شكل ثنائي الخطية متدهور

في الرياضيات ، وتحديداً في الجبر الخطي ، شكل ثنائي الخطية متدهور${\displaystyle f(x,y)}$في فضاء متجهي${\displaystyle V}$هي صيغة ثنائية الخطية بحيث يكون التطبيق من${\displaystyle V}$ل${\displaystyle V^{*}}$( الفضاء المزدوج لـ${\displaystyle V}$) معطى بواسطة${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$له نواة غير تافهة ، أي يوجد عدد غير صفري.${\displaystyle x}$في${\displaystyle V}$بحيث${\displaystyle f(x,y)=0}$للجميع${\displaystyle y\in V}$.

تعريف مكافئ عندما${\displaystyle V}$إن كون الدالة ذات أبعاد محدودة يعني أن الدالة السابقة ليست تماثلاً .

الشكل غير المنحط أو غير المفرد هو شكل ثنائي الخطية غير منحل، بمعنى أن${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$ يكون تماثلاً ، أو ما يعادله في الأبعاد المحدودة، إذا وفقط إذا ^{[ 1 ]}

${\displaystyle f(x,y)=0}$للجميع${\displaystyle y\in V}$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle x=0}$.

إذا كانت V ذات أبعاد منتهية، فإن الشكل الثنائي الخطي ، بالنسبة إلى أساس معين لـ V ، يكون منحلاً إذا وفقط إذا كان محدد المصفوفة المرتبطة به يساوي صفرًا - أي إذا وفقط إذا كانت المصفوفة منفردة ، وبالتالي تُسمى الأشكال المنحلة أيضًا بالأشكال المنفردة . وبالمثل، فإن الشكل غير المنحل هو الشكل الذي تكون فيه المصفوفة المرتبطة به غير منفردة ، وبالتالي تُسمى الأشكال غير المنحلة أيضًا بالأشكال غير المنفردة . هذه العبارات مستقلة عن الأساس المختار.

إذا كان للصيغة التربيعية Q متجه غير صفري v ∈ V بحيث Q ( v ) = 0، فإن Q صيغة تربيعية متناحية . أما إذا كانت Q تحمل نفس الإشارة لجميع المتجهات غير الصفرية، فهي صيغة تربيعية محددة أو صيغة تربيعية غير متناحية .

هناك مفهوم وثيق الصلة بالشكل أحادي النمط والاقتران المثالي ؛ يتفق هذان المفهومان على الحقول ولكن ليس على الحلقات العامة .

تُظهر دراسة الجبر التربيعي الحقيقي التمييز بين أنواع الأشكال التربيعية. يُعدّ حاصل الضرب zz * شكلاً تربيعياً لكل من الأعداد المركبة ، والأعداد المركبة المنقسمة ، والأعداد الثنائية . بالنسبة لـ z = x + εy ، فإن الشكل الثنائي هو x² ، وهو شكل تربيعي منحل . ^أما حالة العدد المركب المنقسم فهي شكل متناحٍ، بينما حالة العدد المركب هي شكل محدد.

أهم الأمثلة على الأشكال غير المنحلة هي الضرب الداخلي والأشكال التبسيطية . تُعد الأشكال غير المنحلة المتناظرة تعميمات مهمة للضرب الداخلي، حيث أن كل ما هو مطلوب غالبًا هو أن يكون التطبيق${\displaystyle V\to V^{*}}$أن يكون تماثلاً، وليس إيجابية. على سبيل المثال، المتشعب ذو بنية الضرب الداخلي على فضاءاته المماسية هو متشعب ريماني ، بينما يؤدي تخفيف هذا إلى شكل متناظر غير منحل إلى متشعب شبه ريماني .

لاحظ أنه في فضاء لا نهائي الأبعاد، يمكننا الحصول على شكل ثنائي الخطية ƒ الذي${\displaystyle v\mapsto (x\mapsto f(x,v))}$هي حقنية ولكنها ليست شاملة على${\displaystyle V^{*}}$على سبيل المثال، في فضاء الدوال المتصلة على فترة مغلقة ومحدودة ، يكون الشكل المعطى بواسطة

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=\int \psi (x)\phi (x)\,dx}$

ليست شاملة: على سبيل المثال، دالة ديراك دلتا موجودة في الفضاء الثنائي ولكنها ليست بالشكل المطلوب. من ناحية أخرى، يحقق هذا الشكل الثنائي الخطي

${\displaystyle f(\phi ,\psi )=0}$للجميع${\displaystyle \phi }$يشير ذلك إلى أن${\displaystyle \psi =0\,}$،

وبالتالي فهي غير منحلة. في مثل هذه الحالة، حيث تكون الدالة ƒ أحادية ولكنها ليست (بالضرورة) شاملة، يمكن القول، للتأكيد، أن الدالة ƒ غير منحلة بشكل ضعيف .

إذا انعدمت الدالة f تمامًا على جميع المتجهات، يُقال إنها متحللة كليًا . لأي شكل ثنائي خطي f على V، فإن مجموعة المتجهات

${\displaystyle \{x\in V\mid f(x,y)=0{\mbox{ for all }}y\in V\}}$

يشكل فضاءً جزئياً متدهوراً تماماً من V. يكون التطبيق f غير متدهور إذا وفقط إذا كان هذا الفضاء الجزئي تافهاً.

هندسيًا، يُقابل الخط المتناحي للصيغة التربيعية نقطةً على السطح التربيعي المرتبط بها في الفضاء الإسقاطي . ويكون هذا الخط متناحيًا أيضًا للصيغة الثنائية الخطية إذا وفقط إذا كانت النقطة المقابلة له نقطةً شاذة . وبالتالي، على حقل مغلق جبريًا ، تضمن نظرية هيلبرت للنقاط الصفرية أن الصيغة التربيعية تحتوي دائمًا على خطوط متناحية، بينما تحتوي الصيغة الثنائية الخطية عليها إذا وفقط إذا كان السطح شاذًا.

• فضاء الضرب الداخلي غير المحدد – فضاء المتجهات في التحليل الوظيفي 
• النظام الثنائي – زوج ثنائي من فضاءات المتجهات 
• الصيغة الخطية – دالة خطية من فضاء متجهي إلى حقل الكميات العددية الخاص به