معادلة بارامترية

أبسط معادلة للقطع المكافئ ، $${\displaystyle y=x^{2}}$$

يمكن تحديد معلمات (بشكل بسيط) باستخدام معلمة حرة t ، وتعيين $${\displaystyle x=t,y=t^{2}\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .}$$

وبشكل أعم، أي منحنى معطى بمعادلة صريحة $${\displaystyle y=f(x)}$$

يمكن تحديد معلمات (بشكل بسيط) باستخدام معلمة حرة t ، وتعيين $${\displaystyle x=t,y=f(t)\quad \mathrm {for} -\infty <t<\infty .}$$

ومن الأمثلة الأكثر تعقيدًا ما يلي. لنفترض دائرة الوحدة التي تُوصف بالمعادلة العادية (الديكارتية). $${\displaystyle x^{2}+y^{2}=1.}$$

يمكن تمثيل هذه المعادلة بالمعاملات التالية: $${\displaystyle (x,y)=(\cos(t),\;\sin(t))\quad {\text{ لـ }}0\leq t<2\pi .}$$

باستخدام المعادلة الديكارتية، يسهل التحقق مما إذا كانت نقطة ما تقع على الدائرة أم لا. أما باستخدام الصيغة البارامترية، فيسهل الحصول على النقاط على الرسم البياني.

في بعض السياقات، تُفضَّل المعادلات البارامترية التي تتضمن دوالًا كسرية فقط (أي كسورًا من كثيرتي حدود )، إن وُجدت. في حالة الدائرة، يكون هذا النوع من البارامترات الكسرية هو $${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\\[6pt]y&={\frac {2t}{1+t^{2}}}\,.\end{aligned}}}$$

باستخدام هذا الزوج من المعادلات البارامترية، لا يتم تمثيل النقطة (−1، 0) بقيمة حقيقية لـ t ، ولكن بنهاية x و y عندما يؤول t إلى اللانهاية .

يمكن تمثيل القطع الناقص في الوضع القياسي (مركزه نقطة الأصل، ومحوره الرئيسي على طول المحور السيني ) بنصفي محورين a و b بشكل وسيطي كما يلي:$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos t\\y&=b\,\sin t\,.\end{aligned}}}$$

يمكن التعبير عن القطع الناقص في الوضع العام على النحو التالي:$$// {}&&+b\,\sin t\,\cos \varphi \end{alignat}}}$$

عندما يتغير المعامل t من 0 إلى 2π . هنا ( Xc _, Yc ₎ هو مركز القطع الناقص، و φ هي الزاوية بين المحور x والمحور الأكبر للقطع الناقص.

يمكن جعل كلا النموذجين منطقيين باستخدام صيغة نصف الزاوية الظلية وتحديد$\tan {\frac {t}{2}}=u\,.}$

منحنى ليساجو يشبه القطع الناقص، لكن الموجتين الجيبيتين x و y ليستا متوافقتين في الطور. في الوضع القياسي، يُعطى منحنى ليساجو بالصيغة التالية: $${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\,\cos(k_{x}t)\\y&=b\,\sin(k_{y}t)\end{aligned}}}$$ حيث k _x و k _y ثوابت تصف عدد فصوص الشكل.

يمكن تمثيل القطع الزائد المفتوح من الشرق إلى الغرب بشكل وسيطي بواسطة

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\sec t+h\\y&=b\tan t+k\,,\end{aligned}}}$$

أو، بشكل منطقي

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+h\\y&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}}$$

يمكن تمثيل القطع الزائد المفتوح من الشمال إلى الجنوب بشكل وسيطي كما يلي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b\tan t+h\\y&=a\sec t+k\,,\end{aligned}}}$$

أو، بشكل منطقي

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=b{\frac {2t}{1-t^{2}}}+h\\y&=a{\frac {1+t^{2}}{1-t^{2}}}+k\,.\end{aligned}}}$$

في جميع هذه الصيغ، يُمثل ( h , k ) إحداثيات مركز القطع الزائد، وa طول المحور شبه الأكبر، و b طول المحور شبه الأصغر. لاحظ أنه في الصيغ الكسرية لهذه الصيغ، لا تُمثل النقطتان ( -a , 0) و (0, -a ) على التوالي بقيمة حقيقية لـ t ، بل هما نهاية x و y عندما يؤول t إلى اللانهاية.

المنحنى الهيبوتروكويدي هو منحنى يتم رسمه بواسطة نقطة متصلة بدائرة نصف قطرها r تدور حول الجزء الداخلي من دائرة ثابتة نصف قطرها R ، حيث تكون النقطة على مسافة d من مركز الدائرة الداخلية.

• 
  سطح سفلي يكون فيه r = d
• 
  منحنى هيبتروكويد حيث R = 5 ، r = 3 ، d = 5

المعادلات البارامترية للدوال الهيبوتروكويدية هي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x(\theta )&=(Rr)\cos \theta +d\cos \left({Rr \over r}\theta \right)\\y(\theta )&=(Rr)\sin \theta -d\sin \left({Rr \over r}\theta \right)\,.\end{محاذاة}}}$$

بعض الأمثلة:

• 
  R = 6 r = 4 d = 1
• 
  R = 7 r = 4 d = 1
• 
  R = 8 r = 3 d = 2
• 
  R = 7 r = 4 d = 2
• 
  R = 15 r = 14 d = 1

تُعد المعادلات البارامترية ملائمة لوصف المنحنيات في الفضاءات ذات الأبعاد المتعددة. على سبيل المثال:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=a\cos(t)\\y&=a\sin(t)\\z&=bt\,\end{aligned}}}$$

يصف هذا الشكل منحنى ثلاثي الأبعاد، وهو الحلزون ، بنصف قطر a ويرتفع بمقدار 2πb وحدة لكل دورة. وتكون المعادلات في المستوى متطابقة مع معادلات الدائرة. وتُكتب هذه التعبيرات، مثل التعبير أعلاه، عادةً على النحو التالي :

$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&=(x(t),y(t),z(t))\\&=(a\cos(t),a\sin(t),bt)\,,\end{aligned}}}$$

حيث r هو متجه ثلاثي الأبعاد.

يمكن تعريف الطارة ذات نصف القطر الأكبر R ونصف القطر الأصغر r بشكل وسيطي على النحو التالي:

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=\cos(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\y&=\sin(t)\left(R+r\cos(u)\right),\\z&=r\sin(u)\,.\end{aligned}}}$$

حيث يتغير كل من المعاملين t و u بين 0 و 2 π .

• 
  R = 2 ، r = 1/2

عندما تتغير قيمة u من 0 إلى 2π ، تتحرك النقطة على السطح في مسار دائري قصير يمر عبر الفتحة الموجودة في الطارة. وعندما تتغير قيمة t من 0 إلى 2π ، تتحرك النقطة على السطح في مسار دائري طويل حول الفتحة الموجودة في الطارة.

المعادلة البارامترية للخط المار بالنقطة${\displaystyle \left(x_{0},y_{0},z_{0}\right)}$وموازٍ للمتجه${\displaystyle a{\hat {\mathbf {i} }}+b{\hat {\mathbf {j} }}+c{\hat {\mathbf {k} }}}$هو ^{[ 7 ]}

$${\displaystyle {\begin{aligned}x&=x_{0}+at\\y&=y_{0}+bt\\z&=z_{0}+ct\end{aligned}}}$$

في علم الحركة ، تُوصف مسارات الأجسام في الفضاء عادةً بمنحنيات بارامترية، حيث يعتمد كل إحداثي مكاني بشكل صريح على مُعامل مستقل (عادةً الزمن). عند استخدامها بهذه الطريقة، تُشكل مجموعة المعادلات البارامترية لإحداثيات الجسم دالة متجهة للموضع. يمكن بعد ذلك تكامل هذه المنحنيات البارامترية واشتقاقها حدًا حدًا. وبالتالي، إذا وُصف موضع جسيم ما بارامتريًا على النحو التالي: $${\displaystyle \mathbf {r} (t)=(x(t),y(t),z(t))\,,}$$

ويمكن إيجاد سرعته على النحو التالي$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} (t)&=\mathbf {r} '(t)\\&=(x'(t),y'(t),z'(t))\,,\end{aligned}}}$$

وتسارعه كـ ​$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} (t)&=\mathbf {v} '(t)=\mathbf {r} ''(t)\\&=(x''(t),y''(t),z''(t))\,.\end{aligned}}}$$

يُعدّ استخدام المعادلات البارامترية في مجال التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD) استخدامًا مهمًا آخر. ^{[ 8 ]} على سبيل المثال، انظر إلى التمثيلات الثلاثة التالية، والتي تُستخدم جميعها بشكل شائع لوصف المنحنيات المستوية .

يكتب	استمارة	مثال	وصف
صريح	${\displaystyle y=f(x)\,\!}$	${\displaystyle y=mx+b\,\!}$	خط
ضمني	${\displaystyle f(x,y)=0\,\!}$	${\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}}$	دائرة
البارامتري	${\displaystyle x={\frac {g(t)}{w(t)}};\,\!}$${\displaystyle y={\frac {h(t)}{w(t)}}}$	${\displaystyle x=a_{0}+a_{1}t;\,\!}$${\displaystyle y=b_{0}+b_{1}t\,\!}$	خط
		${\displaystyle x=a+r\,\cos t;\,\!}$${\displaystyle y=b+r\,\sin t\,\!}$	دائرة

لكل تمثيل مزايا وعيوب بالنسبة لتطبيقات التصميم بمساعدة الحاسوب (CAD).

قد يكون التمثيل الصريح معقدًا للغاية، أو قد لا يكون موجودًا أصلًا. علاوة على ذلك، لا يتصرف هذا التمثيل بشكل جيد تحت التحويلات الهندسية ، وخاصة الدوران . من ناحية أخرى، بما أنه يمكن استنتاج معادلة وسيطية ومعادلة ضمنية بسهولة من التمثيل الصريح، فعند وجود تمثيل صريح بسيط، فإنه يتمتع بمزايا كلا التمثيلين الآخرين.

قد تُصعّب التمثيلات الضمنية عملية توليد النقاط على المنحنى، بل وحتى تحديد ما إذا كانت هناك نقاط حقيقية. من ناحية أخرى، فهي مناسبة تمامًا لتحديد ما إذا كانت نقطة معينة تقع على منحنى، أو ما إذا كانت داخل منحنى مغلق أو خارجه.

قد تكون مثل هذه القرارات صعبة باستخدام التمثيل البارامتري، لكن التمثيلات البارامترية هي الأنسب لتوليد النقاط على المنحنى، ولرسمه. ^{[ 9 ]}

يمكن حل العديد من مسائل الهندسة العددية باستخدام المعادلات البارامترية. ومن الحلول الكلاسيكية لهذه المعادلات، معادلة إقليدس البارامترية للمثلثات القائمة الزاوية ، حيث تكون أطوال أضلاعها a و b ووترها c أعدادًا صحيحة أولية فيما بينها . ولأن a و b ليسا زوجيين (وإلا لما كانت a و b و c أعدادًا أولية فيما بينها)، يمكن تبديلهما ليصبح a عددًا زوجيًا، فتصبح المعادلة البارامترية حينها

$${\displaystyle {\begin{aligned}a&=2mn\\b&=m^{2}-n^{2}\\c&=m^{2}+n^{2}\,,\end{aligned}}}$$

حيث أن المعاملين m و n هما عددان صحيحان أوليان فيما بينهما موجبان وليسا فرديين.

بضرب a و b و c في عدد صحيح موجب عشوائي، يحصل المرء على معلمات لجميع المثلثات القائمة التي أطوال أضلاعها الثلاثة أعداد صحيحة.