا أحد الأسباب الرئيسية لأهمية الثابت e  .

المشتقة ذات الوسيط الوظيفي المعمم f ( x ) هي

$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln f(x)={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}$$

يُسمى ناتج القسمة في الطرف الأيمن بالمشتقة اللوغاريتمية للدالة f . ويُعرف حساب f' ( x ) باستخدام مشتقة ln( f ( x )) بالتفاضل اللوغاريتمي . ^{[ 38 ]} الدالة الأصلية للوغاريتم الطبيعي ln( x ) هي: ^{[ 39 ]}

$${\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}$$

يمكن اشتقاق صيغ ذات صلة ، مثل الدوال الأصلية للوغاريتمات إلى قواعد أخرى، من هذه المعادلة باستخدام تغيير القواعد. ^{[ 40 ]}

يمكن تعريف اللوغاريتم الطبيعي لـ t على أنه التكامل المحدد :

$${\displaystyle \ln t=\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx.}$$

يتميز هذا التعريف بأنه لا يعتمد على الدالة الأسية أو أي دوال مثلثية؛ فهو يُعرَّف بدلالة تكامل مقلوب بسيط. يُساوي التكامل ln( t ) المساحة المحصورة بين محور السينات ومنحنى الدالة 1/ x ، من x = 1 إلى x = t . وهذا نتيجة لنظرية التفاضل والتكامل الأساسية ، ولأن مشتقة ln( x ) هي 1/ x . ويمكن اشتقاق صيغ الضرب واللوغاريتمات الأسية من هذا التعريف. ^{[ 41 ]} على سبيل المثال، تُستنتج صيغة الضرب ln( tu ) = ln( t ) + ln( u ) كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(tu)&=\int _{1}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(1)}{=}}\int _{1}^{t}{\frac {1}{x}}\,dx+\int _{t}^{tu}{\frac {1}{x}}\,dx\\&{\stackrel {(2)}{=}}\ln(t)+\int _{1}^{u}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=\ln(t)+\ln(u).\end{aligned}}}$$

تقسم المعادلة  (1) التكامل إلى جزأين، بينما  تمثل المعادلة (2) تغييرًا في المتغير ( w = x / t ). في الرسم التوضيحي أدناه، يتوافق التقسيم مع تقسيم المساحة إلى جزأين أصفر وأزرق. لا يؤدي تغيير حجم المساحة الزرقاء اليسرى عموديًا بمعامل t وتقليصها أفقيًا بنفس المعامل إلى تغيير حجمها. عند تحريكها بشكل مناسب، تتطابق المساحة مع منحنى الدالة f ( x ) = 1/ x مرة أخرى. لذلك، فإن المساحة الزرقاء اليسرى، وهي تكامل f ( x ) من t إلى tu، هي نفسها التكامل من 1 إلى u . وهذا يبرر المعادلة (2) ببرهان هندسي.  

يمكن اشتقاق صيغة القوة ln( t/ ^r ) = r ln( t ) بطريقة مماثلة:

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ln(t^{r})&=\int _{1}^{t^{r}}{\frac {1}{x}}dx\\&=\int _{1}^{t}{\frac {1}{w^{r}}}\left(rw^{r-1}\,dw\right)\\&=r\int _{1}^{t}{\frac {1}{w}}\,dw\\&=r\ln(t).\end{aligned}}}$$

تستخدم المساواة الثانية تغيير المتغيرات ( التكامل عن طريق التعويض )، w = x ^{1/ r} .

مجموع مقلوبات الأعداد الطبيعية،

$${\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}},}$$

تُسمى هذه المتسلسلة بالمتسلسلة التوافقية . وهي مرتبطة ارتباطًا وثيقًا باللوغاريتم الطبيعي : فكلما اقترب n من اللانهاية ، يكون الفرق،

$${\displaystyle \sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n),}$$

يتقارب (أي يقترب بشكل تعسفي) إلى عدد يُعرف بثابت أويلر-ماسكيروني γ = 0.5772... . تساعد هذه العلاقة في تحليل أداء الخوارزميات مثل الفرز السريع . ^{[ 42 ]}

تُسمى الأعداد الحقيقية غير الجبرية بالأعداد المتسامية ؛ ^{[ 43 ]} على سبيل المثال، π و e من هذه الأعداد، ولكن${\displaystyle {\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}$ليس كذلك. فمعظم الأعداد الحقيقية هي أعداد متسامية. واللوغاريتم مثال على دالة متسامية . وتنص نظرية جيلفوند-شنايدر على أن اللوغاريتمات عادةً ما تأخذ قيمًا متسامية، أي قيمًا "صعبة". ^{[ 44 ]}

يُعطي المتوسط ​​الحسابي الهندسي تقريبات عالية الدقة للوغاريتم الطبيعي . وقد أظهر ساساكي وكانادا في عام 1982 أنه سريع بشكل خاص للدقة بين 400 و1000 منزلة عشرية، بينما كانت طرق متسلسلة تايلور أسرع عادةً عند الحاجة إلى دقة أقل. في عملهما، يتم تقريب ln( x ) بدقة 2 ^{− p} (أو p  بت دقيق) باستخدام الصيغة التالية (التي وضعها كارل فريدريش جاوس ): ^{[ 51 ] [ 52 ]}

$${\displaystyle \ln(x)\approx {\frac {\pi }{2\,\mathrm {M} \!\left(1,2^{2-m}/x\right)}}-m\ln(2).}$$

هنا، يرمز M( x , y ) إلى المتوسط ​​الحسابي الهندسي لـ x و y . ويتم الحصول عليه من خلال حساب المتوسط ​​( x + y )/2 ( المتوسط ​​الحسابي ) بشكل متكرر.${\textstyle {\sqrt {xy}}}$إذا كان لدينا المتوسط ​​الهندسي لـ x و y ، فلنجعل هذين العددين هما x و y التاليين . يتقارب العددان بسرعة إلى حد مشترك هو قيمة M( x , y ) . يتم اختيار m بحيث

$${\displaystyle x\,2^{m}>2^{p/2}.\,}$$

لضمان الدقة المطلوبة، يتطلب حساب M ( x , y ) عددًا أكبر من الخطوات (حيث تكون قيمتا x و y الابتدائيتان متباعدتين، مما يستلزم عددًا أكبر من الخطوات للتقارب)، ولكنه يوفر دقةً أكبر. ويمكن حساب الثابتين π و ln(2) باستخدام متسلسلات تتقارب بسرعة.

أثناء عمله في مختبر لوس ألاموس الوطني ضمن مشروع مانهاتن ، طوّر ريتشارد فاينمان خوارزمية لمعالجة البتات لحساب اللوغاريتم، وهي خوارزمية مشابهة للقسمة المطولة، وقد استُخدمت لاحقًا في آلة الاتصال . تعتمد هذه الخوارزمية على حقيقة أن أي عدد حقيقي x حيث 1 < x < 2 يمكن تمثيله كحاصل ضرب عوامل مختلفة على الصورة 1 + 2 ^{− k} . تقوم الخوارزمية ببناء حاصل الضرب P بشكل متسلسل ، بدءًا من P = 1 و k = 1 : إذا كان P · (1 + 2 ^{− k} ) < x ، فإنها تُغيّر P إلى P · (1 + 2 ^{− k} ) . ثم تُزيد قيمة x. ${\displaystyle k}$بغض النظر عن القيمة. تتوقف الخوارزمية عندما تكون قيمة k كبيرة بما يكفي لتحقيق الدقة المطلوبة. ولأن لوغاريتم ( x ) هو مجموع الحدود من الشكل لوغاريتم (1 + 2 ^{− k} ) التي تتوافق مع قيم k التي تم تضمين العامل 1 + 2 ^{− k} فيها في حاصل الضرب P ، فإنه يمكن حساب لوغاريتم ( x ) عن طريق الجمع البسيط، باستخدام جدول لوغاريتم (1 + 2 ^{− k} ) لجميع قيم k . يمكن استخدام أي أساس لجدول اللوغاريتمات. ^{[ 53 ]} 

غالبًا ما تُعبّر الكميات العلمية عن نفسها كلوغاريتمات لكميات أخرى، باستخدام مقياس لوغاريتمي . على سبيل المثال، الديسيبل وحدة قياس مرتبطة بالكميات ذات المقياس اللوغاريتمي . وهو مبني على اللوغاريتم العشري للنسب - 10 أضعاف اللوغاريتم العشري لنسبة القدرة أو 20 ضعف اللوغاريتم العشري لنسبة الجهد . يُستخدم الديسيبل لتحديد مقدار توهين أو تضخيم الإشارات الكهربائية، ^{[ 57 ]} ولوصف مستويات قدرة الأصوات في علم الصوتيات ، ^{[ 58 ]} وامتصاص الضوء في مجالي قياس الطيف والبصريات . كما تُقاس نسبة الإشارة إلى الضوضاء، التي تصف مقدار الضوضاء غير المرغوب فيها بالنسبة لإشارة (مهمة) ، بالديسيبل أيضًا. ^{[ 59 ]} وبالمثل، تُستخدم نسبة الإشارة إلى الضوضاء القصوى بشكل شائع لتقييم جودة الصوت وطرق ضغط الصور باستخدام اللوغاريتم. ^{[ 60 ]}  

تُقاس قوة الزلزال بأخذ اللوغاريتم العشري للطاقة المنبعثة منه. ويُستخدم هذا المقياس في مقياس العزم الزلزالي أو مقياس ريختر . على سبيل المثال، يُطلق زلزال بقوة 5.0 طاقةً تُعادل 32  ضعفًا ( ^10¹⁵ ) ، بينما يُطلق زلزال بقوة 6.0  طاقةً تُعادل 1000 ضعف (10³ ⁾ طاقة زلزال بقوة 4.0. ^{[ 61 ]} يقيس القدر الظاهري سطوع النجوم لوغاريتميًا. ^{[ 62 ]} في الكيمياء، يُشير معكوس اللوغاريتم العشري إلى العدد العشري.يُشار إلى اللوغاريتم العشري بحرف p. ^{[ 63 ]} على سبيل المثال،(pH)هو اللوغاريتم العشري لنشاطأيوناتالهيدرونيوم(الشكلأيوناتالهيدروجينH ⁺ في الماء). ^{[ 64 ]} يبلغ نشاط أيونات الهيدرونيوم في الماء المتعادل 10⁻⁷^مول/ ^لتر ، وبالتالي يكون الرقم الهيدروجيني 7. عادةً ما يكون الرقم الهيدروجيني للخل حوالي 3. الفرق البالغ 4 يُعادل نسبة 10⁴^منالنشاط، أي أن نشاط أيونات الهيدرونيوم في الخل يبلغ حوالي10⁻³مول ^{/ لتر} . 

تستخدم الرسوم البيانية شبه اللوغاريتمية (الخطية اللوغاريتمية) مفهوم المقياس اللوغاريتمي للتصور: حيث يُقاس أحد المحورين، عادةً المحور الرأسي، لوغاريتميًا. على سبيل المثال، يضغط الرسم البياني على اليمين الزيادة الحادة من مليون  إلى  تريليون إلى نفس المساحة (على المحور الرأسي) التي تُقاس بها الزيادة من 1 إلى  مليون. في هذه الرسوم البيانية، تظهر الدوال الأسية من الشكل f ( x ) = a · bx كخطوط مستقيمة ميلها يساوي لوغاريتم b . ^أما الرسوم البيانية اللوغاريتمية المزدوجة ^، فتُقاس فيها كلا المحورين لوغاريتميًا، مما يجعل الدوال من الشكل f ( x ) = a · xk تُصوَّر كخطوط مستقيمة ميلها يساوي الأس k . يُستخدم هذا في تصور وتحليل قوانين القوى . ^{[ 65 ]} 

تظهر اللوغاريتمات في العديد من القوانين التي تصف الإدراك البشري : ^{[ 66 ] [ 67 ]} يقترح قانون هيك علاقة لوغاريتمية بين الوقت الذي يستغرقه الأفراد لاختيار بديل وعدد الخيارات المتاحة لهم. ^{[ 68 ]} ويتنبأ قانون فيتس بأن الوقت اللازم للانتقال بسرعة إلى منطقة مستهدفة هو دالة لوغاريتمية لنسبة المسافة إلى الهدف إلى حجم الهدف. ^{[ 69 ]} في علم النفس الفيزيائي ، يقترح قانون ويبر-فيشنر علاقة لوغاريتمية بين المثير والإحساس ، مثل الوزن الفعلي مقابل الوزن المُدرَك لشيء يحمله الشخص. ^{[ 70 ]} (مع ذلك، يُعد هذا "القانون" أقل واقعية من النماذج الأحدث، مثل قانون ستيفنز للقوة . ^{[ 71 ]} )

أظهرت الدراسات النفسية أن الأفراد ذوي المعرفة المحدودة بالرياضيات يميلون إلى تقدير الكميات لوغاريتميًا، أي أنهم يضعون العدد على خط غير مُعلّم وفقًا للوغاريتمه، بحيث يكون العدد 10 أقرب ما يكون إلى العدد 100 كما يكون العدد 100 أقرب ما يكون إلى العدد 1000. ومع ازدياد مستوى التعليم، يتحول هذا التقدير إلى تقدير خطي (بوضع العدد 1000 على بُعد عشرة أضعاف) في بعض الحالات، بينما تُستخدم اللوغاريتمات عندما يصعب تمثيل الأعداد بيانيًا بشكل خطي. ^{[ 72 ] [ 73 ]}

تظهر اللوغاريتمات في نظرية الاحتمالات : ينص قانون الأعداد الكبيرة على أنه بالنسبة لعملة معدنية متوازنة ، عندما يزداد عدد مرات رمي ​​العملة إلى ما لا نهاية، فإن النسبة المرصودة للوجه تقترب من النصف . ويتم وصف تقلبات هذه النسبة حول النصف بواسطة قانون اللوغاريتم المتكرر . ^{[ 74 ]}

تظهر اللوغاريتمات أيضًا في التوزيعات اللوغاريتمية الطبيعية . عندما يكون للوغاريتم متغير عشوائي توزيع طبيعي ، يُقال إن المتغير يتبع توزيعًا لوغاريتميًا طبيعيًا. ^{[ 75 ]} تُستخدم التوزيعات اللوغاريتمية الطبيعية في العديد من المجالات، حيثما يتكون متغير ما من حاصل ضرب العديد من المتغيرات العشوائية الموجبة المستقلة، على سبيل المثال في دراسة الاضطراب الجوي. ^{[ 76 ]}

تُستخدم اللوغاريتمات لتقدير الاحتمال الأقصى للنماذج الإحصائية البارامترية . في هذا النوع من النماذج، تعتمد دالة الاحتمال على معلمة واحدة على الأقل يجب تقديرها. وتحدث القيمة العظمى لدالة الاحتمال عند نفس قيمة المعلمة التي تحدث عندها القيمة العظمى للوغاريتم الاحتمال (لوغاريتم الاحتمال  ) ، لأن اللوغاريتم دالة متزايدة. ويسهل تعظيم لوغاريتم الاحتمال، خاصةً عند ضرب الاحتمالات لمتغيرات عشوائية مستقلة . ^{[ 77 ]}

يصف قانون بنفورد تكرار الأرقام في العديد من مجموعات البيانات ، مثل ارتفاعات المباني. ووفقًا لهذا القانون، فإن احتمال أن يكون الرقم العشري الأول في عينة البيانات هو d (من 1 إلى 9) يساوي log₁₀ ( d + 1) - log₁₀ _{( d} ) ، بغض النظر عن وحدة القياس. ^{[ 78 ]} وبالتالي، يُتوقع أن يكون الرقم 1 هو الرقم الأول في حوالي 30% من البيانات، و2 في 18% منها، وهكذا. ويفحص المدققون الانحرافات عن قانون بنفورد للكشف عن الاحتيال المحاسبي. ^{[ 79 ]}

يُعد التحويل اللوغاريتمي نوعًا من أنواع تحويل البيانات المستخدمة لتقريب التوزيع التجريبي من التوزيع المفترض.

يُعد تحليل الخوارزميات فرعًا من علوم الحاسوب يدرس أداء الخوارزميات (برامج الحاسوب التي تحل مشكلة معينة). ^{[ 80 ]} تُعدّ اللوغاريتمات ذات قيمة في وصف الخوارزميات التي تُقسّم المشكلة إلى مشاكل أصغر، وتجمع حلول المشاكل الفرعية. ^{[ 81 ]}

على سبيل المثال، للعثور على رقم في قائمة مرتبة، تتحقق خوارزمية البحث الثنائي من العنصر الأوسط، وإذا لم يُعثر على الرقم بعد، تنتقل إلى النصف الذي يسبقه أو يليه. تتطلب هذه الخوارزمية، في المتوسط، _log₂ ( N ) مقارنة ، حيث N هو طول القائمة. ^{[ 82 ]} وبالمثل، تقوم خوارزمية فرز الدمج بفرز قائمة غير مرتبة بتقسيمها إلى نصفين وفرز كل نصف على حدة قبل دمج النتائج. تتطلب خوارزميات فرز الدمج عادةً وقتًا يتناسب تقريبًا مع N × log( N ) . ^{[ 83 ]} لم يُحدد أساس اللوغاريتم هنا، لأن النتيجة تتغير بمعامل ثابت فقط عند استخدام أساس آخر. عادةً ما يُتجاهل المعامل الثابت في تحليل الخوارزميات وفقًا لنموذج التكلفة الموحدة القياسي . ^{[ 84 ]}

يُقال إن الدالة f ( x ) تنمو لوغاريتميًا إذا كانت f ( x ) تتناسب (بشكل دقيق أو تقريبي) مع لوغاريتم x . (مع ذلك، تستخدم الأوصاف البيولوجية لنمو الكائنات الحية هذا المصطلح للدالة الأسية. ^{[ 85 ]} _{) على} سبيل المثال، يمكن تمثيل أي عدد طبيعي N في النظام الثنائي بما لا يزيد عن log₂N + 1 بت . بعبارة أخرى، يزداد حجم الذاكرة اللازمة لتخزين N لوغاريتميًا مع N.   

الإنتروبيا هي بشكل عام مقياس لاضطراب نظام ما. في الديناميكا الحرارية الإحصائية ، تُعرَّف إنتروبيا S لنظام فيزيائي ما على النحو التالي: 

$${\displaystyle S=-k\sum _{i}p_{i}\ln(p_{i}).\,}$$

يشمل المجموع جميع الحالات الممكنة (i) للنظام قيد الدراسة، مثل مواقع جزيئات الغاز في وعاء. علاوة على ذلك، فإن _pᵢ هو احتمال الوصول إلى الحالة (i) ، و k هو ثابت بولتزمان . وبالمثل، يقيس مفهوم الإنتروبيا في نظرية المعلومات كمية المعلومات. فإذا ^كان بإمكان متلقي الرسالة توقع أي رسالة من بين N رسالة ممكنة باحتمالية متساوية، فإن كمية المعلومات التي تنقلها أي رسالة من هذه الرسائل تُقاس بـ log₂ N بت. ^[ ₈₆ ^]  

تستخدم أسس ليابونوف اللوغاريتمات لقياس درجة فوضوية النظام الديناميكي . على سبيل المثال، بالنسبة لجسيم يتحرك على طاولة بلياردو بيضاوية، حتى التغييرات الطفيفة في الشروط الابتدائية تؤدي إلى مسارات مختلفة تمامًا للجسيم. تُعتبر هذه الأنظمة فوضوية بطريقة حتمية ، لأن أخطاء القياس الصغيرة للحالة الابتدائية تؤدي بشكل متوقع إلى حالات نهائية مختلفة إلى حد كبير. ^{[ 87 ]} يكون أحد أسس ليابونوف على الأقل موجبًا في النظام الفوضوي الحتمي.

تُستخدم اللوغاريتمات في تعريفات بُعد الأشكال الكسورية . [ ^{88 ] الأشكال} الكسورية هي أشكال هندسية متشابهة ذاتيًا، بمعنى أن أجزاءً صغيرة منها تُعيد إنتاج البنية الكلية، ولو بشكل تقريبي. يمكن تغطية مثلث سيربينسكي (الموضح في الصورة) بثلاث نسخ منه، طول كل ضلع منها نصف طول الضلع الأصلي. وهذا يجعل بُعد هاوسدورف لهذه البنية ln(3)/ln(2) ≈ 1.58 . ويمكن الحصول على مفهوم آخر للبُعد قائم على اللوغاريتمات من خلال حساب عدد المربعات اللازمة لتغطية الشكل الكسوري المعني.

أربع أوكتافات مختلفة معروضة على مقياس خطي، ثم معروضة على مقياس لوغاريتمي (كما تسمعها الأذن).

ترتبط اللوغاريتمات بالنغمات والفواصل الموسيقية . في نظام التوزيع المتساوي ، تعتمد نسبة التردد فقط على الفاصل بين نغمتين، وليس على التردد المحدد، أو درجة الصوت ، لكل نغمة على حدة. في نظام التوزيع المتساوي ذي الاثنتي عشرة نغمة، الشائع في الموسيقى الغربية الحديثة، تُقسّم كل أوكتاف (مضاعفة التردد) إلى اثنتي عشرة فاصلة متساوية تُسمى أنصاف نغمات . على سبيل المثال، إذا كان تردد النغمة "لا"  440 هرتز ، فإن تردد النغمة " سي بيمول" 466 هرتز. الفاصل بين "لا" و "سي بيمول" هو نصف نغمة ، وكذلك الفاصل بين "سي بيمول" و "سي" (تردده 493 هرتز). وبناءً على ذلك، تتطابق نسب التردد.   

$${\displaystyle {\frac {466}{440}}\approx {\frac {493}{466}}\approx 1.059\approx {\sqrt[{12}]{2}}.}$$

يمكن قياس الفواصل بين النغمات المختلفة بالأوكتافات بأخذ اللوغاريتم الثنائي لنسبة التردد ، أو بأنصاف النغمات المتساوية بأخذ اللوغاريتم الثنائي 1/12 ( 12 ضعف اللوغاريتم الثنائي )، أو بالسنتمات ( أجزاء من مئة من نصف النغمة) بأخذ اللوغاريتم الثنائي ^1/1200 ( 1200 ضعف اللوغاريتم الثنائي ). يُستخدم الأخير لترميز أدق، كما هو مطلوب للقياسات الدقيقة أو في حالة التوزيعات ^غير المتساوية . ^{[ 89 ]}

الفاصل الزمني (يتم عزف النغمتين في نفس الوقت)	1/12 نغمةيلعبⓘ	نصف نعمةيلعبⓘ	ثلث كبير فقطيلعبⓘ	ثلث كبيريلعبⓘ	تريتونيلعبⓘ	أوكتافيلعبⓘ
نسبة التردد${\displaystyle r}$	${\displaystyle 2^{\frac {1}{72}}\approx 1.0097}$	${\displaystyle 2^{\frac {1}{12}}\approx 1.0595}$	${\displaystyle {\tfrac {5}{4}}=1.25}$	${\displaystyle {\begin{aligned}2^{\frac {4}{12}}&={\sqrt[{3}]{2}}\\&\approx 1.2599\end{aligned}}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}2^{\frac {6}{12}}&={\sqrt {2}}\\&\approx 1.4142\end{aligned}}}$	${\displaystyle 2^{\frac {12}{12}}=2}$
عدد أنصاف النغمات${\displaystyle 12\log _{2}r}$	${\displaystyle {\tfrac {1}{6}}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle \approx 3.8631}$	${\displaystyle 4}$	${\displaystyle 6}$	${\displaystyle 12}$
عدد السنتات${\displaystyle 1200\log _{2}r}$	${\displaystyle 16{\tfrac {2}{3}}}$	${\displaystyle 100}$	${\displaystyle \approx 386.31}$	${\displaystyle 400}$	${\displaystyle 600}$	${\displaystyle 1200}$

ترتبط اللوغاريتمات الطبيعية ارتباطًا وثيقًا بحساب الأعداد الأولية (2، 3، 5، 7، 11، ...)، وهو موضوع مهم في نظرية الأعداد . لأي عدد صحيح x ، يُرمز إلى عدد الأعداد الأولية الأصغر من أو تساوي x بالرمز π ( x ) . تنص نظرية الأعداد الأولية على أن π ( x ) تُعطى تقريبًا بالصيغة التالية: 

$${\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}},}$$

بمعنى أن نسبة π ( x ) إلى ذلك الكسر تقترب من 1 عندما يؤول x إلى اللانهاية. ^{[ 90 ]} ونتيجة لذلك، فإن احتمال أن يكون عددٌ مختارٌ عشوائيًا بين 1 و x عددًا أوليًا يتناسب عكسيًا مع عدد الأرقام العشرية لـ x . ويُعطى تقديرٌ أدق بكثير لـ π ( x ) بواسطة دالة التكامل اللوغاريتمي المُزاحة Li( x ) ، المعرفة بـ

$${\displaystyle \mathrm {Li} (x)=\int _{2}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt.}$$

يمكن صياغة فرضية ريمان ، وهي إحدى أقدم التخمينات الرياضية المفتوحة ، من خلال مقارنة π ( x ) و Li( x ) . ^{[ 91 ]} كما تتضمن نظرية إردوش-كاك التي تصف عدد العوامل الأولية المختلفة اللوغاريتم الطبيعي .

يُعطى لوغاريتم مضروب العدد n ، حيث n ! = 1 · 2 · ... · n ، بالصيغة التالية:

$${\displaystyle \ln(n!)=\ln(1)+\ln(2)+\cdots +\ln(n).}$$

يمكن استخدام هذا للحصول على صيغة ستيرلينغ ، وهي تقريب لـ n ! لقيم n الكبيرة . ^{[ 92 ]}

جميع الأعداد المركبة a التي تحل المعادلة

$${\displaystyle e^{a}=z}$$

تُسمى هذه اللوغاريتمات باللوغاريتمات المركبة للعدد z ، عندما يكون z عددًا مركبًا. يُكتب العدد المركب عادةً على الصورة z = x + iy ، حيث x و y عددان حقيقيان، و i وحدة تخيلية ، مربعها يساوي -1. يمكن تمثيل هذا العدد بنقطة في المستوى المركب ، كما هو موضح على اليمين. يُمثل الشكل القطبي العدد المركب غير الصفري z بقيمته المطلقة ، أي المسافة (الموجبة، الحقيقية) r إلى نقطة الأصل ، والزاوية المحصورة بين المحور الحقيقي ( x ) Re والخط المار بكل من نقطة الأصل و z . تُسمى هذه الزاوية بـ " سعة " z .   

القيمة المطلقة r لـ z تُعطى بالعلاقة التالية:

$${\displaystyle \textstyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}$$

باستخدام التفسير الهندسي للجيب وجيب التمام ودوريتهما في 2π ، يمكن الإشارة إلى أي عدد مركب z على النحو التالي: 

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=x+iy\\&=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )\\&=r(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )),\end{aligned}}}$$

لأي عدد صحيح k . من الواضح أن وسيط z غير محدد بشكل فريد: فكل من φ و φ' = φ + 2kπ وسيطان صالحان لـ z لجميع الأعداد الصحيحة k ، لأن إضافة 2kπ راديان أو k ⋅360° ^{[ ملاحظة 6 ]} إلى φ يُقابل "الالتفاف" حول نقطة الأصل عكس اتجاه عقارب الساعة بمقدار k دورة . العدد المركب الناتج هو دائمًا z ، كما هو موضح على اليمين لـ k = 1. يمكن اختيار وسيط واحد فقط من الوسائط الممكنة لـ z ليكون ما يُسمى بالوسيط الرئيسي ، ويُرمز له بـ Arg( z ) ، بحرف A كبير ، وذلك باشتراط أن ينتمي φ إلى دورة واحدة مختارة بشكل ملائم، على سبيل المثال ^−π < φ ≤ π [ 93 ^{] أو} 0 ≤ φ < 2π . ^{[ 94 ]} تسمى هذه المناطق، حيث يتم تحديد وسيط z بشكل فريد، فروع دالة الوسيط.     

تربط صيغة أويلر الدوال المثلثية الجيب وجيب التمام بالدالة الأسية المركبة : $${\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi .}$$

باستخدام هذه الصيغة، ومع مراعاة الدورية مرة أخرى، تتحقق الهويات التالية: ^{[ 95 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}z&=r\left(\cos \varphi +i\sin \varphi \right)\\&=r\left(\cos(\varphi +2k\pi )+i\sin(\varphi +2k\pi )\right)\\&=re^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)}e^{i(\varphi +2k\pi )}\\&=e^{\ln(r)+i(\varphi +2k\pi )}=e^{a_{k}},\end{aligned}}}$$

حيث ln( r ) هو اللوغاريتم الطبيعي الحقيقي الوحيد، و a _{_k} ترمز إلى اللوغاريتمات المركبة لـ z ، و k عدد صحيح اختياري. بالتالي، فإن اللوغاريتمات المركبة لـ z ، وهي جميع القيم المركبة a _{_k} التي يكون عندها الأس a _{_k} لـ e مساويًا لـ z ، هي عدد لا نهائي من القيم.

$${\displaystyle a_{k}=\ln(r)+i(\varphi +2k\pi ),}$$

لأي عدد صحيح k .

باختيار قيمة k بحيث يكون φ + 2kπ ضمن الفترة المحددة للوسائط الرئيسية، يُطلق على _k اسم القيمة الرئيسية للوغاريتم، ويُرمز لها بـ Log( z ) ، مع كتابة الحرف L كبيرًا . الوسيط الرئيسي لأي عدد حقيقي موجب x هو صفر؛ لذا فإن Log( x ) عدد حقيقي ويساوي اللوغاريتم الطبيعي. مع ذلك، فإن الصيغ المذكورة أعلاه للوغاريتمات الضرب والقوى لا تُعمم على القيمة الرئيسية للوغاريتم المركب. ^{[ 96 ]}  

يوضح الرسم التوضيحي على اليمين دالة لوغاريتم ( z ) ، حيث تُحصر وسيطات z في الفترة (−π, π ) . وبهذه الطريقة، يحتوي الفرع المقابل للوغاريتم المركب على انقطاعات على طول المحور الحقيقي السالب x  ، وهو ما يمكن ملاحظته في تغير اللون. ينشأ هذا الانقطاع من الانتقال إلى الحد الآخر في نفس الفرع عند عبور حد ما، أي عدم الانتقال إلى قيمة k المقابلة للفرع المجاور المتصل. يُسمى هذا المسار قطع الفرع . يؤدي حذف قيود النطاق على الوسيط إلى جعل العلاقة "وسيط z "، وبالتالي "لوغاريتم z "، دوال متعددة القيم .

تُستخدم عملية الأسس في العديد من فروع الرياضيات، ويُشار إلى دالتها العكسية غالبًا باسم اللوغاريتم. على سبيل المثال، لوغاريتم المصفوفة هو الدالة العكسية (متعددة القيم) للدالة الأسية للمصفوفة . ^{[ 97 ]} مثال آخر هو اللوغاريتم p -adic ، وهو الدالة العكسية للدالة الأسية p -adic . يُعرَّف كلاهما باستخدام متسلسلة تايلور، على غرار الحالة الحقيقية. ^{[ 98 ]} في سياق الهندسة التفاضلية ، تُحوِّل الدالة الأسية الفضاء المماسي عند نقطة ما على متشعب إلى جوار تلك النقطة. ويُطلق على معكوسها أيضًا اسم الدالة اللوغاريتمية (أو log). ^{[ 99 ]}

في سياق المجموعات المنتهية، يُعطى الأس بضرب عنصر المجموعة b بنفسه بشكل متكرر. أما اللوغاريتم المتقطع فهو العدد الصحيح n الذي يحل المعادلة  

$${\displaystyle b^{n}=x,}$$

حيث x عنصر من عناصر المجموعة. يمكن إجراء عملية الأس بكفاءة، ولكن يُعتقد أن حساب اللوغاريتم المتقطع صعب للغاية في بعض المجموعات. لهذا التباين تطبيقات مهمة في التشفير بالمفتاح العام ، كما هو الحال في تبادل مفاتيح ديفي-هيلمان ، وهي آلية تسمح بتبادل مفاتيح التشفير بشكل آمن عبر قنوات معلومات غير آمنة. ^{[ 100 ]} يرتبط لوغاريتم زيك باللوغاريتم المتقطع في المجموعة الضربية للعناصر غير الصفرية في حقل منتهٍ . ^{[ 101 ]}

تشمل الدوال العكسية الأخرى الشبيهة باللوغاريتم اللوغاريتم المزدوج ln(ln( x )) ، واللوغاريتم الفائق أو اللوغاريتم الفائق من الرتبة الرابعة (والذي يُطلق على أحد أشكاله اسم اللوغاريتم المتكرر في علوم الحاسوب)، ودالة لامبرت W ، ودالة اللوجيت . وهي الدوال العكسية للدالة الأسية المزدوجة ، والتكرار ، والدالة f ( w ) = we ^w ، ^{[ 102 ]} ، والدالة اللوجستية ، على التوالي. ^{[ 103 ]} 

من منظور نظرية الزمر ، تُعبّر المتطابقة log( cd ) = log( c ) + log( d ) عن تماثل زمر بين الأعداد الحقيقية الموجبة تحت الضرب والأعداد الحقيقية تحت الجمع. الدوال اللوغاريتمية هي التماثلات المستمرة الوحيدة بين هذه الزمر. ^{[ 104 ]} وبواسطة هذا التماثل، يتطابق مقياس هار ( مقياس ليبيغ ) dx على الأعداد الحقيقية مع مقياس هار dx / x على الأعداد الحقيقية الموجبة. ^{[ 105 ]} لا تقتصر الأعداد الحقيقية غير السالبة على الضرب فحسب، بل تشمل الجمع أيضًا، وتشكل شبه حلقة تُسمى شبه حلقة الاحتمال ؛ وهي في الواقع شبه حقل . ثم يُحوّل اللوغاريتم الضرب إلى جمع (الضرب اللوغاريتمي)، ويُحوّل الجمع إلى جمع لوغاريتمي ( LogSumExp )، مما يُعطي تماثلًا بين أنصاف الحلقات بين شبه حلقة الاحتمال وشبه حلقة اللوغاريتم .  

 تظهر الأشكال التفاضلية اللوغاريتمية من الدرجة الأولى df / f في التحليل المركب والهندسة الجبرية كأشكال تفاضلية ذات أقطاب لوغاريتمية . ^{[ 106 ]}

الدالة متعددة اللوغاريتمات هي الدالة المعرفة بواسطة

$${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{z^{k} \over k^{s}}.}$$

يرتبط هذا باللوغاريتم الطبيعي بالعلاقة Li ₁ ( z ) = −ln(1 − z ) . علاوة على ذلك، فإن Li _s (1) يساوي دالة زيتا لريمان ζ( s ) . ^{[ 107 ]}