حلقة قريبة

في الرياضيات ، الحلقة شبه الحلقية ( أو شبه الحلقة ) هي بنية جبرية تشبه الحلقة ولكنها تحقق عددًا أقل من البديهيات . تنشأ الحلقات شبه الحلقية بشكل طبيعي من الدوال على الزمر .

تُسمى المجموعة N مع عمليتين ثنائيتين + (تسمى الجمع ) و ⋅ (تسمى الضرب ) حلقة شبه يمنى إذا:

• N هي مجموعة (ليست بالضرورة تبديلية ) تحت عملية الجمع؛
• الضرب عملية تجميعية (لذا فإن N هي شبه زمرة تحت الضرب)؛ و
• يتوزع الضرب على اليمين على الجمع: لأي x و y و z في N ، يكون ( x + y ) ⋅ z = ( x ⋅ z ) + ( y ⋅ z ). ^{[ 1 ]}

وبالمثل، يمكن تعريف حلقة شبه يسارية باستبدال قانون التوزيع الأيمن بقانون التوزيع الأيسر المقابل. وتظهر كلتا الحلقتين الشبه يمينية ويسارية في المراجع؛ فعلى سبيل المثال، يستخدم كتاب بيلز ^{[ 2 ]} حلقات شبه يمينية، بينما يستخدم كتاب كلاي ^{[ 3 ]} حلقات شبه يسارية.

من النتائج المباشرة لقانون التوزيع أحادي الجانب هذا أن 0 × x = 0 صحيح، ولكن ليس بالضرورة أن x × 0 = 0 لأي x في N. ومن النتائج المباشرة الأخرى أن ( -x ) × y = - ( x × y ) لأي x و y في N ، ولكن ليس بالضرورة أن x × ( -y ) = - ( x × y ). تُسمى الحلقة شبه الدائرية حلقة دائرية إذا وفقط إذا كانت عملية الجمع تبديلية، وكانت عملية الضرب أيضًا توزيعية على الجمع من اليسار . إذا كانت الحلقة شبه الدائرية تحتوي على عنصر محايد ضربي، فإن التوزيعية على كلا الجانبين كافية، ويتبع ذلك تلقائيًا تبديلية الجمع.

ليكن G زمرة، مكتوبة بطريقة جمعية ولكن ليس بالضرورة أن تكون تبديلية ، وليكن M ( G ) المجموعة { f | f  : G → G } لجميع الدوال من G إلى G. يمكن تعريف عملية جمع على M ( G ): إذا كان لدينا f و g في M ( G )، فإن التطبيق f + g من G إلى G يُعطى بالعلاقة ( f + g )( x ) = f ( x ) + g ( x ) لكل x في G. عندئذٍ، تكون ( M ( G ), +) أيضًا زمرة، وهي تبديلية إذا وفقط إذا كانت G تبديلية. بأخذ تركيب التطبيقات كحاصل ضرب ⋅، تصبح M ( G ) شبه حلقة.   

العنصر الصفري في الحلقة شبه الكاملة M ( G ) هو الدالة الصفرية ، أي الدالة التي تُحوّل كل عنصر من G إلى العنصر المحايد في G. ويتطابق المعكوس الجمعي -f للدالة f في M ( G ) مع التعريف الطبيعي النقطي ، أي أن ( -f ) ( x ) = -( f ( x )) لكل x في G. 

إذا احتوت المجموعة G على عنصرين على الأقل، فإن M ( G ) ليست حلقة، حتى لو كانت G تبديلية. (لنفترض وجود دالة ثابتة g من G إلى عنصر ثابت g ≠ 0 من G ؛ عندئذٍ g ⋅ 0 = g ≠ 0 ). مع ذلك، توجد مجموعة جزئية E ( G ) من M ( G ) تتكون من جميع تشاكلات المجموعة G ، أي جميع الدوال f  : G → G بحيث يكون f ( x + y ) = f ( x ) + f ( y ) لكل x و y في G. إذا كانت ( G , +) تبديلية، فإن كلا عمليتي شبه الحلقة على M ( G ) تكونان مغلقتين على E ( G )، وتكون ( E ( G ), +, ⋅) حلقة. إذا كانت ( G , +) غير تبديلية، فإن E ( G ) ليست مغلقة عمومًا تحت عمليتي شبه الحلقة؛ لكن إغلاق E ( G ) تحت عمليتي شبه الحلقة هو شبه حلقة. 

تشكل العديد من المجموعات الجزئية من M ( G ) حلقات شبهية مثيرة للاهتمام ومفيدة. على سبيل المثال: ^{[ 1 ]}

• الدوال التي تحقق f (0) = 0 .
• التعيينات الثابتة، أي تلك التي تربط كل عنصر من عناصر المجموعة بعنصر ثابت واحد.
• مجموعة التطبيقات الناتجة عن الجمع والنفي من التشكلات الداخلية للمجموعة (الإغلاق الجمعي لمجموعة التشكلات الداخلية). إذا كانت G تبديلية، فإن مجموعة التشكلات الداخلية تكون مغلقة جمعيًا بالفعل، وبالتالي فإن الإغلاق الجمعي هو ببساطة مجموعة التشكلات الداخلية لـ G ، وهو لا يشكل حلقة شبهية فحسب، بل حلقة كاملة.

تظهر أمثلة أخرى إذا كانت للمجموعة بنية إضافية، على سبيل المثال:

• التطبيقات المتصلة في مجموعة طوبولوجية .
• الدوال متعددة الحدود على حلقة ذات عنصر محايد تحت الجمع وتركيب متعدد الحدود.
• الخرائط الأفينية في فضاء متجهي .

كل حلقة شبه متماثلة مع حلقة شبه فرعية من M ( G ) لبعض G .

تتضمن العديد من التطبيقات فئة فرعية من الحلقات القريبة تُعرف باسم الحقول القريبة ؛ للاطلاع على هذه التطبيقات، انظر المقالة الخاصة بالحقول القريبة.

هناك تطبيقات متنوعة للحلقات القريبة المناسبة، أي تلك التي ليست حلقات ولا مجالات قريبة.

أشهرها تصميمات الكتل غير المكتملة المتوازنة ^{[ 2 ]} باستخدام الحلقات شبه المستوية. وهي طريقة للحصول على عائلات الفرق باستخدام مدارات مجموعة التشاكل الذاتي الخالية من النقاط الثابتة لمجموعة ما. وقد وسّع جيمس ر. كلاي وآخرون هذه الأفكار لتشمل إنشاءات هندسية أكثر عمومية. ^{[ 3 ]}

• المجال القريب (الرياضيات)
• شبه حلقي
• شبه متماثل

• سيليستينا كوتي فيريرو؛ جيوفاني فيريرو (2002). حلقات التقارب: بعض التطورات المرتبطة بأنصاف المجموعات والمجموعات . دار نشر كلوير الأكاديمية. ISBN 978-1-4613-0267-4.

• الصفحة الرئيسية للحلقة القريبة في جامعة يوهانس كيبلر في لينز