عدد الخماسيات

في نظرية الأعداد ، يُعرف عدد الخماسي (أو العدد الفائق رباعي الأوجه أو العدد المثلثي المثلثي ) بأنه العدد الموجود في الخلية الخامسة من أي صف في مثلث باسكال، بدءًا من الصف ذي الخمسة حدود 1 4 6 4 1 ، سواء من اليسار إلى اليمين أو من اليمين إلى اليسار. وقد سُمي بهذا الاسم لأنه يُمثل عدد الكرات ثلاثية الأبعاد التي يمكن رصّها في خماسي ( هرم رباعي الأوجه رباعي الأبعاد ) بأطوال أضلاع متزايدة.

الأرقام القليلة الأولى من هذا النوع هي:

1 ، 5 ، 15 ، 35 ، 70 ، 126 ، 210 ، 330 ، 495 ، 715 ، 1001 ، 1365 (التسلسل A000332 في OEIS )

تنتمي أعداد البنتاتوب إلى فئة الأعداد الشكلية ، والتي يمكن تمثيلها كأنماط هندسية منتظمة ومنفصلة. ^{[ 1 ]}

صيغة العدد الخماسي النوني هي مضروب العدد ن التصاعدي الرابع مقسومًا على مضروب العدد 4 :

${\displaystyle P_{n}={\frac {n^{\overline {4}}}{4!}}={\frac {n(n+1)(n+2)(n+3)}{24}}.}$

يمكن أيضًا تمثيل أعداد البنتاتوب كمعاملات ذات حدين :

${\displaystyle P_{n}={\binom {n+3}{4}},}$

وهو عدد الرباعيات المختلفة التي يمكن اختيارها من بين n + 3 عناصر، ويتم قراءتها بصوت عالٍ على النحو التالي: " n زائد ثلاثة اختر أربعة".

اثنان من كل ثلاثة أعداد خماسية الأضلاع هما أيضًا أعداد خماسية الأضلاع . وبشكل أدق، فإن العدد الخماسي الأضلاع رقم ( 3k - 2) هو دائمًا${\displaystyle \left({\tfrac {3k^{2}-k}{2}}\right)}$العدد الخماسي رقم و ( 3k − 1) هو دائمًا${\displaystyle \left({\tfrac {3k^{2}+k}{2}}\right)}$العدد الخماسي رقم (3k ) . العدد الخماسي رقم (3k) هو العدد الخماسي المعمم الذي يتم الحصول عليه بأخذ الدليل السالب${\displaystyle -{\tfrac {3k^{2}+k}{2}}}$في صيغة الأعداد الخماسية. (هذه التعبيرات تعطي دائمًا أعدادًا صحيحة ). ^{[ 2 ]}

المجموع اللانهائي لمقلوبات جميع أعداد البنتاتوب هو 4/3 . [ 3 ] ويمكن ^اشتقاق ذلك باستخدام ^{المتسلسلات التلسكوبية} .

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {4!}{n(n+1)(n+2)(n+3)}}={\frac {4}{3}}.}$

يمكن تمثيل أعداد البنتاتوب على أنها مجموع أول n من أعداد رباعي الأوجه : ^{[ 2 ]}

${\displaystyle P_{n}=\sum _{k=1}^{n}\mathrm {Te} _{k},}$

وهي مرتبطة أيضاً بالأعداد الرباعية الأوجه نفسها:

${\displaystyle P_{n}={\tfrac {1}{4}}(n+3)\mathrm {Te} _{n}.}$

لا يوجد عدد أولي هو سلف عدد خماسي الأضلاع (يحتاج فقط إلى التحقق من −1 و 4 = 2 ² )، وأكبر عدد شبه أولي هو سلف عدد خماسي الأضلاع هو 1819.

وبالمثل، فإن الأعداد الأولية الوحيدة التي تسبق عددًا مكونًا من 6 أعداد بسيطة هي 83 و 461.

يمكننا استنتاج هذا الاختبار من صيغة العدد الخماسي النوني .

بفرض وجود عدد صحيح موجب x ، لاختبار ما إذا كان عددًا خماسي الأضلاع، يمكننا حساب الجذر الموجب باستخدام طريقة فيراري :

${\displaystyle n={\frac {{\sqrt {5+4{\sqrt {24x+1}}}}-3}{2}}.}$

يكون العدد x خماسي الأوجه إذا وفقط إذا كان n عددًا طبيعيًا . في هذه الحالة، يكون x هو العدد خماسي الأوجه رقم n .

الدالة المولدة لأعداد البنتاتوب هي ^{[ 4 ]}

${\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{5}}}=x+5x^{2}+15x^{3}+35x^{4}+\dots .}$

في الكيمياء الحيوية ، تمثل أرقام البنتاتوب عدد الترتيبات الممكنة لـ n من الوحدات الفرعية الببتيدية المختلفة في بروتين رباعي (رباعي الأوجه).