نظرية بابوس السداسية

في الرياضيات ، تنص نظرية بابوس السداسية (المنسوبة إلى بابوس الإسكندري ) على أنه إذا${\displaystyle A,B,C}$هي مجموعة واحدة من النقاط الواقعة على خط مستقيم واحد ، و${\displaystyle a,b,c}$ثم مجموعة أخرى من النقاط الواقعة على خط مستقيم واحد، ثم نقاط التقاطع${\displaystyle X,Y,Z}$أزواج الخطوط​${\displaystyle Ab}$و${\displaystyle aB,Ac}$و${\displaystyle aC,Bc}$و${\displaystyle bC}$تقع هذه النقاط الثلاث على خط مستقيم واحد ، على خط بابوس . وهي نقاط تقاطع الأضلاع "المتقابلة" للسداسي.${\displaystyle AbCaBc}$.

تصح هذه النظرية في مستوى إسقاطي فوق أي حقل، لكنها لا تصح في المستويات الإسقاطية فوق أي حلقة قسمة غير تبديلية . ^{[ 1 ]} تسمى المستويات الإسقاطية التي تكون فيها "النظرية" صحيحة بالمستويات البابية .

إذا اعتبرنا مستوى بابي يحتوي على شكل سداسي كما هو موضح للتو ولكن بأضلاع${\displaystyle Ab}$و${\displaystyle aB}$متوازية وكذلك الجوانب${\displaystyle Bc}$و${\displaystyle bC}$موازية (بحيث يكون خط بابوس)${\displaystyle u}$(إذا كان الخط عند اللانهاية )، نحصل على النسخة الأفينية من نظرية بابوس الموضحة في الرسم التخطيطي الثاني.

إذا كان خط بابوس${\displaystyle u}$والخطوط${\displaystyle g,h}$إذا كان هناك نقطة مشتركة، فسيحصل المرء على ما يسمى بالنسخة المصغرة من نظرية بابوس. ^{[ 2 ]}

تنص الصيغة الثنائية لنظرية التلاقي هذه على أنه بالنظر إلى مجموعة واحدة من الخطوط المتلاقية${\displaystyle A,B,C}$ومجموعة أخرى من الخطوط المتزامنة${\displaystyle a,b,c}$ثم الخطوط${\displaystyle x,y,z}$تُعرَّف بأزواج من النقاط الناتجة عن أزواج من التقاطعات.${\displaystyle A\cap b}$و${\displaystyle a\cap B,\;A\cap c}$و${\displaystyle a\cap C,\;B\cap c}$و${\displaystyle b\cap C}$متزامنة. ( التزامن يعني أن الخطوط تمر بنقطة واحدة.)

تُعدّ نظرية بابوس حالة خاصة من نظرية باسكال للمخروطيات، وهي الحالة الحدية التي يتحول فيها القطع المخروطي إلى خطين مستقيمين. ونظرية باسكال بدورها حالة خاصة من نظرية كايلي-باخاراخ .

تكوين بابوس هو تكوين يتكون من 9 خطوط و9 نقاط، وهو التكوين الذي يظهر في نظرية بابوس، حيث يتقاطع كل خط مع 3 من النقاط، وتتقاطع كل نقطة مع 3 خطوط. وبشكل عام، لا يمر خط بابوس بنقطة تقاطع${\displaystyle ABC}$و${\displaystyle abc}$[ ^{3 ]} هذا التكوين ثنائي ذاتي . وذلك لأن الخطوط، على وجه الخصوص ^،${\displaystyle Bc,bC,XY}$لها خصائص الخطوط${\displaystyle x,y,z}$نظرية الازدواجية، والتوازي الخطي لـ${\displaystyle X,Y,Z}$يعادل توافق${\displaystyle Bc,bC,XY}$وبالتالي، فإن النظرية الثنائية هي نفسها النظرية الأصلية. الرسم البياني لليفي لتكوين بابوس هو رسم بابوس البياني ، وهو رسم بياني ثنائي الأجزاء منتظم المسافة، يتكون من 18 رأسًا و27 ضلعًا.

إذا أمكن إثبات الشكل الأفيني للعبارة، فسيتم إثبات الشكل الإسقاطي لنظرية بابوس، حيث أن امتداد المستوى البابي إلى المستوى الإسقاطي فريد من نوعه.

بسبب التوازي في المستوى الأفيني، يجب التمييز بين حالتين:${\displaystyle g\not \parallel h}$و${\displaystyle g\parallel h}$يكمن مفتاح البرهان البسيط في إمكانية إدخال نظام إحداثيات "مناسب" :

الحالة الأولى: الخطوط${\displaystyle g,h}$يتقاطعان عند النقطة${\displaystyle S=g\cap h}$في هذه الحالة ، يتم إدخال الإحداثيات، بحيث ${\displaystyle \;S=(0,0),\;A=(0,1),\;c=(1,0)\;}$(انظر الرسم التوضيحي). ${\displaystyle B,C}$ لديك الإحداثيات${\displaystyle \;B=(0,\gamma ),\;C=(0,\delta ),\;\gamma ,\delta \notin \{0,1\}}$.

من توازي الخطوط${\displaystyle Bc,\;Cb}$يحصل المرء${\displaystyle b=({\tfrac {\delta }{\gamma }},0)}$وتوازي الخطوط${\displaystyle Ab,Ba}$العائد${\displaystyle a=(\delta ,0)}$ومن ثم السطر${\displaystyle Ca}$له ميل${\displaystyle -1}$وهو خط موازٍ${\displaystyle Ac}$.

الحالة الثانية:${\displaystyle g\parallel h\ }$(نظرية صغيرة). في هذه الحالة، يتم اختيار الإحداثيات بحيث${\displaystyle \;c=(0,0),\;b=(1,0),\;A=(0,1),\;B=(\gamma ,1),\;\gamma \neq 0}$من التوازي بين${\displaystyle Ab\parallel Ba}$و${\displaystyle cB\parallel bC}$يحصل المرء${\displaystyle \;C=(\gamma +1,1)\;}$و${\displaystyle \;a=(\gamma +1,0)\;}$على التوالي، وعلى الأقل التوازي${\displaystyle \;Ac\parallel Ca\;}$.

اختر إحداثيات متجانسة مع

${\displaystyle C=(1,0,0),\;c=(0,1,0),\;X=(0,0,1),\;A=(1,1,1)}$.

على الخطوط${\displaystyle AC,Ac,AX}$، مقدمة من${\displaystyle x_{2}=x_{3},\;x_{1}=x_{3},\;x_{2}=x_{1}}$خذ النقاط${\displaystyle B,Y,b}$يكون

${\displaystyle B=(p,1,1),\;Y=(1,q,1),\;b=(1,1,r)}$

بالنسبة للبعض${\displaystyle p,q,r}$الخطوط الثلاثة${\displaystyle XB,CY,cb}$نكون${\displaystyle x_{1}=x_{2}p,\;x_{2}=x_{3}q,\;x_{3}=x_{1}r}$لذلك يمرون عبر نفس النقطة${\displaystyle a}$إذا وفقط إذا${\displaystyle rqp=1}$الشرط الخاص بالخطوط الثلاثة${\displaystyle Cb,cB}$و${\displaystyle XY}$مع المعادلات${\displaystyle x_{2}=x_{1}q,\;x_{1}=x_{3}p,\;x_{3}=x_{2}r}$المرور عبر نفس النقطة${\displaystyle Z}$يكون${\displaystyle rpq=1}$إذن، هذه المجموعة الأخيرة المكونة من ثلاثة خطوط متزامنة إذا كانت جميع المجموعات الثمانية الأخرى متزامنة، لأن عملية الضرب تبديلية.${\displaystyle pq=qp}$أو بعبارة أخرى،${\displaystyle X,Y,Z}$هي متوازية.

يُبين البرهان أعلاه أيضًا أنه لكي تتحقق نظرية بابوس في فضاء إسقاطي فوق حلقة قسمة، يكون من الكافي والضروري أن تكون حلقة القسمة حقلًا (تبديليًا). وقد أثبت عالم الرياضيات الألماني غيرهارد هيسنبرغ أن نظرية بابوس تستلزم نظرية ديزارغ . ^{[ 4 ] [ 5 ]} وبشكل عام، تتحقق نظرية بابوس في مستوى إسقاطي ما إذا وفقط إذا كان مستوى إسقاطيًا فوق حقل تبديلي. أما المستويات الإسقاطية التي لا تتحقق فيها نظرية بابوس فهي المستويات الإسقاطية الديزارغية فوق حلقات القسمة غير التبديلية، والمستويات غير الديزارغية .

يكون البرهان غير صالح إذا${\displaystyle C,c,X}$تصادف أن تكون هذه العناصر على استقامة واحدة. في هذه الحالة، يمكن تقديم برهان بديل، على سبيل المثال، باستخدام مرجع إسقاطي مختلف.

بسبب مبدأ الازدواجية للمستويات الإسقاطية، فإن نظرية بابوس المزدوجة صحيحة:

إذا 6 أسطر${\displaystyle A,b,C,a,B,c}$يتم اختيارها بالتناوب من قلمين رصاص بمركزين${\displaystyle G,H}$، الخطوط

${\displaystyle X:=(A\cap b)(a\cap B),}$

${\displaystyle Y:=(c\cap A)(C\cap a),}$

${\displaystyle Z:=(b\cap C)(B\cap c)}$

متزامنة، وهذا يعني: أن لها وجهة نظر.${\displaystyle U}$بشكل مشترك. يوضح الرسم التخطيطي الأيسر النسخة الإسقاطية، بينما يوضح الرسم التخطيطي الأيمن النسخة الأفينية، حيث النقاط ${\displaystyle G,H}$هي نقاط في اللانهاية. إذا كانت النقطة${\displaystyle U}$الأمر على المحك${\displaystyle GH}$ثم يحصل المرء على "النظرية الصغيرة المزدوجة" لنظرية بابوس.

• 
  النظرية الثنائية: الشكل الإسقاطي
• 
  النظرية المزدوجة: الشكل الأفيني

إذا كانت النقطة في النسخة الأفينية من "النظرية الصغيرة" الثنائية${\displaystyle U}$إذا كانت النقطة عند اللانهاية أيضًا، نحصل على نظرية تومسن ، وهي عبارة عن ست نقاط على أضلاع مثلث (انظر الرسم التوضيحي). يلعب شكل تومسن دورًا أساسيًا في تحديد إحداثيات مستوى إسقاطي مُعرَّف بديهيًا. ^{[ 6 ]} يُغطَّى برهان إغلاق شكل تومسن ببرهان "النظرية الصغيرة" المذكور أعلاه. ولكن يوجد أيضًا برهان مباشر بسيط:

لأن نص نظرية تومسن (إغلاق الشكل) يستخدم فقط المصطلحات "اتصال" و"تقاطع " و "توازي" ، فإن النص ثابت تحت التحويلات الخطية ، ويمكن إدخال إحداثيات بحيث ${\displaystyle P=(0,0),\;Q=(1,0),\;R=(0,1)}$(انظر الرسم التوضيحي على اليمين). نقطة البداية لتسلسل الأوتار هي${\displaystyle (0,\lambda ).}$يمكن التحقق بسهولة من إحداثيات النقاط الواردة في الرسم التخطيطي، والذي يوضح أن النقطة الأخيرة تتطابق مع النقطة الأولى.

• 
  شكل تومسن (نقاط)${\displaystyle \color {red}1,2,3,4,5,6}$من المثلث${\displaystyle PQR}$) كنظرية مزدوجة لنظرية بابوس الصغرى (${\displaystyle U}$(وهي في اللانهاية أيضًا  !).
• 
  شكل تومسن: دليل

بالإضافة إلى التوصيفات المذكورة أعلاه لنظرية بابوس ونظيرتها، فإن العبارات التالية مكافئة لها:

• إذا كانت رؤوس الشكل السداسي الستة تقع بالتناوب على خطين مستقيمين، فإن نقاط تقاطع أزواج الأضلاع المتقابلة تكون على خط مستقيم واحد. ^{[ 7 ]}
• مرتبة في مصفوفة من تسع نقاط (كما هو موضح في الشكل والوصف أعلاه) وتعتبر بمثابة تقييم دائم ، إذا كانت الصفين الأولين والثلاثيات "القطرية" الستة على خط مستقيم، فإن الصف الثالث يكون على خط مستقيم.

${\displaystyle \left|{\begin{matrix}A&B&C\\a&b&c\\X&Y&Z\end{matrix}}\right|}$

أي إذا${\displaystyle \ ABC,abc,AbZ,BcX,CaY,XbC,YcA,ZaB\ }$إذا كانت الخطوط هي خطوط، فإن نظرية بابوس تنص على أن${\displaystyle XYZ}$يجب أن يكون خطًا. لاحظ أيضًا أن نفس صياغة المصفوفة تنطبق على الشكل الثنائي للنظرية عندما${\displaystyle (A,B,C)}$إلخ. هي ثلاثيات من الخطوط المتزامنة. ^{[ 8 ]}

• إذا افترضنا ثلاث نقاط متميزة على كل من خطين متميزين، وقمنا بربط كل نقطة على أحد الخطين بنقطة من الخط الآخر، فإن نقاط التقاء النقاط غير المرتبطة ستلتقي في أزواج (متقابلة) عند نقاط على طول الخط. ^{[ 9 ]}
• إذا كان المثلثان يمثلان منظورًا بطريقتين مختلفتين على الأقل، فإنهما يمثلان منظورًا بثلاث طرق. ^{[ 4 ]}
• لو${\displaystyle \;AB,CD,\;}$و${\displaystyle EF}$متزامنة و${\displaystyle DE,FA,}$و${\displaystyle BC}$إذا كانت متزامنة، فـ${\displaystyle AD,BE,}$ و${\displaystyle CF}$متزامنة. ^{[ 8 ]}

ما يُعرف بنظرية بابوس موجود في الفصول 202، 206، 207، 209، و211، والمُرقمة أيضًا بالقضايا 134، 138، 139، 141، و143، من الكتاب السابع من مجموعة بابوس . ^{[ 10 ]} وهذه هي الليمات VIII، XII، XIII، XV، وXVII في الجزء من الكتاب السابع الذي يتألف من ليمات الكتاب الأول من الكتب الثلاثة لمسائل إقليدس .

اللمة الثامنة هي ما يُسمى أعلاه بالصيغة الأفينية لنظرية بابوس. وقد أثبتها بابوس باستخدام المساحات. في الشكل أدناه، $${\displaystyle \varDelta E\ ||\ B\varGamma \quad \&\quad EH\ ||\ BZ.}$$

سنعرض $${\displaystyle \varDelta Z\ ||\ \varGamma H.}$$ وللقيام بذلك، نرسم BE و ΔΓ و ZH .

على شكل مثلثات، $${\displaystyle \triangle \varDelta BE=\triangle \varDelta \varGamma E.}$$ بإضافة △ ΔAE إلى أي من الجانبين ينتج $${\displaystyle \triangle ABE=\triangle \varDelta \varGamma A.}$$ على نفس المنوال، $${\displaystyle \triangle BEZ=\triangle BHZ,}$$ وبطرح △ BAZ ينتج $${\displaystyle \triangle ABE=\triangle AHZ.}$$ انطلاقاً من هذا وما نعرفه بالفعل، $${\displaystyle \triangle \varDelta \varGamma A=\triangle AHZ.}$$ بإضافة △ AΓH ، نحصل على $${\displaystyle \triangle \varDelta \varGamma H=\triangle Z\varGamma H,}$$ وهذا ما يمنحنا التوازي الذي نريده.

تُثبت الليمات الأخرى بدلالة ما يُعرف اليوم بنسبة التقاطعية لأربع نقاط تقع على خط مستقيم واحد. وتُستخدم ثلاث ليمات سابقة. أولها، الليمة الثالثة، لها الرسم البياني أدناه (الذي يستخدم حروف بابوس، حيث G لـ Γ ، و D لـ Δ ، وJ لـ Θ ، و L لـ Λ ).

هنا، تتقاطع ثلاثة خطوط مستقيمة متلاقية، AB و AG و AD ، مع خطين، JB و JE ، يلتقيان عند النقطة J. كما رُسم الخط KL موازياً للخط AZ . $${\displaystyle {\overline {KJ}}:{\overline {JL}}::\left({\overline {KJ}}:{\overline {AG}}\ \&\ {\overline {AG}}:{\overline {JL}}\right)::\left({\overline {JD}}:{\overline {GD}}\ \&\ {\overline {BG}}:{\overline {JB}}\right)}$$ يمكن كتابة هذه النسب اليوم على شكل معادلات: ^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\frac {\overline {KJ}}{\overline {JL}}}={\frac {\overline {KJ}}{\overline {AG}}}\times {\frac {\overline {AG}}{\overline {JL}}}={\frac {\overline {JD}}{\overline {GD}}}\times {\frac {\overline {BG}}{\overline {JB}}}.}$$ النسبة المركبة الأخيرة (أي JD  : GD و BG  : JB ) هي ما يُعرف اليوم بنسبة التقاطعات بين النقاط الواقعة على خط مستقيم واحد J و G و D و B بهذا الترتيب؛ ويُرمز لها اليوم بـ ( J , G ; D , B ) . وبذلك نكون قد أثبتنا أن هذه النسبة مستقلة عن اختيار الخط المستقيم JD الذي يتقاطع مع الخطوط المستقيمة الثلاثة التي تتقاطع عند النقطة A.$${\displaystyle (J,G;D,B)=(J,Z;H,E).}$$ لا يهم على أي جانب من النقطة A يقع الخط المستقيم JE . على وجه الخصوص، قد يكون الوضع كما في الرسم البياني التالي، وهو الرسم البياني الخاص بالفرضية X.

كما في السابق، لدينا $${\displaystyle (J,G;D,B)=(J,Z;H,E).}$$ لم يثبت بابوس هذا صراحة؛ لكن اللمة X هي عكس ذلك، أي أنه إذا كانت نسبتا التقاطع هاتان متساويتين، وتقاطع الخطان المستقيمان BE و DH عند النقطة A ، فإن النقاط G و A و Z يجب أن تكون على استقامة واحدة.

ما عرضناه في الأصل يمكن كتابته على النحو التالي $${\displaystyle (J,\infty ;K,L)=(J,G;D,B),}$$ حيث يحل ∞ محل التقاطع (غير الموجود) بين JK و AG . يوضح بابوس هذا، في الواقع، في اللمة الحادية عشرة، والتي يختلف رسمها البياني في الأحرف:

ما يُظهره بابوس هو $${\displaystyle {\overline {DE}}\cdot {\overline {ZH}}:{\overline {EZ}}\cdot {\overline {HD}}::{\overline {GB}}:{\overline {BE}},}$$ والتي يمكننا كتابتها على النحو التالي: $${\displaystyle (D,Z;E,H)=(\infty ,B;E,G).}$$ الرسم التخطيطي للفرضية الثانية عشرة هو:

الرسم البياني للّمة XIII هو نفسه، لكن BA و DG ، بعد تمديدهما، يلتقيان عند N. على أي حال، باعتبار الخطوط المستقيمة المارة بـ G مقطوعة بالخطوط المستقيمة الثلاثة المارة بـ A ، (مع التسليم بأن معادلات النسب التبادلية تظل صالحة بعد تبديل المدخلات)، نحصل، وفقًا للّمة III أو XI، على $${\displaystyle (G,J;E,H)=(G,D;\infty Z).}$$ باعتبار الخطوط المستقيمة المارة بالنقطة D متقاطعة مع الخطوط المستقيمة الثلاثة المارة بالنقطة B ، فإن لدينا $${\displaystyle (L,D;E,K)=(G,D;\infty Z).}$$ هكذا $${\displaystyle (E,H;J,G)=(E,K;D,L),}$$ وبناءً على اللمة X، فإن النقاط H و M و K تقع على استقامة واحدة. أي أن نقاط تقاطع أزواج الأضلاع المتقابلة في الشكل السداسي ADEGBZ تقع على استقامة واحدة.

تنص اللمتان XV و XVII على أنه إذا تم تحديد النقطة M على أنها نقطة تقاطع HK و BG ، فإن النقاط A و M و D تقع على استقامة واحدة. أي أن نقاط تقاطع أزواج الأضلاع المتقابلة في الشكل السداسي BEKHZG تقع على استقامة واحدة.

• كوكسيتر، هارولد سكوت ماكدونالد (1969)، مقدمة في الهندسة (  الطبعة الثانية)، نيويورك: جون وايلي وأولاده ، رقم ISBN 978-0-471-50458-0، MR 0123930 
• كرونهايم، أ. (1953)، "برهان على نظرية هيسنبرغ"، وقائع الجمعية الرياضية الأمريكية ، 4 (2): 219-221 ، doi : 10.2307/2031794 ، JSTOR 2031794 
• ديمبوسكي، بيتر (1968)، الهندسات المحدودة ، برلين: سبرينغر-فيرلاغ
• هيث، توماس (1981) [1921]، تاريخ الرياضيات اليونانية ، نيويورك: منشورات دوفر
• هيسنبيرج، جيرهارد (1905)، “Beweis des Desarguesschen Satzes aus dem Pascalschen”، Mathematische Annalen ، 61 (2)، برلين / هايدلبرغ: سبرينغر: 161–172 ، دوى : 10.1007 / BF01457558 ، ISSN 1432-1807 ، S2CID 120456855  
• هولتش، فريديكوس (1877)، بابي ألكسندريني كوليكشنيس كواي سوبرسونت ، برلين{{citation}}: CS1 maint: موقع الناشر مفقود ( رابط )
• كلاين، موريس (1972)، الفكر الرياضي من العصور القديمة إلى الحديثة ، نيويورك: مطبعة جامعة أكسفورد
• بامبوتشيان، فيكتور؛ Schacht، Celia (2019)، “المصير البديهي لنظريات Pappus و Desargues”، في Dani، SG؛ Papadopoulos، A. (eds.)، الهندسة في التاريخ ، سبرينغر، الصفحات من 355 إلى 399، ISBN  978-3-030-13611-6
• ويتشر، أوليف (1971)، الهندسة الإسقاطية ، دار رودولف شتاينر للنشر، رقم ISBN 0-85440-245-4

• نظرية بابوس السداسية في موقع cut-the-knot
• نظير لنظرية بابوس السداسية في موقع cut-the-knot
• نظرية بابوس: تسعة براهين وثلاثة اختلافات