نقطة شاذة من نوع جبري

في مجال الهندسة الجبرية ، تُعرَّف النقطة الشاذة في صنف جبري V بأنها نقطة P "خاصة" (أي شاذة)، بالمعنى الهندسي، حيث قد لا يكون الفضاء المماسي عند هذه النقطة مُعرَّفًا بانتظام. في حالة الأصناف المُعرَّفة على الأعداد الحقيقية ، يُعمِّم هذا المفهوم مفهوم عدم التسطح الموضعي . تُسمى النقطة غير الشاذة في الصنف الجبري منتظمة . أما الصنف الجبري الذي لا يحتوي على نقطة شاذة فيُسمى غير شاذ أو أملس . يُعمَّم هذا المفهوم ليشمل المخططات الملساء في لغة نظرية المخططات الحديثة .

منحنى مستوٍ مُعرَّف بمعادلة ضمنية

${\displaystyle F(x,y)=0,}$

حيث F دالة سلسة يقال إنها شاذة عند نقطة ما إذا كانت متسلسلة تايلور لـ F من الرتبة 2 على الأقل عند هذه النقطة.

والسبب في ذلك هو أنه في حساب التفاضل والتكامل ، يُعرَّف المماس عند النقطة ( x0 , y0 ₎ لمثل هذا المنحنى بالمعادلة التالية _:

${\displaystyle (x-x_{0})F'_{x}(x_{0},y_{0})+(y-y_{0})F'_{y}(x_{0},y_{0})=0,}$

الطرف الأيسر منها هو الحد من الدرجة الأولى في متسلسلة تايلور. وبالتالي، إذا كان هذا الحد يساوي صفرًا، فقد لا يكون المماس مُعرَّفًا بالطريقة القياسية، إما لأنه غير موجود أو لأنه يجب تقديم تعريف خاص له.

بشكل عام بالنسبة للسطح الفائق

${\displaystyle F(x,y,z,\ldots )=0}$

النقاط الشاذة هي تلك التي تتلاشى عندها جميع المشتقات الجزئية في آن واحد. وباعتبار التنوع الجبري العام V هو مجموعة الأصفار المشتركة لعدة كثيرات حدود ، فإن الشرط اللازم لكي تكون النقطة P من V نقطة شاذة هو أن تكون رتبة مصفوفة جاكوبي للمشتقات الجزئية من الرتبة الأولى لكثيرات الحدود عند P أقل من رتبتها عند النقاط الأخرى من التنوع.

تُسمى النقاط غير المنفردة في المتنوع V بالنقاط غير المنفردة أو المنتظمة. ومن الصحيح دائمًا أن جميع النقاط تقريبًا غير منفردة، بمعنى أن النقاط غير المنفردة تُشكل مجموعة مفتوحة وكثيفة في المتنوع ( بالنسبة لطوبولوجيا زاريسكي ، وكذلك بالنسبة للطوبولوجيا المعتادة، في حالة المتنوعات المعرفة على الأعداد المركبة ). ^{[ 1 ]}

في حالة التنوع الحقيقي (أي مجموعة النقاط ذات الإحداثيات الحقيقية لتنوع مُعرَّف بواسطة كثيرات حدود ذات معاملات حقيقية)، يكون التنوع متعدد الشعب بالقرب من كل نقطة منتظمة. لكن التنوع الحقيقي قد يكون متعدد الشعب وله نقاط شاذة. على سبيل المثال، تُعرِّف المعادلة ^y³ + 2x²y - x⁴ = 0 ^متعدد شعب تحليلي حقيقي، ^لكن لها نقطة شاذة عند نقطة الأصل. ^{[ 2 ]} يُمكن تفسير ذلك بالقول إن للمنحنى فرعين مترافقين مُركبين يقطعان الفرع الحقيقي عند نقطة الأصل.

بما أن مفهوم النقاط الشاذة خاصية محلية بحتة، يمكن توسيع التعريف أعلاه ليشمل فئة أوسع من الدوال الملساء (الدوال من M إلى Rⁿ حيث توجد جميع المشتقات). يمكن اختزال تحليل هذه النقاط الشاذة إلى حالة التنوع الجبري من خلال النظر في ^نفاثات الدالة . النفاثة رقم k هي متسلسلة تايلور للدالة بعد اقتطاعها عند الدرجة k وحذف الحد الثابت .

في الهندسة الجبرية الكلاسيكية ، تُسمى بعض النقاط الشاذة الخاصة بالعُقد . والعقدة هي نقطة شاذة تكون فيها مصفوفة هيسيان غير شاذة؛ وهذا يعني أن النقطة الشاذة لها تعدد اثنين وأن المخروط المماس ليس شاذًا خارج رأسه.

• خريطة ميلنور
• حل التفردات
• نظرية التفرد
• فضاء زاريسكي المماسي