الملكية الترابطية

في منطق القضايا القياسي القائم على وظائف الصدق، يُعدّ كلٌّ من التجميع ^{[ 4 ] [ 5 ]} أو الترابطية ^{[ 6 ]} قاعدتين صحيحتين للاستبدال . تسمح هاتان القاعدتان بنقل الأقواس في التعبيرات المنطقية ضمن البراهين المنطقية . وهاتان القاعدتان (باستخدام ترميز الروابط المنطقية ) هما:

$${\displaystyle (P\lor (Q\lor R))\Leftrightarrow ((P\lor Q)\lor R)}$$

و

$${\displaystyle (P\land (Q\land R))\Leftrightarrow ((P\land Q)\land R),}$$

أين "${\displaystyle \Leftrightarrow }$" هو رمز ميتالوجيكي يمثل "يمكن استبداله في البرهان بـ".

خاصية التجميع هي إحدى خصائص بعض الروابط المنطقية في منطق القضايا الصادق . تُبيّن المكافئات المنطقية التالية أن خاصية التجميع هي إحدى خصائص روابط معينة. ما يلي (وعكسها، لأن ↔ تبديلي) هي عبارات صحيحة منطقية .

خاصية الترابط في الانفصال

${\displaystyle ((P\lor Q)\lor R)\leftrightarrow (P\lor (Q\lor R))}$

خاصية التجميع في الاقتران

${\displaystyle ((P\land Q)\land R)\leftrightarrow (P\land (Q\land R))}$

خاصية التكافؤ التجميعية

${\displaystyle ((P\leftrightarrow Q)\leftrightarrow R)\leftrightarrow (P\leftrightarrow (Q\leftrightarrow R))}$

يُعد الإنكار المشترك مثالاً على رابط وظيفي حقيقي غير ترابطي .

في الرياضيات، تُعتبر عمليتا جمع وضرب الأعداد الحقيقية عمليتين تجميعيتين. في المقابل، في علوم الحاسوب، لا تُعتبر عمليتا جمع وضرب الأعداد العشرية عمليتين تجميعيتين، إذ قد تحدث أخطاء تقريب مختلفة عند جمع قيم ذات أحجام متباينة بترتيب مختلف. ^{[ 7 ]}

ولتوضيح ذلك، لنفترض تمثيلًا بنظام الفاصلة العائمة مع جزء ذي دلالة مكون من 4 بتات :

على الرغم من أن معظم الحواسيب تُجري العمليات الحسابية باستخدام 24 أو 53 بتًا من الجزء الكسري، ^{[ 8 ]} إلا أن هذا لا يزال مصدرًا مهمًا لأخطاء التقريب، وتُعدّ طرقٌ مثل خوارزمية جمع كاهان من الوسائل المُستخدمة لتقليل هذه الأخطاء. وقد يُصبح هذا الأمر إشكاليًا بشكل خاص في الحوسبة المتوازية. ^{[ 9 ] [ 10 ]}

بشكل عام، يجب استخدام الأقواس للإشارة إلى ترتيب التقييم إذا ظهرت عملية غير تجميعية أكثر من مرة في التعبير (إلا إذا حددت الصيغة الترتيب بطريقة أخرى، مثل${\displaystyle {\dfrac {2}{3/4}}}$ومع ذلك، يتفق علماء الرياضيات على ترتيب معين لتقييم العديد من العمليات غير التجميعية الشائعة. وهذا مجرد اصطلاح تدويني لتجنب استخدام الأقواس.

العملية التجميعية اليسرى هي عملية غير تجميعية يتم تقييمها عادةً من اليسار إلى اليمين، أي

$${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}a*b*c=(a*b)*c\\a*b*c*d=((a*b)*c)*d\\a*b*c*d*e=(((a*b)*c)*d)*e\quad \\{\mbox{etc.}}\end{array}}\right\}{\mbox{for all }}a,b,c,d,e\in S}$$

بينما يتم تقييم عملية التجميع اليميني عادةً من اليمين إلى اليسار:

$${\displaystyle \left.{\begin{array}{l}x*y*z=x*(y*z)\\w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\v*w*x*y*z=v*(w*(x*(y*z)))\quad \\{\mbox{etc.}}\end{array}}\right\}{\mbox{for all }}z,y,x,w,v\in S}$$

تحدث عمليات التجميع من اليسار وعمليات التجميع من اليمين. تشمل عمليات التجميع من اليسار ما يلي:

طرح وقسمة الأعداد الحقيقية ^{[ 11 ] [ 12 ] [ 13 ] [ 14 ] [ 15 ]}

${\displaystyle x-y-z=(x-y)-z}$

${\displaystyle x/y/z=(x/y)/z}$

تطبيق الوظيفة

${\displaystyle (f\,x\,y)=((f\,x)\,y)}$

يمكن تبرير هذه الصيغة من خلال التماثل الجزئي ، الذي يتيح التطبيق الجزئي.

تشمل العمليات التجميعية اليمنى ما يلي:

كتابة الأسس للأعداد الحقيقية باستخدام الترميز العلوي

${\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}}$

تُستخدم عملية الأسس عادةً مع الأقواس أو بطريقة التجميع من اليمين، لأن عملية الأسس المتكررة من اليسار قليلة الفائدة. ويمكن إعادة كتابة الأسس المتكررة في الغالب باستخدام الضرب.

${\displaystyle (x^{y})^{z}=x^{(yz)}}$

عند تنسيقها بشكل صحيح، تتصرف الكتابة المرتفعة بشكل طبيعي كمجموعة من الأقواس؛ على سبيل المثال في التعبير${\displaystyle 2^{x+3}}$يتم إجراء عملية الجمع قبل عملية الأس على الرغم من عدم وجود أقواس صريحة${\displaystyle 2^{(x+3)}}$ملفوفة حولها. وبالتالي، يُعطى تعبير مثل${\displaystyle x^{y^{z}}}$، الأس الكامل${\displaystyle y^{z}}$من القاعدة${\displaystyle x}$يتم تقييمها أولاً. ومع ذلك، في بعض السياقات، وخاصة في الكتابة اليدوية، يكون الفرق بين${\displaystyle {x^{y}}^{z}=(x^{y})^{z}}$،${\displaystyle x^{yz}=x^{(yz)}}$و${\displaystyle x^{y^{z}}=x^{(y^{z})}}$قد يصعب رؤيتها. في مثل هذه الحالة، يُفترض عادةً وجود خاصية التجميع من اليمين.

تعريف الدالة

${\displaystyle \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} =\mathbb {Z} \rightarrow (\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {Z} )}$

${\displaystyle x\mapsto y\mapsto x-y=x\mapsto (y\mapsto x-y)}$

يمكن تبرير استخدام الترميز التجميعي الأيمن لهذه العمليات من خلال تطابق كاري-هوارد ومن خلال تماثل الكاري .

تشمل العمليات غير الترابطية التي لا يوجد لها ترتيب تقييم تقليدي ما يلي.

رفع الأعداد الحقيقية إلى الأسس باستخدام الترميز الوسطي ^{[ 16 ]}

${\displaystyle (x^{\wedge }y)^{\wedge }z\neq x^{\wedge }(y^{\wedge }z)}$

عوامل الأسهم لأعلى عند كنوت

${\displaystyle a\uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow c}$

${\displaystyle a\uparrow \uparrow \uparrow (b\uparrow \uparrow \uparrow c)\neq (a\uparrow \uparrow \uparrow b)\uparrow \uparrow \uparrow c}$

أخذ الضرب الاتجاهي لثلاثة متجهات

${\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})\neq ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\times {\vec {c}}\qquad {\mbox{ for some }}{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\in \mathbb {R} ^{3}}$

حساب المتوسط ​​الزوجي للأعداد الحقيقية

${\displaystyle {(x+y)/2+z \over 2}\neq {x+(y+z)/2 \over 2}\qquad {\mbox{for all }}x,y,z\in \mathbb {R} {\mbox{ with }}x\neq z.}$

أخذ المتمم النسبي للمجموعات

${\displaystyle (A\backslash B)\backslash C\neq A\backslash (B\backslash C)}$.

(قارن عدم الاستلزام المادي في المنطق.)