حول القضايا غير القابلة للتقرير رسميًا في كتاب "برينسيبيا ماثيماتيكا" والأنظمة ذات الصلة

📅 آخر تحديث: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٢ أغسطس ٢٠٢٦
الموسوعة الحرة

" Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I " (" حول القضايا غير القابلة للتقرير رسميًا في كتاب Principia Mathematica والأنظمة ذات الصلة I ") هي ورقة بحثية في المنطق الرياضي من تأليف كورت غودل . قُدّمت في 17 نوفمبر 1930، ونُشرت في الأصل باللغة الألمانية في مجلد عام 1931 من مجلة Monatshefte für Mathematik und Physik . ظهرت عدة ترجمات إنجليزية لها، كما أُدرجت في مجموعتين من أوراق بحثية كلاسيكية في المنطق الرياضي. تتضمن الورقة نظريات عدم الاكتمال لغودل ، وهي نتائج أساسية في المنطق ولها آثار عديدة على براهين الاتساق في الرياضيات. وتُعرف الورقة أيضًا بتقديمها تقنيات جديدة ابتكرها غودل لإثبات نظريات عدم الاكتمال.

ملخص النتائج الرئيسية

تتمثل النتائج الرئيسية التي تم التوصل إليها في نظريتي عدم الاكتمال الأولى والثانية لغودل ، واللتان كان لهما تأثير هائل على مجال المنطق الرياضي . وتظهر هاتان النظريتان في الورقة البحثية على شكل النظريتين السادسة والحادية عشرة، على التوالي.

لإثبات هذه النتائج، قدّم غودل طريقة تُعرف الآن بترقيم غودل . في هذه الطريقة، يُخصّص لكل جملة وبرهان رسمي في حساب الرتبة الأولى عدد طبيعي مُحدد . يُبيّن غودل أن العديد من خصائص هذه البراهين يُمكن تعريفها ضمن أي نظرية حسابية قوية بما يكفي لتعريف الدوال الاسترجاعية الأولية . (لم تكن المصطلحات المُعاصرة للدوال الاسترجاعية والدوال الاسترجاعية الأولية قد استقرت بعد عند نشر الورقة؛ استخدم غودل كلمة "rekursiv " ("استرجاعي") لما يُعرف الآن بالدوال الاسترجاعية الأولية). ومنذ ذلك الحين، أصبحت طريقة ترقيم غودل شائعة في المنطق الرياضي.

نظرًا لحداثة طريقة ترقيم غودل، ولتجنب أي لبس، قدّم غودل قائمةً تضم 45 تعريفًا رسميًا صريحًا للدوال والعلاقات الاسترجاعية الأولية المستخدمة في معالجة واختبار أعداد غودل. استخدم غودل هذه التعريفات لتقديم تعريف صريح للصيغة Bew( x ) التي تكون صحيحة إذا وفقط إذا كان x هو عدد غودل للجملة φ، وكان هناك عدد طبيعي هو عدد غودل لبرهان φ . اسم هذه الصيغة مشتق من كلمة Beweis الألمانية التي تعني "برهان".

ابتكر غودل في هذه الورقة البحثية تقنية جديدة ثانية، وهي استخدام الجمل المرجعية الذاتية. فقد بيّن أن المفارقات الكلاسيكية للإحالة الذاتية، مثل " هذه العبارة خاطئة "، يمكن إعادة صياغتها كجمل حسابية رسمية مرجعية ذاتية. بعبارة أخرى، تقول الجملة المستخدمة لإثبات نظرية عدم الاكتمال الأولى لغودل: "هذه العبارة غير قابلة للإثبات". لم يكن معروفًا إمكانية التعبير عن هذه الإحالة الذاتية ضمن الحساب حتى ظهور ورقة غودل البحثية؛ وقد أُجري عمل مستقل لألفريد تارسكي حول نظرية عدم التعريف في نفس الفترة تقريبًا، لكنه لم يُنشر حتى عام ١٩٣٦.

في الحاشية 48أ، ذكر غودل أن الجزء الثاني المخطط له من البحث سيربط بين براهين الاتساق ونظرية الأنواع (ومن هنا جاء حرف "I" في نهاية عنوان البحث، للدلالة على الجزء الأول)، إلا أن غودل لم ينشر الجزء الثاني من البحث قبل وفاته. مع ذلك، فقد أوضح بحثه المنشور عام 1958 في مجلة Dialectica كيف يمكن استخدام نظرية الأنواع لتقديم برهان اتساق في الحساب.

الترجمات الإنجليزية المنشورة

خلال حياته، نُشرت ثلاث ترجمات إنجليزية لمقال غودل، لكن العملية لم تخلُ من الصعوبات. كانت أول ترجمة إنجليزية من إعداد برنارد ميلتزر ، ونُشرت عام ١٩٦٣ كعمل مستقل من قِبل دار نشر بيسيك بوكس ، وأُعيد طبعها لاحقًا من قِبل دار نشر دوفر، ثم من قِبل دار نشر هوكينغ (كتاب "الله خلق الأعداد الصحيحة" ، دار نشر رانينغ برس، ٢٠٠٥: ١٠٩٧ وما بعدها). وقد وُصفت ترجمة ميلتزر - التي وصفها ريموند سموليان بأنها "ترجمة جيدة" - بأنها "ترجمة جيدة"، إلا أنها لاقت نقدًا لاذعًا من ستيفان باور-مينغلبرغ (١٩٦٦). ووفقًا لسيرة غودل التي كتبها داوسون (داوسون ١٩٩٧: ٢١٦)،

لحسن الحظ، سرعان ما استُبدلت ترجمة ميلتزر بترجمة أفضل أعدها إليوت مندلسون لمختارات مارتن ديفيس " غير القابل للحسم "؛ ولكن لم تُعرض هذه الترجمة أيضًا على غودل إلا في اللحظات الأخيرة، ولم تكن الترجمة الجديدة مُرضية له تمامًا... عندما أُبلغ بعدم وجود وقت كافٍ للنظر في استبدال النص، صرّح بأن ترجمة مندلسون "جيدة جدًا في المجمل" ووافق على نشرها. [لاحقًا ندم على موافقته، إذ شابت النسخة المنشورة أخطاء طباعية كثيرة وسوء طباعة واضح.]

تظهر ترجمة إليوت مندلسون في مجموعة "غير القابل للحسم" (ديفيس 1965: 5 وما بعدها). وقد لاقت هذه الترجمة أيضاً نقداً لاذعاً من باور-مينجلبرغ (1966)، الذي لم يكتفِ بتقديم قائمة مفصلة بالأخطاء المطبعية، بل وصف أيضاً ما اعتبره أخطاءً جسيمة في الترجمة.

تظهر ترجمة جان فان هيجينورت في مجموعة " من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي" (فان هيجينورت، 1967). وصفها ألونسو تشيرش (1972) في مراجعته بأنها "أدق ترجمة أُنجزت"، لكنه أشار أيضًا إلى بعض الانتقادات المحددة لها. ويلاحظ داوسون (1997: 216) ما يلي:

كانت الترجمة التي فضلها غودل هي ترجمة جان فان هيجينورت ... في مقدمة المجلد، أشار فان هيجينورت إلى أن غودل كان أحد المؤلفين الأربعة الذين قرأوا ووافقوا شخصيًا على ترجمات أعماله.

كانت عملية الموافقة هذه شاقة. أدخل غودل تغييرات على نصه لعام 1931، وكانت المفاوضات بين الرجلين "مطولة": "صرح فان هيجينورت سرًا أن غودل كان أكثر شخص دقيق ومتفانٍ عرفه على الإطلاق". وتبادلا معًا "ما مجموعه سبعين رسالة، والتقيا مرتين في مكتب غودل لحل مسائل تتعلق بدقة معاني واستخدام الكلمات الألمانية والإنجليزية". (داوسون 1997: 216-217).

على الرغم من أنها ليست ترجمة للورقة الأصلية، إلا أن هناك نسخة رابعة مفيدة للغاية "تغطي نطاقًا مشابهًا لما غطته ورقة غودل الأصلية لعام 1931 حول عدم قابلية الحسم" (ديفيس 1952: 39)، بالإضافة إلى امتدادات غودل وتعليقاته على الموضوع. وقد نُشرت هذه النسخة بعنوان " حول القضايا غير القابلة للحسم للأنظمة الرياضية الرسمية" (ديفيس 1965: 39 وما بعدها)، وهي تمثل المحاضرات كما دوّنها ستيفن كلين وج . باركلي روسر عندما ألقاها غودل في معهد الدراسات المتقدمة في برينستون، نيو جيرسي عام 1934. وقد أضاف ديفيس صفحتين من التصويبات والتصحيحات الإضافية من غودل إلى هذه النسخة. وتتميز هذه النسخة أيضًا بأن غودل يصف فيها لأول مرة اقتراح هيربراند الذي أدى إلى ظهور الشكل (العام، أي هيربراند-غودل) للاستدعاء الذاتي .

مراجع

  • ستيفان باور-مينجلبرغ (1966). مراجعة لكتاب "غير القابل للتقرير: أوراق أساسية حول القضايا غير القابلة للتقرير، والمسائل غير القابلة للحل، والدوال القابلة للحساب". مجلة المنطق الرمزي ، المجلد 31، العدد 3 (سبتمبر 1966)، الصفحات  484-494.
  • ألونزو تشيرش (1972). مراجعة لكتاب مصادر في المنطق الرياضي 1879-1931. مجلة المنطق الرمزي ، المجلد 37، العدد 2. (يونيو 1972)، ص  405.
  • مارتن ديفيس (محرر). (1965). غير القابل للتقرير: أوراق أساسية حول القضايا غير القابلة للتقرير، والمسائل غير القابلة للحل، والدوال القابلة للحساب . دار رافين للنشر، نيويورك. طبعة مُعاد طباعتها، دار دوفر للنشر، 2004. رقم ISBN 0-486-43228-9.
  • مارتن ديفيس ، (2000). محركات المنطق: الرياضيات وأصل الحاسوب ، دار دبليو دبليو نورتون وشركاه، نيويورك. رقم ISBN 0-393-32229-7غلاف ورقي.
  • كورت جودل (1931)، “Überformal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme I”. Monatshefte für Mathematik und Physik 38 : 173–198. دوى : 10.1007/BF01700692 . متاح عبر الإنترنت عبر SpringerLink.
  • كورت جودل (1958). "Über eine bisher noch nicht benüzte Erweiterung des finiten Standpunktes". ديالكتيكا الإصدار 12، الصفحات من  280 إلى 287. أعيد طبعه بالترجمة الإنجليزية في أعمال جودل المجمعة ، المجلد الثاني، Soloman Feferman et al.، eds. مطبعة جامعة أكسفورد، 1990.
  • جان فان هيجينورت ، محرر (1967). من فريجه إلى غودل: كتاب مرجعي في المنطق الرياضي 1879-1931 . مطبعة جامعة هارفارد.
  • برنارد ميلتزر (1962). حول القضايا غير القابلة للتقرير رسميًا في كتاب "مبادئ الرياضيات" والأنظمة ذات الصلة. ترجمة كورت غودل للأصل الألماني، 1931. دار بيسيك بوكس، 1962. أعيد طبعه، دوفر، 1992. رقم ISBN 0-486-66980-7.
  • ريموند سموليان (1966). مراجعة لكتاب " حول القضايا غير القابلة للتقرير رسميًا في كتاب برينسيبيا ماثيماتيكا والأنظمة ذات الصلة". المجلة الرياضية الأمريكية الشهرية ، المجلد 73، العدد 3 (مارس 1966)، الصفحات  319-322.
  • جون دبليو. داوسون ، (1997). المعضلات المنطقية: حياة وأعمال كورت غودل ، إيه كيه بيترز، ويليسلي، ماساتشوستس. رقم ISBN 1-56881-256-6.