بيتيس إنتغرال

📅 آخر تحديث: ٥ أغسطس ٢٠٢٦
✍️ نُشر في: ٥ أغسطس ٢٠٢٦
📷 يحتوي على 83 صور
الموسوعة الحرة

في الرياضيات ، يُوسّع تكامل بيتيس، أو تكامل جيلفاند - بيتيس نسبةً إلى إسرائيل م. جيلفاند وبيلي جيمس بيتيس ، تعريف تكامل لوبيغ ليشمل الدوال المتجهة على فضاء قياس ، وذلك بالاستفادة من الازدواجية . وقد قدّم جيلفاند هذا التكامل لحالة كون فضاء القياس عبارة عن فترة ذات قياس لوبيغ . ويُسمى هذا التكامل أيضًا بالتكامل الضعيف، تمييزًا له عن تكامل بوخنر ، الذي يُعرف بالتكامل القوي.

تعريف

يتركو:X→V{\displaystyle f:X\to V}أين(X،Σ،μ){\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}هي مساحة قياس وV{\displaystyle V}هو فضاء متجهي طوبولوجي (TVS) ذو فضاء ثنائي متصلV′{\displaystyle V'}الذي يفصل النقاط (أي، إذاx∈V{\displaystyle x\in V}إذا كانت القيمة غير صفرية، فهناك بعضل∈V′{\displaystyle l\in V'}بحيثل(x)≠0{\displaystyle l(x)\neq 0})، على سبيل المثال،V{\displaystyle V}هي فضاء معياري أو (بشكل أعم) فضاء متغيرات محلي محدب من نوع هاوسدورف . يمكن كتابة تقييم دالة ما على شكل اقتران ثنائي : ⟨φ،x⟩=φ[x].{\displaystyle \langle \varphi ,x\rangle =\varphi [x].}

الخريطةو:X→V{\displaystyle f:X\to V}يُطلق عليه اسمقابل للقياس بشكل ضعيف إذا كان ذلك لجميعφ∈V′،{\displaystyle \varphi \in V',}الخريطة ذات القيم العدديةφ∘و{\displaystyle \varphi \circ f}هي خريطة قابلة للقياس . خريطة قابلة للقياس بشكل ضعيفو:X→V{\displaystyle f:X\to V}يقال إنهقابل للتكامل بشكل ضعيف علىX{\displaystyle X}إذا كان هناك بعضهـ∈V{\displaystyle e\in V}بحيث يكون ذلك لجميعφ∈V′،{\displaystyle \varphi \in V',}الخريطة ذات القيم العدديةφ∘و{\displaystyle \varphi \circ f}هل هي قابلة للتكامل وفقًا لمعيار لوبيغ (أي،φ∘و∈ل1(X،Σ،μ){\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}) و φ(هـ)=∫Xφ(و(x))دμ(x).{\displaystyle \varphi (e)=\int _{X}\varphi (f(x))\,\mathrm {d} \mu (x).}

الخريطةو:X→V{\displaystyle f:X\to V}يقال إنهبيتيس قابل للتكامل إذاφ∘و∈ل1(X،Σ،μ){\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}للجميعφ∈V′{\displaystyle \varphi \in V^{\prime }}وكذلك لكلأ∈Σ{\displaystyle A\in \Sigma }يوجد متجههـأ∈V{\displaystyle e_{A}\in V}بحيث ⟨φ،هـأ⟩=∫أ⟨φ،و(x)⟩دμ(x) للجميع φ∈V′.{\displaystyle \langle \varphi ,e_{A}\rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{ for all }}\varphi \in V'.}

في هذه الحالة،هـأ{\displaystyle e_{A}}يُطلق عليه اسمبيتيس جزء لا يتجزأ منو{\displaystyle f}علىأ.{\displaystyle A.}الرموز الشائعة لتكامل بيتيسهـأ{\displaystyle e_{A}}يشمل ∫أودμ،∫أو(x)دμ(x)،وفي حال كان ذلك أ=X مفهوم،μ[و].{\displaystyle \int _{A}f\,\mathrm {d} \mu ,\qquad \int _{A}f(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\quad {\text{وإذا كان من المفهوم أن}}~A=X~{\text{،}}\quad \mu [f].}

لفهم الدافع وراء تعريف "التكامل الضعيف"، انظر إلى الحالة الخاصة حيثV{\displaystyle V}هو الحقل القياسي الأساسي؛ أي حيثV=R{\displaystyle V=\mathbb {R} }أوV=ج.{\displaystyle V=\mathbb {C} .}في هذه الحالة، كل دالة خطيةφ{\displaystyle \varphi }علىV{\displaystyle V}وهو على شكلφ(y)=sy{\displaystyle \varphi (y)=sy}بالنسبة لبعض الكميات القياسيةs∈V{\displaystyle s\in V}(إنه،φ{\displaystyle \varphi }(هو مجرد ضرب عددي في ثابت)، الشرط φ(هـ)=∫أφ(و(x))دμ(x)للجميع φ∈V′،{\displaystyle \varphi (e)=\int _{A}\varphi (f(x))\,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{for all}}~\varphi \in V',} يتبسط إلى sهـ=∫أsو(x)دμ(x)لجميع الكميات القياسية s.{\displaystyle se=\int _{A}sf(x)\,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{لجميع القيم العددية}}~s.} وعلى وجه الخصوص، في هذه الحالة الخاصة،و{\displaystyle f}قابلة للتكامل بشكل ضعيف علىX{\displaystyle X}إذا وفقط إذاو{\displaystyle f}هل هو قابل للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ؟

العلاقة بتكامل دنفورد

الخريطةو:X→V{\displaystyle f:X\to V}يقال إنهقابل للتكامل وفقًا لدونفورد إذاφ∘و∈ل1(X،Σ،μ){\displaystyle \varphi \circ f\in L^{1}\left(X,\Sigma ,\mu \right)}للجميعφ∈V′{\displaystyle \varphi \in V^{\prime }}وكذلك لكلأ∈Σ{\displaystyle A\in \Sigma }يوجد متجهدأ∈V"،{\displaystyle d_{A}\in V'',}يُطلق عليه اسمجزء لا يتجزأ من دنفوردو{\displaystyle f}علىأ،{\displaystyle A,}بحيث ⟨دأ،φ⟩=∫أ⟨φ،و(x)⟩دμ(x) للجميع φ∈V′{\displaystyle \langle d_{A},\varphi \rangle =\int _{A}\langle \varphi ,f(x)\rangle \,\mathrm {d} \mu (x)\quad {\text{ for all }}\varphi \in V'} أين⟨دأ،φ⟩=دأ(φ).{\displaystyle \langle d_{A},\varphi \rangle =d_{A}(\varphi ).}

حدد كل متجهx∈V{\displaystyle x\in V}باستخدام الدالة العددية للخريطة علىV′{\displaystyle V'}محدد بواسطةφ∈V′↦φ(x).{\displaystyle \varphi \in V'\mapsto \varphi (x).}ينتج عن هذا التكليف خريطة تسمى خريطة التقييم الأساسية، ومن خلالها،V{\displaystyle V}يُعرَّف بأنه فضاء متجهي فرعي من الفضاء الثنائي المزدوجV".{\displaystyle V''.} المساحةV{\displaystyle V}يكون الفضاء شبه انعكاسي إذا وفقط إذا كانت هذه الخريطة شاملة .و:X→V{\displaystyle f:X\to V}تكون عملية بيتيس قابلة للتكامل إذا وفقط إذادأ∈V{\displaystyle d_{A}\in V}لكلأ∈Σ.{\displaystyle A\in \Sigma .}

ملكيات

من النتائج المباشرة لهذا التعريف أن تكاملات بيتيس متوافقة مع المؤثرات الخطية المتصلة: إذاΦ:V1→V2{\displaystyle \Phi \colon V_{1}\to V_{2}}خطي ومتصل وو:X→V1{\displaystyle f\colon X\to V_{1}}هل مصفوفة بيتيس قابلة للتكامل؟Φ∘و{\displaystyle \Phi \circ f}هل يمكن دمج بيتيس أيضًا؟∫XΦ(و(x))دμ(x)=Φ(∫Xو(x)دμ(x)).{\displaystyle \int _{X}\Phi (f(x))\,d\mu (x)=\Phi \left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right).}

التقدير القياسي|∫Xو(x)دμ(x)|≤∫X|و(x)|دμ(x){\displaystyle \left|\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right|\leq \int _{X}|f(x)|\,d\mu (x)}بالنسبة للدوال الحقيقية والمركبة، يُعمم هذا المفهوم ليشمل تكاملات بيتيس بالمعنى التالي: لجميع المعايير شبه المستمرةص:V→R{\displaystyle p\colon V\to \mathbb {R} }وجميع منتجات بيتيس قابلة للتكاملو:X→V{\displaystyle f\colon X\to V}،ص(∫Xو(x)دμ(x))≤∫X_ص(و(x))دμ(x){\displaystyle p\left(\int _{X}f(x)\,d\mu (x)\right)\leq {\underline {\int _{X}}}p(f(x))\,d\mu (x)}يثبت. الجانب الأيمن هو تكامل لوبيغ السفلي لـ[0،∞]{\displaystyle [0,\infty ]}دالة ذات قيم، أي∫X_زدμ:=رشفة{∫Xحدμ|ح:X→[0،∞] قابل للقياس و 0≤ح≤ز}.{\displaystyle {\underline {\int _{X}}}g\,d\mu :=\sup \left\{\left.\int _{X}h\,d\mu \;\right|\;h\colon X\to [0,\infty ]{\text{ قابلة للقياس و }}0\leq h\leq g\right\}.} يُعدّ أخذ تكامل ليبيغ السفلي ضروريًا لأن الدالة المراد تكاملهاص∘و{\displaystyle p\circ f}قد لا يكون قابلاً للقياس. وينتج هذا عن نظرية هان-باناخ لأنه لكل متجهv∈V{\displaystyle v\in V}يجب أن يكون هناك وظيفة مستمرةφ∈V*{\displaystyle \varphi \in V^{*}}بحيثφ(v)=ص(v){\displaystyle \varphi (v)=p(v)}وللجميعw∈V{\displaystyle w\in V}،|φ(w)|≤ص(w){\displaystyle |\varphi (w)|\leq p(w)}تطبيق هذا علىv:=∫Xودμ{\displaystyle v:=\int _{X}f\,d\mu }يعطي النتيجة.

نظرية القيمة المتوسطة

ومن الخصائص المهمة أن تكامل بيتيس بالنسبة إلى مقياس محدود موجود في إغلاق الغلاف المحدب للقيم التي تم قياسها بواسطة مقياس مجال التكامل: μ(أ)<∞ يشير إلى ∫أودμ∈μ(أ)⋅شركة⁡(و(أ))¯{\displaystyle \mu (A)<\infty {\text{ implies }}\int _{A}f\,d\mu \in \mu (A)\cdot {\overline {\operatorname {co} (f(A))}}}

هذا نتيجة لنظرية هان-باناخ، وهو تعميم لنظرية القيمة المتوسطة لتكاملات الدوال الحقيقية : إذاV=R{\displaystyle V=\mathbb {R} }إذن، فإن المجموعات المحدبة المغلقة هي ببساطة فترات، وو:X→[أ،ب]{\displaystyle f\colon X\to [a,b]}، تتحقق المتباينات التالية: μ(أ)أ ≤ ∫أودμ ≤ μ(أ)ب.{\displaystyle \mu (A)a~\leq ~\int _{A}f\,d\mu ~\leq ~\mu (A)b.}

وجود

لوV=Rن{\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}}إذا كان ذا أبعاد محدودةو{\displaystyle f}تكون مصفوفة بيتيس قابلة للتكامل إذا وفقط إذا كان كل مما يليو{\displaystyle f}إحداثيات ' قابلة للتكامل وفقًا لمعيار ليبيغ.

لوو{\displaystyle f}هل بيتيس قابل للتكامل؟أ∈Σ{\displaystyle A\in \Sigma }هي مجموعة فرعية قابلة للقياس منX{\displaystyle X}إذن، بحسب التعريفو|أ:أ→V{\displaystyle f_{|A}\colon A\to V}وو⋅1أ:X→V{\displaystyle f\cdot 1_{A}\colon X\to V}كما أنها قابلة للتكامل مع بيتيس و∫أو|أدμ=∫Xو⋅1أدμ.{\displaystyle \int _{A}f_{|A}\,d\mu =\int _{X}f\cdot 1_{A}\,d\mu .}

لوX{\displaystyle X}هو فضاء طوبولوجي،Σ=بX{\displaystyle \Sigma ={\mathfrak {B}}_{X}}بوريل-​σ{\displaystyle \sigma }الجبر ،μ{\displaystyle \mu }مقياس بوريل الذي يُعيّن قيمًا محدودة للمجموعات الفرعية المدمجة،V{\displaystyle V}هي شبه كاملة (أي أن كل شبكة كوشي محدودة تتقارب) وإذاو{\displaystyle f}يكون متصلاً بدعم مضغوط، ثمو{\displaystyle f}هل هي قابلة للتكامل من نوع بيتيس؟ بشكل أعم: إذاو{\displaystyle f}قابلة للقياس بشكل ضعيف ويوجد سطح مضغوط ومحدبج⊆V{\displaystyle C\subseteq V}ومجموعة فارغةشمال⊆X{\displaystyle N\subseteq X}بحيثو(X∖شمال)⊆ج{\displaystyle f(X\setminus N)\subseteq C}، ثمو{\displaystyle f}قابل للتكامل مع بيتيس.

قانون الأعداد الكبيرة للمتغيرات العشوائية القابلة للتكامل وفقًا لبيتيس

يترك(Ω،F،P){\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )}ليكن فضاء احتمالي، وليكنV{\displaystyle V}ليكن فضاءً متجهيًا طوبولوجيًا له فضاء ثنائي يفصل النقاط.vن:Ω→V{\displaystyle v_{n}:\Omega \to V}لتكن سلسلة من المتغيرات العشوائية القابلة للتكامل وفقًا لـ Pettis، واكتبهـ⁡[vن]{\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}لتكامل بيتيس لـvن{\displaystyle v_{n}}(زيادةX{\displaystyle X}). لاحظ أنهـ⁡[vن]{\displaystyle \operatorname {E} [v_{n}]}هو متجه (غير عشوائي) فيV،{\displaystyle V,}وهي ليست قيمة عددية.

يترك v¯شمال:=1شمال∑ن=1شمالvن{\displaystyle {\bar {v}}_{N}:={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}v_{n}} لنرمز إلى متوسط ​​العينة. وبحسب الخطية،v¯شمال{\displaystyle {\bar {v}}_{N}}هل بيتيس قابل للتكامل، و هـ⁡[v¯شمال]=1شمال∑ن=1شمالهـ⁡[vن]∈V.{\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]={\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [v_{n}]\in V.}

لنفترض أن المجاميع الجزئية 1شمال∑ن=1شمالهـ⁡[v¯ن]{\displaystyle {\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\operatorname {E} [{\bar {v}}_{n}]} تتقارب بشكل مطلق في طوبولوجياV،{\displaystyle V,}بمعنى أن جميع عمليات إعادة ترتيب المجموع تتقارب إلى متجه واحدλ∈V.{\displaystyle \lambda \in V.}يشير قانون الأعداد الكبيرة الضعيف إلى أن⟨φ،هـ⁡[v¯شمال]-λ⟩→0{\displaystyle \langle \varphi ,\operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]-\lambda \rangle \to 0}لكل وظيفةφ∈V*.{\displaystyle \varphi \in V^{*}.}بالتالي،هـ⁡[v¯شمال]→λ{\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]\to \lambda }في الطوبولوجيا الضعيفة علىX.{\displaystyle X.}

بدون افتراضات إضافية، من الممكن أنهـ⁡[v¯شمال]{\displaystyle \operatorname {E} [{\bar {v}}_{N}]}لا يتقارب معλ.{\displaystyle \lambda .}للحصول على تقارب قوي، يلزم وجود المزيد من الافتراضات.

انظر أيضاً

مراجع