تماثل النظام

في مجال نظرية الترتيب الرياضي ، يُعدّ التشاكل الترتيبي نوعًا خاصًا من الدوال الرتيبة التي تُشكّل مفهومًا مناسبًا للتشاكل بين المجموعات المرتبة جزئيًا (المجموعات الجزئية المرتبة). عندما تكون مجموعتان جزئيتان متماثلتين ترتيبيًا، يُمكن اعتبارهما "متطابقتين جوهريًا" بمعنى أنه يُمكن الحصول على أيٍّ من الترتيبين من الآخر بمجرد إعادة تسمية العناصر. ومن المفاهيم الأضعف ارتباطًا بالتشاكل الترتيبي، تضمينات الترتيب ووصلات غالوا . ^{[ 1 ]}

يمكن فهم مفهوم التشاكل بالنسبة للرتب المحدودة من خلال مخططات هاس . تكون رتبتان محدودتان متماثلتين تمامًا عندما يعبر عنهما مخطط هاس واحد ( مع إعادة تسمية عناصره) معًا، أي عندما يمكن تحويل أي مخطط هاس لأي منهما إلى مخطط هاس للآخر بمجرد إعادة تسمية الرؤوس.

بصورة رسمية، بالنظر إلى مجموعتين جزئيتين${\displaystyle (S,\leq _{S})}$و${\displaystyle (T,\leq _{T})}$، تماثل ترتيبي من${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ل${\displaystyle (T,\leq _{T})}$هي دالة تقابلية${\displaystyle f}$من${\displaystyle S}$ل${\displaystyle T}$مع الخاصية التي، لكل${\displaystyle x}$و${\displaystyle y}$في${\displaystyle S}$،${\displaystyle x\leq _{S}y}$إذا وفقط إذا${\displaystyle f(x)\leq _{T}f(y)}$أي أنها عملية تضمين ترتيبية تقابلية . ^{[ 2 ]}

من الممكن أيضًا تعريف تماثل الترتيب على أنه تضمين ترتيبي شامل . الافتراضان هما${\displaystyle f}$تغطية جميع عناصر${\displaystyle T}$وأن يحافظ على الطلبات، يكفي لضمان ذلك.${\displaystyle f}$وهي أيضاً علاقة واحد لواحد، لأنه إذا${\displaystyle f(x)=f(y)}$ثم (بافتراض أن${\displaystyle f}$(يحافظ على الترتيب) ويترتب على ذلك أن${\displaystyle x\leq y}$و${\displaystyle y\leq x}$، مما يعني ضمناً من تعريف الترتيب الجزئي أن${\displaystyle x=y}$.

ومن الخصائص الأخرى لتشاكلات الترتيب أنها بالضبط التقابلات الرتيبة التي لها معكوس رتيب. ^{[ 3 ]}

يُطلق على التشاكل الترتيبي من مجموعة مرتبة جزئياً إلى نفسها اسم التشاكل الترتيبي الذاتي . ^{[ 4 ]}

عندما يتم فرض بنية جبرية إضافية على المجموعات الجزئية المرتبة${\displaystyle (S,\leq _{S})}$و${\displaystyle (T,\leq _{T})}$، دالة من${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ل${\displaystyle (T,\leq _{T})}$يجب أن تستوفي خصائص إضافية لتُعتبر متماثلة. على سبيل المثال، بالنظر إلى مجموعتين مرتبتين جزئيًا (مجموعات po)${\displaystyle (G,\leq _{G})}$و${\displaystyle (H,\leq _{H})}$، وهو تماثل بين مجموعات po من${\displaystyle (G,\leq _{G})}$ل${\displaystyle (H,\leq _{H})}$^{[ 5 ]} هو تماثل ترتيبي وهو أيضًا تماثل زمر ، وليس مجرد تقابل يمثل تضمينًا ترتيبيًا .

• دالة التطابق على أي مجموعة مرتبة جزئياً هي دائماً تماثل ترتيبي.
• النفي هو تماثل ترتيبي من${\displaystyle (\mathbb {R} ,\leq )}$ل${\displaystyle (\mathbb {R} ,\geq )}$(أين${\displaystyle \mathbb {R} }$هي مجموعة الأعداد الحقيقية و${\displaystyle \leq }$يشير إلى المقارنة العددية المعتادة)، حيث أن − x ≥ − y إذا وفقط إذا كان x ≤ y . ^{[ 6 ]}
• الفاصل الزمني المفتوح${\displaystyle (0,1)}$(مرة أخرى، مرتبة عددياً) ليس لها تماثل ترتيبي مع أو من الفترة المغلقة${\displaystyle [0,1]}$: تحتوي الفترة المغلقة على عنصر أصغر، بينما لا تحتوي الفترة المفتوحة على عنصر أصغر، ويجب أن تحافظ التشاكلات الترتيبية على وجود العناصر الأصغر. ^{[ 7 ]}
• بحسب نظرية كانتور للتشاكل ، فإن كل ترتيب خطي كثيف غير محدود وقابل للعد يكون متشاكلاً مع ترتيب الأعداد النسبية . ^{[ 8 ]} وتُقدم دالة علامة الاستفهام لمينكوفسكي تشاكلات ترتيب صريحة بين الأعداد الجبرية التربيعية، والأعداد النسبية، والأعداد النسبية الثنائية . ^{[ 9 ]}

لو${\displaystyle f}$إذا كان تماثلاً ترتيبياً، فإن دالته العكسية تكون كذلك أيضاً. كذلك إذا${\displaystyle f}$هو تماثل ترتيبي من${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ل${\displaystyle (T,\leq _{T})}$و${\displaystyle g}$هو تماثل ترتيبي من${\displaystyle (T,\leq _{T})}$ل${\displaystyle (U,\leq _{U})}$ثم تركيب الدوال لـ${\displaystyle f}$و${\displaystyle g}$هو نفسه تماثل ترتيبي، من${\displaystyle (S,\leq _{S})}$ل${\displaystyle (U,\leq _{U})}$[ ^{10 ]​}

يُقال إن مجموعتين مرتبتين جزئيًا متماثلتان ترتيبيًا عندما يوجد تماثل ترتيبي بينهما. ^{[ 11 ]} تتوافق دوال التطابق، ومعكوسات الدوال، وتركيب الدوال، على التوالي، مع الخصائص الثلاث المميزة لعلاقة التكافؤ : الانعكاسية ، والتناظر ، والتعدي . لذلك، فإن التماثل الترتيبي هو علاقة تكافؤ. ويمكن تقسيم فئة المجموعات المرتبة جزئيًا بواسطة هذه العلاقة إلى فئات تكافؤ ، وهي عائلات من المجموعات المرتبة جزئيًا المتماثلة فيما بينها. تُسمى فئات التكافؤ هذه بأنواع الترتيب .

• نمط التبديل ، وهو تبديل متماثل الترتيب مع تسلسل فرعي من تبديل آخر.

• بلوخ، إيثان د. (2011)، البراهين والأساسيات: دورة تمهيدية في الرياضيات المجردة ، نصوص جامعية في الرياضيات (الطبعة الثانية  )، سبرينغر، ص 276-277 ، ISBN  9781441971265.
• سيسيلسكي، كريستوف (1997)، نظرية المجموعات للرياضيين العاملين ، نصوص طلابية من جمعية لندن الرياضية، المجلد  39، مطبعة جامعة كامبريدج، الصفحات 38-39 ، ISBN  9780521594653.
• شرودر، بيرند سيغفريد والتر (2003)، المجموعات المرتبة: مقدمة ، سبرينغر، ص  11، ISBN 9780817641283.
• فوكس، لازلو (1963)، الأنظمة الجبرية المرتبة جزئيًا ، منشورات دوفر؛ طبعة معاد طباعتها (5 مارس 2014)، الصفحات 2-3 ، ISBN  0486483878{{citation}}: عدم توافق رقم ISBN / التاريخ ( مساعدة ) .