حالة الخام

في الرياضيات ، وخاصةً في مجال الجبر المعروف بنظرية الحلقات ، يُعد شرط أور شرطًا قدمه أويستين أور ، وذلك في سياق مسألة توسيع نطاق بناء حقل الكسور ليشمل ما هو أبعد من الحلقات التبديلية ، أو بشكل أعم، تحديد موضع الحلقة . ينص شرط أور الأيمن لمجموعة جزئية ضربية S من حلقة R على أنه لكل a ∈ R و s ∈ S ، يكون التقاطع aS ∩ sR ≠ ∅ . يُطلق على المجال (غير التبديلي) الذي تحقق فيه مجموعة العناصر غير الصفرية شرط أور الأيمن اسم مجال أور الأيمن . ويُعرَّف المجال الأيسر بطريقة مماثلة. ^{[ 1 ]}

الهدف هو بناء الحلقة اليمنى للكسور R [ S ⁻¹ ] بالنسبة لمجموعة جزئية ضربية S. بعبارة أخرى، نريد التعامل مع عناصر من الشكل as ⁻¹ والحصول على بنية حلقية على المجموعة R [ S ⁻¹ ]. تكمن المشكلة في عدم وجود تفسير واضح للضرب ( as ⁻¹ )( bt ^{−1 )؛ في الواقع} ، نحتاج إلى طريقة "لتحريك" s ⁻¹ متجاوزًا b . هذا يعني أننا بحاجة إلى القدرة على إعادة كتابة s ⁻ 1b كحاصل ضرب b₁s₁ _{− 1} . ^{[ 2 ]} لنفترض أن _s − ^1b = b₁s₁ − ^{1 ،} عندئذٍ بضرب الطرف الأيسر في s والطرف الأيمن _في s₁ ، نحصل _على bs₁ = _{sb₁ .} ومن ثم نرى ضرورة وجود a 1 و s ₁ مع s _{1 ≠} 0 بحيث يكون as ₁ = sa ₁ .

بما أنه من المعروف أن كل مجال تكاملي هو حلقة جزئية من حقل كسور (عبر تضمين) بحيث يكون كل عنصر على الصورة rs ^{− 1} حيث s غير صفري، فمن الطبيعي التساؤل عما إذا كان بالإمكان تطبيق نفس البناء على مجال غير تبديلي وربط حلقة قسمة (حقل غير تبديلي) بنفس الخاصية. وقد تبين أن الإجابة أحيانًا تكون "لا"، أي أن هناك مجالات لا تمتلك "حلقة قسمة يمنى للكسور" مماثلة.

لكل مجال R ذي ترتيب يميني ، توجد حلقة قسمة D فريدة (حتى التشاكل الطبيعي R ) تحتوي R كحلقة فرعية، بحيث يكون كل عنصر من D على الصورة rs ^{− 1} ، حيث r ∈ R و s ∈ R. تُسمى حلقة القسمة D هذه حلقة الكسور اليمينية لـ R ، وتُسمى R ترتيبًا يمينيًا في D. يُعرَّف مفهوم حلقة الكسور اليسارية والترتيب اليساري بشكل مماثل، حيث تكون عناصر D على الصورة s ^{− 1} r .

من المهم تذكر أن تعريف R كترتيب يميني في D يتضمن شرط أن تتكون D بالكامل من عناصر على الصورة rs ^{− 1.} يمكن اعتبار أي مجال يحقق أحد شروط Ore حلقة فرعية من حلقة القسمة، إلا أن هذا لا يعني بالضرورة أن R ترتيب يساري في D ، إذ من الممكن أن تحتوي D على عنصر ليس على الصورة s ^{− 1} r . وبالتالي، من الممكن أن يكون R مجال Ore يمينيًا وليس يساريًا. وبشكل بديهي، فإن شرط أن تكون جميع عناصر D على الصورة rs ^{− 1} يعني أن R وحدة فرعية "كبيرة" من D. في الواقع ، يضمن هذا الشرط أن R وحدة فرعية أساسية من D. أخيرًا، يوجد مثال على مجال في حلقة القسمة لا يحقق أيًا من شرطي Ore (انظر الأمثلة أدناه _{) .}

وثمة سؤال طبيعي آخر هو: "متى تكون الحلقة الفرعية لحلقة التقسيم حلقة يمين؟" أحد الخصائص هو أن الحلقة الفرعية R لحلقة التقسيم D هي مجال Ore يميني إذا وفقط إذا كانت D وحدة R- يسارية مسطحة ( لام 2007 ، مثال 10.20) .

عادةً ما تُعطى نسخة مختلفة وأقوى من شروط أور في حالة عدم كون R مجالًا، وهي أنه يجب أن يكون هناك مضاعف مشترك

ج = أ و = ب ف

مع كون u و v ليسا قواسم للصفر . في هذه الحالة، تضمن نظرية أور وجود حلقة علوية تسمى الحلقة الكلاسيكية (اليمنى أو اليسرى) للقسمة .

تُعتبر المجالات التبادلية تلقائيًا مجالات أور، لأنه بالنسبة لقيم a و b غير الصفرية ، يكون ab غير صفري في aR ∩ bR . ومن المعروف أيضًا أن المجالات النويثرية اليمنى ، مثل مجالات المثالي الرئيسي اليمنى ، هي مجالات أور يمنى. وبشكل أعم، أثبت ألفريد غولدي أن المجال R هو مجال أور يميني إذا وفقط إذا كان R ∩ _R ذا بُعد منتظم محدود . وينطبق الأمر نفسه على مجالات بيزو اليمنى، فهي مجالات أور يمنى.

مجال فرعي من حلقة القسمة ليس يمينًا ولا يسارًا. أو: إذا كان F أي حقل، و${\displaystyle G=\langle x,y\rangle \,}$إذا كان المونويد الحر على رمزين x و y ، فإن حلقة المونويد${\displaystyle F[G]\,}$لا يُحقق أي شرط من شروط أور، ولكنه حلقة مثالية حرة ، وبالتالي فهو حلقة فرعية من حلقة قسمة، وفقًا لـ ( كوهن 1995 ، كور 4.5.9) . لاحظ أن كوهن يستخدم مصطلح "حقل" بمعنى حقل منحرف .

يمكن تعميم شرط أور على مجموعات جزئية ضربية أخرى ، وقد عُرض في شكل كتابي في ( لام 1999 ، §10) و ( لام 2007 ، §10) . تُسمى المجموعة الجزئية S من الحلقة R مجموعة مقام أيمن إذا حققت الشروط الثلاثة التالية لكل a و b في R ، و s و t في S :

1. st في S ؛ (المجموعة S مغلقة ضربيًا .)
2. aS ∩ sR ليست فارغة؛ (المجموعة S قابلة للتبديل من اليمين .)
3. إذا كانت sa = 0 ، فإنه يوجد عنصر u في S بحيث au = 0 ؛ (المجموعة S قابلة للعكس من اليمين ).

إذا كانت S مجموعة مقامات يمنى، فيمكن إنشاء حلقة الكسور اليمنى RS ⁻¹ بطريقة مشابهة للحالة التبديلية. وإذا اعتُبرت S مجموعة العناصر المنتظمة (أي العناصر a في R بحيث إذا كان b في R غير صفري، فإن ab و ba غير صفريين)، فإن شرط Ore الأيمن هو ببساطة اشتراط أن تكون S مجموعة مقامات يمنى.

تنطبق العديد من خصائص التوطين التبادلي في هذا السياق الأكثر عمومية. إذا كانت S مجموعة مقام يمين لحلقة R ، فإن الوحدة النمطية اليسرى R- RS ⁻¹ تكون مسطحة . علاوة على ذلك، إذا كانت M وحدة نمطية يمين R ، فإن الالتواء S ، tor _S ( M ) = { m in M  ​​: ms = 0 لبعض s في S }، هو وحدة نمطية فرعية R متماثلة مع Tor ₁ ( M , RS ⁻¹ ) ، والوحدة النمطية M ⊗ _R RS ⁻¹ متماثلة بشكل طبيعي مع وحدة نمطية MS ⁻¹ تتكون من "كسور" كما في الحالة التبادلية.

• كوهن، ب.م. (1991)، الجبر ، المجلد  3 (  الطبعة الثانية)، تشيتشستر: جون وايلي وأولاده، الصفحات  474+12، رقم ISBN 0-471-92840-2، MR 1098018 ، Zbl 0719.00002  
• كوهن، ب.م. (1961)، "حول تضمين الحلقات في الحقول المائلة"، وقائع جمعية لندن الرياضية ، 11 : 511-530 ، doi : 10.1112/plms/s3-11.1.511 ، MR 0136632 ، Zbl 0104.03203  
• كوهن، ب.م. (1995)، الحقول المائلة، نظرية حلقات القسمة العامة ، موسوعة الرياضيات وتطبيقاتها، المجلد  57، مطبعة جامعة كامبريدج ، رقم ISBN 0-521-43217-0، Zbl 0840.16001 
• لام، تسيت-يوين (1999)، محاضرات في الوحدات والحلقات ، نصوص الدراسات العليا في الرياضيات، المجلد  189، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-98428-5، Zbl 0911.16001 
• لام، تسيت-يوين (2007)، تمارين في الوحدات والحلقات ، كتب مسائل في الرياضيات، برلين، نيويورك: سبرينغر-فيرلاغ ، ISBN 978-0-387-98850-4، MR 2278849 ، Zbl 1121.16001  
• ستينستروم، بو (1971)، الحلقات ووحدات القسمة ، سلسلة محاضرات في الرياضيات، المجلد  237، برلين: سبرينغر-فيرلاغ ، الصفحات:  7+136، doi : 10.1007/BFb0059904 ، ISBN 978-3-540-05690-4، MR 0325663 ، Zbl 0229.16003  

• حالة الخام في PlanetMath .
• نظرية أور في موقع PlanetMath .
• حلقة القسمة الكلاسيكية في موقع PlanetMath .