معيار نايكويست للاستقرار

في نظرية التحكم ونظرية الاستقرار ، فإن معيار استقرار نايكويست أو معيار استقرار ستريكر-نايكويست ، الذي اكتشفه بشكل مستقل المهندس الكهربائي الألماني فيليكس ستريكر في شركة سيمنز عام 1930 ^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]} والمهندس الكهربائي السويدي الأمريكي هاري نايكويست في مختبرات بيل للهاتف عام 1932، ^{[ 4 ]} هو أسلوب بياني لتحديد استقرار النظام الديناميكي الخطي .

لأنها تعتمد فقط على مخطط نايكويست للأنظمة ذات الحلقة المفتوحة ، يمكن تطبيقها دون الحاجة إلى حساب أقطاب وأصفار النظام ذي الحلقة المغلقة أو المفتوحة بشكل صريح (مع ضرورة معرفة عدد كل نوع من أنواع نقاط التفرد في النصف الأيمن من المستوى المركب). ونتيجة لذلك، يمكن تطبيقها على الأنظمة المعرفة بدوال غير كسرية ، مثل الأنظمة ذات التأخيرات. وعلى عكس مخططات بود ، يمكنها التعامل مع دوال النقل ذات نقاط التفرد في النصف الأيمن من المستوى المركب. إضافةً إلى ذلك، يوجد تعميم طبيعي لها ليشمل أنظمة أكثر تعقيدًا ذات مدخلات ومخرجات متعددة ، مثل أنظمة التحكم في الطائرات.

يُستخدم معيار نايكويست للاستقرار على نطاق واسع في هندسة الإلكترونيات وأنظمة التحكم ، بالإضافة إلى مجالات أخرى، لتصميم وتحليل الأنظمة ذات التغذية الراجعة . ورغم أن نايكويست يُعدّ من أكثر اختبارات الاستقرار عمومية، إلا أنه لا يزال يقتصر على الأنظمة الخطية الثابتة زمنيًا (LTI). ومع ذلك، توجد تعميمات لمعيار نايكويست (ورسمه البياني) للأنظمة غير الخطية، مثل معيار الدائرة والرسم البياني النسبي المُقاس لمؤثر غير خطي . ^{[ 5 ]} إضافةً إلى ذلك، يمكن تطبيق معايير استقرار أخرى ، مثل طرق ليابونوف، على الأنظمة غير الخطية.

على الرغم من أن مخطط نايكويست هو أسلوب بياني، إلا أنه لا يوفر سوى قدر محدود من الفهم البديهي لأسباب استقرار النظام أو عدم استقراره، أو كيفية تعديل نظام غير مستقر ليصبح مستقرًا. أما تقنيات مثل مخططات بود ، فرغم أنها أقل عمومية، إلا أنها تُعد أحيانًا أداة تصميم أكثر فائدة.

مخطط نايكويست هو رسم بياني بارامتري لاستجابة التردد ، يُستخدم في التحكم الآلي ومعالجة الإشارات . يُستخدم مخطط نايكويست بشكل شائع لتقييم استقرار نظام ذي تغذية راجعة . في الإحداثيات الديكارتية ، يُرسم الجزء الحقيقي من دالة التحويل على المحور السيني ، بينما يُرسم الجزء التخيلي على المحور الصادي . يُمسح التردد كمعامل، مما ينتج عنه نقطة واحدة لكل تردد. يمكن وصف الرسم نفسه باستخدام الإحداثيات القطبية ، حيث يُمثل كسب دالة التحويل الإحداثي القطري، بينما تُمثل طور دالة التحويل الإحداثي الزاوي المقابل. سُمي مخطط نايكويست نسبةً إلى هاري نايكويست ، المهندس السابق في مختبرات بيل .

يُقيّم استقرار نظام التغذية الراجعة السالبة ذي الحلقة المغلقة بتطبيق معيار نايكويست للاستقرار على مخطط نايكويست للنظام ذي الحلقة المفتوحة (أي النظام نفسه بدون حلقة التغذية الراجعة ). هذه الطريقة سهلة التطبيق حتى للأنظمة التي تتضمن تأخيرات ودوال نقل غير نسبية، والتي قد يصعب تحليلها باستخدام طرق أخرى. يُحدد الاستقرار من خلال عدد دورات النظام حول النقطة (-1، 0). ويمكن تحديد نطاق المكاسب الذي يكون النظام مستقرًا عنده من خلال عدد مرات تقاطع النظام مع المحور الحقيقي.

يمكن أن يوفر مخطط نايكويست بعض المعلومات حول شكل دالة التحويل. على سبيل المثال، يوفر المخطط معلومات حول الفرق بين عدد أصفار وأقطاب دالة التحويل ^{[ 6 ]} من خلال الزاوية التي يقترب بها المنحنى من نقطة الأصل.

عند رسم مخطط نايكويست يدويًا، يُستخدم أحيانًا رسمٌ كرتوني يُظهر خطية المنحنى، لكن مع تشويه الإحداثيات لإبراز تفاصيل أكثر في المناطق المهمة. أما عند رسمه حاسوبيًا، فيجب الحرص على تغطية جميع الترددات المطلوبة. وهذا يعني عادةً مسح المعامل لوغاريتميًا لتغطية نطاق واسع من القيم.

تستخدم الرياضيات تحويل لابلاس ، الذي يحول التكاملات والمشتقات في المجال الزمني إلى عمليات ضرب وقسمة بسيطة في المجال الزمني .

نعتبر نظامًا تكون دالة نقله هي${\displaystyle G(s)}$عند وضعها في حلقة مغلقة مع تغذية راجعة سلبية${\displaystyle H(s)}$وبالتالي ، تصبح دالة نقل الحلقة المغلقة (CLTF) كما يلي:

${\displaystyle {\frac {G(s)}{1+G(s)H(s)}}}$

يمكن تحديد الاستقرار من خلال فحص جذور متعددة الحدود لعامل إزالة الحساسية${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$على سبيل المثال، باستخدام مصفوفة راوث ، لكن هذه الطريقة مُرهِقة نوعًا ما. ويمكن أيضًا التوصل إلى استنتاجات من خلال فحص دالة نقل الحلقة المفتوحة (OLTF).${\displaystyle G(s)H(s)}$، باستخدام مخططات بود الخاصة بها أو، كما هو الحال هنا، مخططها القطبي باستخدام معيار نايكويست، على النحو التالي.

أي دالة نقل في مجال لابلاس${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$يمكن التعبير عنها كنسبة بين كثيرتي حدود :

${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)={\frac {N(s)}{D(s)}}.}$

جذور${\displaystyle N(s)}$تُسمى هذه الأصفار بـ${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$وجذور${\displaystyle D(s)}$هما قطبا​${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$أقطاب${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$ويُقال أيضاً إنها جذور المعادلة المميزة${\displaystyle D(s)=0}$.

استقرار${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$يتحدد ذلك بقيم أقطابه: فمن أجل الاستقرار، يجب أن يكون الجزء الحقيقي من كل قطب سالباً. إذا${\displaystyle {\mathcal {T}}(s)}$يتم تشكيلها عن طريق إغلاق حلقة تغذية راجعة سالبة تساوي واحدًا حول دالة النقل ذات الحلقة المفتوحة،

${\displaystyle G(s)H(s)={\frac {A(s)}{B(s)}}}$

عندئذٍ تكون جذور المعادلة المميزة هي أيضاً أصفار${\displaystyle 1+G(s)H(s)}$أو ببساطة جذور${\displaystyle A(s)+B(s)=0}$.

من التحليل المعقد ، مخطط محيطي${\displaystyle \Gamma _{s}}$مرسومة في المجمع${\displaystyle s}$المستوى الذي يشمل أي عدد من أصفار وأقطاب الدالة ولكنه لا يمر بها${\displaystyle F(s)}$يمكن ربطها بمستوى آخر (يسمى${\displaystyle F(s)}$المستوى) بواسطة الدالة${\displaystyle F}$. تحديداً، كل نقطة معقدة${\displaystyle s}$في المحيط${\displaystyle \Gamma _{s}}$يتم رسم الخريطة إلى النقطة ${\displaystyle F(s)}$في الجديد${\displaystyle F(s)}$مستوى ينتج عنه محيط جديد.

مخطط نايكويست لـ${\displaystyle F(s)}$وهو المحيط${\displaystyle \Gamma _{F(s)}=F(\Gamma _{s})}$سوف يحيط بالنقطة${\displaystyle s={-1/k+j0}}$التابع${\displaystyle F(s)}$طائرة${\displaystyle N}$الأوقات، حيث${\displaystyle N=P-Z}$بحسب مبدأ كوشي في الحجة . هنا${\displaystyle Z}$و${\displaystyle P}$وهي، على التوالي، عدد الأصفار في${\displaystyle 1+kF(s)}$وأقطاب${\displaystyle F(s)}$داخل المحيط${\displaystyle \Gamma _{s}}$لاحظ أننا نحسب عمليات التطويق في${\displaystyle F(s)}$مستوى بنفس معنى الكفاف${\displaystyle \Gamma _{s}}$وأنّ الدوران في الاتجاه المعاكس هو دوران سالب . أي أننا نعتبر الدوران باتجاه عقارب الساعة موجباً، والدوران عكس اتجاه عقارب الساعة سالباً.

بدلاً من مبدأ كوشي، تستخدم الورقة البحثية الأصلية لهاري نيكويست عام ١٩٣٢ منهجًا أقل أناقة. المنهج الموضح هنا مشابه للمنهج الذي استخدمه ليروي ماكول (النظرية الأساسية للآليات المؤازرة، ١٩٤٥) أو هندريك بود (تحليل الشبكات وتصميم مضخمات التغذية الراجعة، ١٩٤٥)، وكلاهما عملا في مختبرات بيل . يظهر هذا المنهج في معظم الكتب الدراسية الحديثة في نظرية التحكم.

نقوم أولاً بإنشاء منحنى نايكويست ، وهو منحنى يشمل النصف الأيمن من المستوى المركب:

• مسار يؤدي إلى أعلى${\displaystyle j\omega }$المحور، من${\displaystyle 0-j\infty }$ل${\displaystyle 0+j\infty }$.
• قوس نصف دائري، بنصف قطر${\displaystyle r\to \infty }$، ويبدأ ذلك عند${\displaystyle 0+j\infty }$ويتحرك باتجاه عقارب الساعة إلى${\displaystyle 0-j\infty }$.

تم رسم منحنى نايكويست من خلال الدالة${\displaystyle 1+G(s)}$ينتج عن ذلك رسم بياني لـ${\displaystyle 1+G(s)}$في المستوى المركب. وبحسب مبدأ الحجة، فإن عدد الدورات باتجاه عقارب الساعة حول نقطة الأصل يجب أن يكون عدد أصفار${\displaystyle 1+G(s)}$في النصف الأيمن من المستوى المركب مطروحًا منه عدد أقطاب${\displaystyle 1+G(s)}$في النصف الأيمن من المستوى المركب. أما إذا تم رسم المحيط من خلال دالة النقل ذات الحلقة المفتوحة،${\displaystyle G(s)}$والنتيجة هي مخطط نايكويست لـ${\displaystyle G(s)}$بحساب عدد دورات المحيط الناتج التي تساوي -1، نجد الفرق بين عدد الأقطاب والأصفار في النصف الأيمن من المستوى المركب لـ${\displaystyle 1+G(s)}$مع الأخذ في الاعتبار أن أصفار${\displaystyle 1+G(s)}$تمثل هذه الأقطاب أقطاب النظام ذي الحلقة المغلقة، مع ملاحظة أن أقطاب${\displaystyle 1+G(s)}$هي نفسها أقطاب${\displaystyle G(s)}$والآن نذكر معيار نايكويست :

بالنظر إلى منحنى نايكويست${\displaystyle \Gamma _{s}}$، يترك${\displaystyle P}$ليكن عدد أقطاب${\displaystyle G(s)}$محاطة بـ${\displaystyle \Gamma _{s}}$، و${\displaystyle Z}$ليكن عدد الأصفار في${\displaystyle 1+G(s)}$محاطة بـ${\displaystyle \Gamma _{s}}$أو، والأهم من ذلك، إذا${\displaystyle Z}$يمثل عدد أقطاب نظام الحلقة المغلقة في النصف الأيمن من المستوى المركب، و${\displaystyle P}$يمثل عدد أقطاب دالة التحويل ذات الحلقة المفتوحة${\displaystyle G(s)}$في النصف الأيمن من المستوى، يكون المحيط الناتج في${\displaystyle G(s)}$-طائرة،${\displaystyle \Gamma _{G(s)}}$يجب أن يحيط (باتجاه عقارب الساعة) بالنقطة${\displaystyle (-1+j0)}$${\displaystyle N}$أوقات من هذا القبيل${\displaystyle N=Z-P}$.

إذا كان النظام غير مستقر في الأصل في حالة الحلقة المفتوحة، فإن التغذية الراجعة ضرورية لتحقيق استقراره. تمثل أقطاب النصف الأيمن من المستوى المركب (RHP) حالة عدم الاستقرار هذه. ولضمان استقرار النظام في حالة الحلقة المغلقة، يجب أن يكون عدد جذور الحلقة المغلقة في النصف الأيمن من المستوى المركب s مساويًا للصفر. وبالتالي، فإن عدد الدورات عكس اتجاه عقارب الساعة حول${\displaystyle -1+j0}$يجب أن يساوي عدد أقطاب الحلقة المفتوحة في النصف الأيمن من المستوى المركب. أي دوران باتجاه عقارب الساعة حول النقطة الحرجة بواسطة استجابة تردد الحلقة المفتوحة (عند تقييمها من التردد المنخفض إلى التردد العالي) يشير إلى أن نظام التحكم بالتغذية الراجعة سيكون غير مستقر إذا تم إغلاق الحلقة. (استخدام أصفار النصف الأيمن من المستوى المركب لإلغاء أقطاب النصف الأيمن لا يزيل عدم الاستقرار، بل يضمن بقاء النظام غير مستقر حتى في وجود التغذية الراجعة، لأن جذور الحلقة المغلقة تنتقل بين أقطاب الحلقة المفتوحة وأصفارها في وجود التغذية الراجعة. في الواقع، يمكن لصفر النصف الأيمن من المستوى المركب أن يجعل القطب غير المستقر غير قابل للملاحظة، وبالتالي غير قابل للاستقرار من خلال التغذية الراجعة).

تم إجراء الاعتبار المذكور أعلاه بافتراض أن دالة التحويل ذات الحلقة المفتوحة${\displaystyle G(s)}$لا يوجد أي قطب على المحور التخيلي (أي أقطاب من الشكل${\displaystyle 0+j\omega }$ينتج هذا عن شرط مبدأ الحجة القائل بأن المسار لا يمكن أن يمر عبر أي قطب من أقطاب دالة التحويل. الحالة الأكثر شيوعًا هي الأنظمة ذات التكاملات (الأقطاب عند الصفر).

لتحليل الأنظمة ذات الأقطاب على المحور التخيلي، يمكن تعديل منحنى نايكويست لتجنب المرور عبر النقطة${\displaystyle 0+j\omega }$إحدى طرق القيام بذلك هي إنشاء قوس نصف دائري بنصف قطر${\displaystyle r\to 0}$حول${\displaystyle 0+j\omega }$، ويبدأ ذلك عند${\displaystyle 0+j(\omega -r)}$ويتحرك عكس اتجاه عقارب الساعة إلى${\displaystyle 0+j(\omega +r)}$هذا التعديل يعني أن الطور${\displaystyle G(s)}$يتحرك على طول قوس نصف قطره لانهائي بواسطة${\displaystyle -l\pi }$، أين${\displaystyle l}$هي تعددية القطب على المحور التخيلي.

هدفنا من خلال هذه العملية هو التحقق من استقرار دالة التحويل لنظام التغذية الراجعة الموحدة لدينا ذي الكسب k ، والتي تُعطى بواسطة

${\displaystyle T(s)={\frac {kG(s)}{1+kG(s)}}}$

أي أننا نرغب في التحقق مما إذا كانت المعادلة المميزة لدالة التحويل المذكورة أعلاه، المعطاة بواسطة

${\displaystyle D(s)=1+kG(s)=0}$

يحتوي على أصفار خارج النصف الأيسر المفتوح من المستوى (يُهيأ عادةً باسم OLHP).

نفترض أن لدينا محيطًا باتجاه عقارب الساعة (أي موجهًا بشكل سلبي)${\displaystyle \Gamma _{s}}$يحيط بالنصف الأيمن من المستوى، مع وجود مسافات بادئة حسب الحاجة لتجنب المرور عبر أصفار أو أقطاب الدالة${\displaystyle G(s)}$ينص مبدأ كوشي في الحجة على أن

${\displaystyle -{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=N=Z-P}$

أين${\displaystyle Z}$يشير إلى عدد الأصفار في${\displaystyle D(s)}$محاطة بالمحيط و${\displaystyle P}$يشير إلى عدد أقطاب${\displaystyle D(s)}$بنفس المحيط. بإعادة الترتيب، نحصل على ${\displaystyle Z=N+P}$وهذا يعني

${\displaystyle Z=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds+P}$

ثم نلاحظ أن${\displaystyle D(s)=1+kG(s)}$له نفس الأقطاب تمامًا مثل${\displaystyle G(s)}$وبالتالي، قد نجد${\displaystyle P}$عن طريق عد أقطاب${\displaystyle G(s)}$التي تظهر داخل المحيط، أي داخل النصف الأيمن المفتوح (ORHP).

سنعيد الآن ترتيب التكامل أعلاه عن طريق التعويض. أي، بوضع${\displaystyle u(s)=D(s)}$لدينا

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{\Gamma _{s}}{D'(s) \over D(s)}\,ds=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du}$

ثم نقوم بإجراء استبدال إضافي، ونضع${\displaystyle v(u)={\frac {u-1}{k}}}$وهذا يعطينا

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{u(\Gamma _{s})}{1 \over u}\,du=-{{1} \over {2\pi i}}\oint _{v(u(\Gamma _{s}))}{1 \over {v+1/k}}\,dv}$

نلاحظ الآن أن${\displaystyle v(u(\Gamma _{s}))={{D(\Gamma _{s})-1} \over {k}}=G(\Gamma _{s})}$يعطينا صورة لمحيطنا تحت${\displaystyle G(s)}$وهذا يعني مخطط نايكويست الخاص بنا . ويمكننا تقليل التكامل بشكل أكبر.

${\displaystyle N=-{\frac {1}{2\pi i}}\oint _{G(\Gamma _{s}))}{\frac {1}{v+1/k}}\,dv}$

بتطبيق صيغة كوشي التكاملية . في الواقع، نجد أن التكامل المذكور أعلاه يتوافق تمامًا مع عدد مرات دوران مخطط نايكويست حول النقطة.${\displaystyle -1/k}$باتجاه عقارب الساعة. وهكذا، يمكننا القول في النهاية أن

${\displaystyle {\begin{aligned}Z={}&N+P\\[6pt]={}&{\text{(number of times the Nyquist plot encircles }}{-1/k}{\text{ clockwise)}}\\&{}+{\text{(number of poles of }}G(s){\text{ in ORHP)}}\end{aligned}}}$

وهكذا نجد أن${\displaystyle T(s)}$يتوافق التعريف أعلاه مع نظام تغذية راجعة موحدة مستقرة عندما${\displaystyle Z}$، كما تم تقييمه أعلاه، يساوي  0.

معيار استقرار نايكويست هو أسلوب بياني يُستخدم لتحديد استقرار نظام ديناميكي، مثل نظام تحكم ذي تغذية راجعة. يعتمد هذا المعيار على مبدأ الوسيط ومخطط نايكويست لدالة التحويل في الحلقة المفتوحة للنظام. ويمكن تطبيقه على الأنظمة التي لا تُعرَّف بدوال كسرية، مثل الأنظمة ذات التأخيرات. كما يمكنه التعامل مع دوال التحويل ذات النقاط الشاذة في النصف الأيمن من المستوى المركب، على عكس مخططات بود. يُستخدم معيار استقرار نايكويست أيضًا لإيجاد هوامش الطور والكسب للنظام، وهي أمور بالغة الأهمية لتصميم وحدات التحكم في مجال التردد . ^{[ 7 ]}

• إذا كانت دالة التحويل ذات الحلقة المفتوحة${\displaystyle G(s)}$له قطب صفري للتعددية${\displaystyle l}$ثم يكون لمخطط نايكويست انقطاع عند${\displaystyle \omega =0}$خلال التحليل اللاحق، ينبغي افتراض أن الطور ينتقل${\displaystyle l}$يتم تدويرها عدة مرات باتجاه عقارب الساعة على طول نصف دائرة نصف قطرها لانهائي. بعد تطبيق هذه القاعدة، يجب إهمال الأقطاب الصفرية، أي إذا لم تكن هناك أقطاب غير مستقرة أخرى، فإن دالة التحويل للحلقة المفتوحة${\displaystyle G(s)}$ينبغي اعتبارها مستقرة.
• إذا كانت دالة التحويل ذات الحلقة المفتوحة${\displaystyle G(s)}$إذا كان النظام مستقرًا، فإن النظام ذو الحلقة المغلقة يكون غير مستقر، إذا وفقط إذا كان مخطط نايكويست يحيط بالنقطة -1 مرة واحدة على الأقل.
• إذا كانت دالة التحويل ذات الحلقة المفتوحة${\displaystyle G(s)}$إذا كان النظام غير مستقر ، فلكي يكون النظام ذو الحلقة المغلقة مستقرًا، يجب أن يكون هناك دورة واحدة عكس اتجاه عقارب الساعة بقيمة -1 لكل قطب من أقطاب${\displaystyle G(s)}$في النصف الأيمن من المستوى المركب.
• عدد الحلقات الزائدة ( N  + P أكبر من 0) هو بالضبط عدد الأقطاب غير المستقرة لنظام الحلقة المغلقة. 
• لكن، إذا صادف أن مر الرسم البياني عبر النقطة${\displaystyle -1+j0}$ثم يصبح تحديد حتى الاستقرار الهامشي للنظام أمرًا صعبًا، والاستنتاج الوحيد الذي يمكن استخلاصه من الرسم البياني هو وجود أصفار على${\displaystyle j\omega }$محور.

• استقرار BIBO
• مخطط بود
• معيار استقرار راوث-هرويتز
• تحليل موقع الجذر
• هامش الربح
• مخطط نيكولز
• حلقات القاعة
• هامش الطور
• معيار باركهاوزن للاستقرار
• معيار الدائرة
• هندسة التحكم
• قيمة هانكل المفردة

• فولكنر، إي. أ. (1969): مقدمة في نظرية الأنظمة الخطية ؛ تشابمان وهول؛ رقم ISBN 0-412-09400-2
• بيبارد، أ.ب. (1985): الاستجابة والاستقرار ؛ مطبعة جامعة كامبريدج؛ رقم ISBN 0-521-31994-3
• جيسينغ، ر. (2004): أساسيات التحكم ؛ جامعة سيليزيا للتكنولوجيا؛ رقم ISBN 83-7335-176-0
• فرانكلين، ج. (2002): التحكم التغذوي الراجع للأنظمة الديناميكية ؛ برنتيس هول، ISBN 0-13-032393-4

• تطبيقات صغيرة ذات معلمات قابلة للتعديل
• محلل طيف المعاوقة الكهروكيميائية - برنامج مجاني لتحليل ومحاكاة أطياف المعاوقة
• دالة MATLAB لإنشاء مخطط نايكويست لاستجابة التردد لنموذج نظام ديناميكي.
• تشكيل مخطط نايكويست PID - أداة افتراضية تفاعلية مجانية، محاكي حلقة التحكم
• دالة في برنامج Mathematica لإنشاء مخطط نايكويست
• مخطط نايكويست للدوائر الكهربائية